Siano $ A = { x ∈Z | -10 ≤ x ≤ +1 } $ , $ B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $ e $ C = { x ∈Z | x > -5 } $; determina: $A ∩ C $ , $B ∪ C $ , $B – C $ , $(A ∩ B) ∪ C $
Risoluzione
Consideriamo i seguenti insiemi:
$ A = { x ∈Z | -10 ≤ x ≤ +1 } $
$ B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $
$ C = { x ∈Z | x > -5 } $;
Quesito 1
L’intersezione di due insiemi è l’insieme degli elementi appartenenti sia al primo insieme che al secondo.
$A ∩ C = { x ∈Z | -4 ≤ x ≤ +1 }$
Quesito 2
L’unione di due insiemi è, invece, l’insieme di tutti gli elementi appartenenti al primo o al secondo insieme.
Poiché B è un sottoinsieme di C, l’insieme derivato dall’unione di B con C consiste nell’insieme C stesso.
$B ∪ C = C = { x ∈Z | x > -5 } $;
Quesito 3
Per differenza di due insieme si intende l’insieme degli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo.
Poiché non vi sono elementi dell’insieme B che non appartengono all’insieme C ( B è un sottoinsieme di C ), la differenza di questi due insiemi sarà un insieme vuoto.
$B – C = ∅ $
Quesito 4
Procediamo determinando prima l’intersezione fra l’insieme A e l’insieme B.
Poiché l’insieme B è un sottoinsieme dell’insieme A, la loro intersezione sarà data dall’insieme B stesso.
$A ∩ B = B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $
A questo punto, procediamo con l’unione con l’insieme C, che ci riporta all’esercizio precedente: poiché $ A ∩ B $ è un sottoinsieme di C, l’insieme dato dall’unione di $A ∩ B$ con C sarà l’insieme C stesso.
$(A ∩ B) ∪ C = C = { x ∈Z | x > -5 }$