- Trovare la distribuzione di Y = n - X;
- Si lanciano due dadi perfetti n volte e si indica con X il numero dei lanci nei quali il punto del primo dado superiore a quello del secondo; si indica inoltre con Y il numero dei lanci in cui il punto del secondo dado non inferiore a quello del primo. Se n = 9, calcolare P(Y>X).
1) La variabile binomiale X segue una legge di questo tipo:
[math] P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} * (1-p)^{n-k} [/math]
Consideriamo la variabile Y definita come
[math]Y = n - X[/math]
; per trovare la legge di Y proseguiamo con segue:
[math] P(Y=k) = P( n - X = k) = P(X = n-k) [/math]
Dalla conoscenza della legge di X, quindi, possiamo determinare la legge di Y semplicemente sostituendo alla k della legge di X il valore n-k, ovvero:
[math] P(Y=k) = P(X = n-k) = \binom{n}{n-k} p^{n-k} * (1-p)^{n-n+k} = \binom{n}{n-k} p^{n-k} * (1- p)^{k} [/math]
Ricordando le proprietà dei coefficienti binomiali, possiamo ottenere un'espressione equivalente:
[math] P(Y=k) = \binom{n}{k} p^{n-k} * (1-p)^{k} [/math]
Quindi, riconosciamo che la variabile Y segue una legge binomiale di parametri n e (1-p).
2) Se si considerano tutte le possibili coppie di valori ottenibili dal lancio di due dadi, si ottiene un insieme di questo tipo, dove il numero totale di coppie è 36:
[math]{ (1 1), (1 2), (2 1), (2 2), \dots, (6 1), (6 6) }[/math]
Si può notare che in tutti i casi del tipo
[math]{ (2 1), (3 1), (3 2), (4 1), \dots, (6 1), (6 6) }[/math]
il valore del primo dado è maggiore al valore del secondo; il numero totale di volte in cui il primo valore è maggiore del secondo si ottiene notando che si ha una coppia con primo valore 2, due coppie con primo valore 3, e cosi via; il valore totale : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Di conseguenza, la probabilità che il valore del primo dado sia maggiore di quello del secondo è:
[math] p_X = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} [/math]
Quindi, poiché X conta il numero di volte in cui il valore del primo dado è maggiore di quello del secondo, X segue una legge binomiale di parametri n e
[math] p_X = \frac{5}{12} [/math]
.
La legge di Y può essere ricavata da un ragionamento analogo al precedente; in questo caso, si ha:
[math] p_Y = 1 - \frac{15}{36} = \frac{21}{12} = \frac{7}{12} [/math]
e quindi Y segue una legge binomiale di parametri n e
[math] p_Y = \frac{7}{12} [/math]
.
Facendo riferimento anche al punto precedente del problema, e poiché Y rappresenta il numero di lanci in cui il valore del secondo dado è non inferiore a quello del primo, possiamo anche esprimere Y come:
[math] Y = n - X[/math]
.
A questo punto, possiamo calcolare la probabilità richiesta:
[math] P(Y > X) = P( n - X > X ) = P( 2X
Nel caso in cui n = 9, possiamo procedere come segue:
[math] P(Y > X) = P( X
Tale probabilità può essere ottenuta calcolando il valore della seguente sommatoria:
[math] \displaystyle P( X
[math] \displaystyle \binom{9}{k} (\frac{5}{12})^{k} * (\frac{7}{12})^{9-k} [/math]
Possiamo procedere calcolando gli argomenti per tutti i possibili valori di k:
[math] k = 0 \to \frac{9!}{0!9!} \cdot (\frac{5}{12})^0 \cdot (\frac{7}{12})^9 = (0,58333)^9 = 0,00782 [/math]
[math] k = 1 \to \frac{9!}{1!8!} \cdot (\frac{5}{12})^1 \cdot (\frac{7}{12})^8 = 9 \cdot 0,41667 \cdot (0,58333)^8 = 0,050276 [/math]
[math] k = 2 \to \frac{9!}{2!7!} \cdot (\frac{5}{12})^2 \cdot (\frac{7}{12})^7 = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot (0,41667)^2 \cdot (0,58333)^7 = 0,143647 [/math]
[math] k = 3 \to \frac{9!}{3!6!} \cdot (\frac{5}{12})^3 \cdot (\frac{7}{12})^6 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} \cdot (0,41667)^3 \cdot (0,58333)^6 = 0,239412 [/math]
[math] k = 4 \to \frac{9!}{4!5!} \cdot (\frac{5}{12})^4 \cdot (\frac{7}{12})^5 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot (0,41667)^4 \cdot (0,58333)^5 = 0,256513 [/math]
Sommiamo infine tutti i risultati ottenuti:
[math] P( X
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