- Trovare la densità discreta della variabile aleatoria X;
- Risolvere il punto 1 nel caso in cui la moneta sia truccata e la probabilità che esca testa in un lancio della moneta p.
- Provare che, detti
[math]U_1[/math]
e [math]U_2[/math]
i risultati dei due lanci, risulta che: [math]P{max(U_1, U_2) = k} + P{\min (U_1, U_2) = k} = \frac{1}{3}[/math]
.
1) Per risolvere il primo quesito, poiché il valore della variabile aleatoria X dipende dal risultato del lancio della moneta, possiamo procedere considerando due tipi di eventi: l'evento T la moneta da testa e l'evento C la moneta da croce.
Considerando il teorema delle probabilità totali, possiamo affermare che:
[math] P(X=k) = P( X=k | C) \cdot P(C) + P( X=k | T) \cdot P(T) [/math]
Dove k uno dei valori possibili che la variabile X può assumere.
Poiché tali valori corrispondono ai possibili valori delle facce di un dado, la variabile X può assumere uno qualsiasi dei valori nell'insieme
[math]{1,2,3,4,5,6}[/math]
.
Le probabilità
[math]P(C)[/math]
e
[math]P(T)[/math]
rappresentano, rispettivamente, la probabilità che esca croce e la probabilità che esca testa dal lancio di una moneta, e come sappiamo, si ha il 50% di probabilità per ciascun evento:
[math]P(C) = P(T) = \frac{1}{2} [/math]
Consideriamo la probabilità
[math]P( X=k | T) [/math]
; in questo caso, dal testo del problema sappiamo che la variabile X può assumere uno dei valori derivanti dal lancio di un dado; poiché il dado non è truccato, la probabilit° che la variabile assume uno dei possibili valori è
[math]\frac{1}{6}[/math]
, quindi:
[math]P( X=k | T) = \frac{1}{6}[/math]
Consideriamo ora la probabilità
[math]P( X=k | C) [/math]
; in questo caso, sappiamo che il dado viene lanciato due volte, e la variabile X può assumere il minimo dei valori derivanti da tali lanci.
Per determinare tale valore, chiamiamo con
[math]V_1[/math]
e
[math]V_2[/math]
i risultati rispettivamente del primo lancio e del secondo lancio del dado; allora, indicato con
[math]V[/math]
il valore massimo dei due lanci, si ha :
[math] V = \max(V_1 , V_2) [/math]
La legge di X può essere scritta in questo modo:
[math] P(X=k | C) = P(V=k) = P(V
Per determinare la legge di X, quindi, dobbiamo trovare il valore della probabilità
[math]P(V
; tale espressione può essere scritta come:
[math] P(V
Poiché le variabili in questione sono indipendenti, possiamo scrivere:
[math] P(V
Il numero dei lanci favorevoli per ciascuno degli eventi
[math]{V_1 e
[math]{V_2 è esattamente
[math]k-1[/math]
, e di conseguenza la probabilità che tali eventi si verifichino è data da:
[math] P(V_1
Sostituendo nella precedente espressione abbiamo:
[math] P(V
In maniera analoga possiamo ragionare per determinare il valore della probabilità
[math]P(V
; otteniamo il seguente risultato:
[math] P(V
Possiamo ora determinare il valore della probabilità cercato:
[math] P(X=k | C) = P(V=k) = [/math]
[math] = P(V
[math] \frac{k^2}{36} - \frac{k^2 + 1 - 2k}{36} = \frac{k^2 - k^2 - 1 + 2k}{36} = \frac{2k-1}{36} [/math]
Infine, applicando la legge delle probabilità totali possiamo ricavare la legge della variabile aleatoria X:
[math] P(X=k) = P( X=k | C) \cdot P(C) + P( X=k | T) \cdot P(T) = \frac{2k-1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = [/math]
[math] \frac{2k-1}{72} + \frac{1}{(12)} = \frac{2k - 1 + 6}{72} = \frac{2k + 5}{72} [/math]
2) In questo caso, supponiamo che la moneta sia truccata; il testo del problema suggerisce di chiamare la probabilità che esca testa con p, di conseguenza abbiamo:
[math] P(T) = p [/math]
[math] P(C) = 1-p [/math]
Il problema può essere risolto come in precedenza, considerando il teorema delle probabilità totali e i nuovi valori delle probabilità forniti (i valori delle probabilità condizionate invece non cambiano):
[math] P(X=k) = P( X=k | C) \cdot P(C) + P( X=k | T) \cdot P(T) = \frac{2k-1}{36} \cdot (1-p) + \frac{1}{6} \cdot p = [/math]
[math] \frac{(2k-1)(1-p)}{36} + \frac{1}{6} p = \frac{2k - 1 + p - 2kp + 6p}{36} [/math]
3) Consideriamo due variabili
[math]V_{\max}[/math]
e [math]V_{\min }[/math]
tali che:
[math] V_{\max} = \max(V_1 , V_2) [/math]
[math] V_{\min } = \min(V_1 , V_2) [/math]
e calcoliamo le probabilità di ognuno dei due; nel primo caso, il calcolo è stato già fatto in precedenza, e il risultato è il seguente:
[math] P(V_{\max} = k) = \frac{2k-1}{36} [/math]
Per il secondo caso possiamo procedere in maniera simile a quanto fatto in precedenza; possiamo scrivere la seguente legge per
[math]V_{\min }[/math]
:
[math] P(V_{\min } = k) = P(V>=k) - P(V>=k+1) [/math]
A questo punto occorre trovare il valore della probabilità
[math]P(V>=k)[/math]
; tale espressione può essere scritta come:
[math] P(V_{\min } >= k) = P(V_1 >= k , V_2 >= k) [/math]
Poiché le variabili in questione sono indipendenti, possiamo scrivere:
[math] P(V_{\min } >= k) = P(V_1 >= k , V_2 >= k) = P(V_1 >= k) \cdot P(V_2 >= k) [/math]
Per risolvere l'espressione, possiamo scrivere le probabilità in una forma equivalente:
[math] P(V_1 >= k) \cdot P(V_2 >= k) = [ 1 - P(V_1
In queso caso, il numero dei lanci favorevoli per ciascuno degli eventi
[math]{V_1 e
[math]{V_2 esattamente
[math]k-1[/math]
, e di conseguenza la probabilità che tali eventi si verifichino data da:
[math] P(V_1
Sostituendo nella precedente espressione abbiamo:
[math] P(V_{min } >= k) = [ 1 - P(V_1
[math] = [1 - \frac{k-1}{6} ] \cdot [1 - \frac{k-1}{6}] = (1 - \frac{k-1}{6})^2 [/math]
In maniera analoga possiamo ragionare per determinare il valore della probabilità
[math]P(V>=k+1) [/math]
; otteniamo il seguente risultato:
[math] P(V_{\min } >= k+1) = [ 1 - P(V_1
[math] \cdot [ 1 - P(V_2
[math] = [1 - \frac{k+1-1}{6} ] \cdot [1 - \frac{k+1-1}{6}] =[/math]
[math] = (1 - \frac{k+1-1}{6})^2 = (1 - \frac{k}{6})^2[/math]
Possiamo ora determinare il valore della probabilità cercato:
[math] P(V_{min } = k) = P(V>=k) - P(V>=k+1) = [/math]
[math] = (1 - \frac{k-1}{6})^2 - (1 - \frac{k}{6})^2 = [/math]
[math] = 1 + \frac{(k-1)^2}{36} - \frac{k-1}{3} - 1 - \frac{k^2}{36} + \frac{k}{3} = [/math]
[math] \frac{k^2 + 1 - 2k}{36} - \frac{k^2}{36} + \frac{k-k+1}{3} = [/math]
[math] = \frac{k^2 + 1 - 2k - k^2}{36} + \frac{1}{3} = [/math]
[math] = \frac{1 - 2k}{36} + \frac{1}{3} = \frac{1-2k + 12}{36} = \frac{13 - 2k}{36} [/math]
Il problema chiedeva di dimostrare che vale la seguente espressione:
[math] P(V_{min } = k) + P(V_{max} = k) = \frac{1}{3} [/math]
Sommiamo quindi le due leggi trovate per verificare il risultato:
[math] P(V_{min } = k) + P(V_{max} = k) = \frac{13 - 2k}{36} + \frac{2k-1}{36} = \frac{13 - 2k + 2k-1}{36} = [/math]
[math] \frac{12}{36} = \frac{1}{3} [/math]
L'espressione è quindi verificata.
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