- Quanto vale P(An), ovvero la probabilità che l'n-esimo bit del messaggio valga 1;
- Se i primi due bit sono uguali a 1, qual è la probabilità che anche il terzo sia uguale a 1?
- Gli eventi
[math]A_i[/math]
con i = 1, ..., n sono indipendenti?
- Sapendo che tra i primi tre bit, due sono uguali a 1 ed uno uguale a zero, qual è la probabilità che il messaggio provenga dal canale A?
- Sapendo che tra i primi trenta bit, venti sono uguali a 1, e dieci uguali a 0, qual è la probabilità che il messaggio provenga dal canale A?
1) Per risolvere il primo punto, consideriamo due eventi A e B, di cui l'evento A è il messaggio proviene dal canale A, mentre l'evento B è il messaggio proviene dal canale B.
Sappiamo che la probabilità che si verifichi A è uguale alla probabilità che si verifichi B, e si ha:
[math] P(A) = P(B) = \frac{1}{2}[/math]
Sapendo che la probabilità che un bit proveniente dal canale A sia uguale a 1 è di
[math]\frac{2}{3}[/math]
, possiamo scrivere:
[math] P(A_n | A) = \frac{2}{3} [/math]
Sapendo che la probabilità che un bit proveniente dal canale B sia uguale a 1 è di
[math]\frac{1}{3}[/math]
, possiamo scrivere:
[math] P(A_n | B) = \frac{1}{3} [/math]
Dalla probabilità condizionata possiamo ricavare la probabilità richiesta dal problema. Si ha quindi che la probabilità che l'n-esimo bit sia 1 data da:
[math]P(A_n) = P(A_n | A) \cdot P(A) + P(A_n | B) \cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} [/math]
2) Dalle informazioni del problema, per questo punto abbiamo che sono verificati contemporaneamente gli eventi
[math]A_1[/math]
e
[math]A_2[/math]
, in quanto i primi due bit sono uguali a 1. La probabilità che anche il terzo bit sia uguale a 1, ovvero che si verifichi l'evento
[math]A_3[/math]
, sapendo che si sono verificati gli altri due, corrisponde alla seguente probabilità:
[math] P(A_3 | A_1 \cap A_2) [/math]
Dalla formula delle probabilità condizionali sappiamo che possiamo risolvere la probabilità precedente nel seguente modo:
[math] P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{P(A_3 \cap (A_1 \cap A_2))}{P(A_1 \cap A_2)} = \frac{P(A_3 \cap A_1 \cap A_2)}{P(A_1 \cap A_2)} [/math]
Sappiamo che gli eventi
[math]A_n[/math]
sono legati al tipo di canale da cui proviene il messaggio; in particolare, dobbiamo calcolare la probabilità condizionata considerando messaggi che provengono dal canale A e messaggi che provengono dal canale B; quindi abbiamo:
[math] \frac{P(A_3 \cap A_1 \cap A_2)}{P(A_1 \cap A_2)} = \frac{( P(A_3 \cap A_1 \cap A_2 | A) \cdot P(A) + P(A_3 \cap A_1 \cap A_2 | B) \cdot P(B) )}{( P(A_1 \cap A_2 | A) \cdot P(A) + P(A_1 \cap A_2 | B) \cdot P(B) )} [/math]
Nel caso del canale A, ogni bit può essere uguale a 1 con probabilità
[math]\frac{2}{3}[/math]
; quindi, i primi tre bit sono uguali a 1 con probabilità:
[math] P(A_3 \cap A_1 \cap A_2 | A) = (\frac{2}{3})^3[/math]
Allo stesso modo, nel caso del canale B, ogni bit può essere uguale a 1 con probabilità
[math]\frac{1}{3}[/math]
; quindi, i primi tre bit sono uguali a 1 con probabilità:
[math] P(A_3 \cap A_1 \cap A_2 | B) = (\frac{1}{3})^3[/math]
Analogamente si ha che:
[math] P(A_1 \cap A_2 | A) = (\frac{2}{3})^2[/math]
[math] P(A_1 \cap A_2 | B) = (\frac{1}{3})^2[/math]
Dai punti precedenti sappiamo che
[math]P(A) = P(B) = \frac{1}{2}[/math]
, quindi la probabilità cercata :
[math] P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{(\frac{2}{3})^3 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{3})^3 \cdot \frac{1}{2} }{(\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{3})^2 \cdot \frac{1}{2}} = [/math]
[math] \frac{\frac{8}{27} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} }{\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2}} = [/math]
[math] \frac{\frac{4}{27} + \frac{1}{54}}{\frac{2}{9} + \frac{1}{18}} = [/math]
[math] \frac{\frac{9}{54}}{\frac{5}{18}} = \frac{3}{5} [/math]
3) Per rispondere a questo punto ragioniamo sulle proprietà della probabilità condizionale; in generale, considerando sue eventi A e B abbiamo che:
[math] P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} [/math]
Nel caso di eventi indipendenti si ha che:
[math]P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)[/math]
Quindi, nel caso della probabilità condizionale si avrebbe:
[math] P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)} = P(B) [/math]
Nel nostro caso, come abbiamo visto dal punto precedente, gli eventi
[math]A_1[/math]
,
[math]A_2[/math]
e
[math]A_3[/math]
soddisfano la seguente relazione:
[math]P(A_3 | A_1 \cap A_2) = \frac{3}{5}[/math]
Se gli eventi fossero indipendenti tale probabilità dovrebbe essere uguale a
[math]P(A_3)[/math]
, che sappiamo essere
[math]\frac{1}{2}[/math]
. Possiamo quindi affermare che, in generale, gli eventi
[math]A_i[/math]
non sono indipendenti.
4) Per risolvere questo quesito possiamo introdurre una variabile aleatoria X che conta il numero di bit uguali a 1 nelle prime trasmissioni del segnane. In questo caso, poiché il problema suggerisce che vi devono essere 2 bit uguali ad 1 e uno uguale a zero, la probabilità da calcolare la seguente:
[math] P(A|X=2) = \frac{P(X=2|A) \cdot P(A)}{P(X=2)} [/math]
Se i bit provengono dal canale A sappiamo che la probabilità di ottenere un 1 di
[math]\frac{2}{3}[/math]
, quindi la probabilità di ottenere due 1 e uno 0, considerando tutti i possibili modo in cui tali valori possono arrivare, data da:
[math] P(X=2 | A) = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} [/math]
Per calcolare il denominatore della frazione consideriamo che tale evento è condizionato dal fatto che X si verifichi con messaggi provenienti dal canale A o da messaggi provenienti dal canale B:
[math] P(X=2) = P(X=2|A) \cdot P(A) + P(X=2|B) \cdot P(B) [/math]
Dove, come in precedenza, possiamo ricavare il valore della probabilità condizionata
[math]P(X=2|B) [/math]
:
[math] P(X=2 | B) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{2}{9} [/math]
Abbiamo quindi:
[math] P(X=2) = P(X=2|A) \cdot P(A) + P(X=2|B) \cdot P(B) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}[/math]
Infine, sostituiamo i valori trovati nell'espressione generale:
[math] P(A|X=2) = \frac{\frac{P(X=2 | A) \cdot P(A)}{P(X=2)}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3} [/math]
5) Tale punto può essere risolto con la stessa logica del precedente; in questo caso i valori richiesti sono di 20 bit uguali a 1 sui primi 30 bit del messaggio. Dobbiamo quindi calcolare la seguente probabilità:
[math] P(A|X=20) = \frac{P(X=20|A) \cdot P(A)}{P(X=20)} [/math]
Procediamo calcolando il valore del numeratore; anche in questo caso dobbiamo tener conto delle possibili disposizioni dei bit in arrivo:
[math] P(X=20 | A) = \binom{30}{20} \cdot 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} [/math]
E il valore del denominatore:
[math] P(X=20) = P(X=20|A) \cdot P(A) + P(X=20|B) \cdot P(B) = \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \frac{1}{2} + P(X=20|B) \cdot P(B) [/math]
La probabilità condizionata rispetto all'arrivo dal canale B è data dalla seguente formula:
[math] P(X=20 | B) = \binom{30}{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10} [/math]
Quindi abbiamo:
[math] P(X=20) = \binom{30}{20} \cdot 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2} + \binom{30}{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2} [/math]
Sostituendo i valori trovati nell'espressione generale si trova la probabilità trovata:
[math] P(A|X=20) = \frac{\binom{30}{20} \cdot 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2}}{\binom{30}{20} \cdot 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2} + \binom{30}{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \cdot \frac{1}{2}} = 0.9992 [/math]
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