_stan
di _stan
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  1. Qual è la probabilità che un numero fissato (ad esempio 1) venga estratto in una singola estrazione su una singola ruota?
  2. Qual è la probabilità che il numero 1 esca almeno su una ruota?

1) Nel primo punto ci viene chiesto di calcolare la probabilità che un numero fissato esca ad una estrazione in una qualsiasi delle 10 ruote; possiamo ragionare considerando il numero di casi favorevoli alla vincita, ovvero che il numero da noi fissato sia presente in una estrazione.

Ci significa che su 5 delle palline estratte, una deve essere quella da noi fissata.

Fissando una delle palline, il numero di modo in cui le altre quatto possono essere scelte dato
da:

[math] \binom{89}{4} [/math]

Il numero dei modi in cui possiamo estrarre 5 palline in un insieme di 90 è dato invece dal seguente coefficiente binomiale:

[math] \binom{90}{5} [/math]

Possiamo quindi calcolare la probabilità di vittoria come numero di casi favorevoli su numero di dati totali, ovvero:

[math] p = \frac{\binom{89}{4}}{\binom{90}{5}} = \frac{ \frac{89!}{4! * 85!} }{ \frac{90!}{ 5! * 85! } } = [/math]

[math] \frac{ \frac{89*88*87*86*85!}{4! * 85!} }{ \frac{90*89*88*87*86*85!}{ 5! * 85! } } = [/math]

[math] \frac{ \frac{89*88*87*86}{4!} }{ \frac{90*89*88*87*86}{ 5! } } = [/math]

[math] \frac{ \frac{89*88*87*86}{4*3*2*1} }{ \frac{90*89*88*87*86}{ 5*4*3*2*1 } } = [/math]

[math] \frac{ 2441626 }{ 43949268 } = \frac{1}{18} [/math]

2) Calcoliamo ora la probabilità che il numero fissato esca almeno su una ruota (ovvero la probabilità che esca su una, o su due, o su tre, ruote); poiché le estrazioni su ogni singola ruota sono indipendenti l'una dall'altra, possiamo ragionare considerando l'evento complementare, ovvero il fatto che il numero fissato non esca su nessuna ruota.

Sapendo che la probabilità che il numero esca su una ruota p (trovato in precedenza), la probabilità che il numero non esca su una ruota 1 - p.

Poiché il numero delle ruote totali è 10, la probabilità che il numero non esca su nessuna ruota è :

[math] (1 - p)^{10} [/math]

Infine, l'evento complementare è quello che stiamo cercando, ovvero la probabilità che il numero esca almeno su una ruota:

[math] 1 - (1 - p)^{10} = 1 - (1 - \frac{1}{18})^{10} = 1 - (\frac{17}{18})^{10} = 0,435[/math]

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