_stan
di _stan
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  1. Calcolare la probabilità che la prima pedina estratta sia contrassegnata con un numero pari;
  2. Calcolare la probabilità che la seconda pedina estratta sia contrassegnata con un numero pari;
  3. Calcolare la probabilità che la entrambe le pedine estratte siano contrassegnate con un numero pari.

Chiamiamo con A l'evento viene estratta una pedina contenente una coppia pari, e con B l'evento viene estratta una pedina contenente una coppia dispari.

i) La probabilità richiesta corrisponde alla probabilità del verificarsi dell'evento A alla prima estrazione.

Sappiamo che nell'urna dopo presenti 2 pedine contenenti una coppia pari e 3 pedine contenenti una coppia dispari. Di conseguenza, alla prima estrazione la probabilità di estrarre una pedina pari è:

[math]P(A) = \frac{2}{5}[/math]

2) In questo secondo caso dobbiamo ragionare sulla seconda estrazione. Poiché le estrazioni avvengono senza rimpiazzo, la probabilità cambia in base al risultato della prima estrazione. In particolare, se nella prima estrazione verrà prelevata una pedina pari, al secondo tentativo rimarrà solo un'altra pedina pari su 4; mentre se la prima estratto è dispari, al secondo tentativo vi sono due pedine pari su 4. Chiamiamo con

[math]A_1[/math]
l'evento viene estratta una pedina contenente una coppia pari alla prima estrazione, con
[math]A_2[/math]
l'evento viene estratta una pedina contenente una coppia pari alla seconda estrazione e con
[math]B_1[/math]
l'evento viene estratta una pedina contenente una coppia dispari alla prima estrazione. Ciò che ci viene richiesto è il calcolo della probabilità del verificarsi dell'evento
[math]A_2[/math]
.

Calcoliamo la probabilità (condizionata) che venga estratta una pedina pari alla seconda estrazione sapendo che alla prima stata estratta una pedina pari:

[math] P(A_2 | A_1) = \frac{1}{4} [/math]

Calcoliamo la probabilità (condizionata) che venga estratta una pedina pari alla seconda estrazione sapendo che alla prima stata estratta una pedina dispari:

[math] P(A_2 | B_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} [/math]

Per calcolare la probabilità richiesta possiamo applicare il teorema delle probabilità totali, per cui vale la seguente formula:

[math]P(A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) + P(B_1) \cdot P(A_2 | B_1) [/math]

Possiamo risolvere l'espressione utilizzando i risultati ottenuti al punto precedente:

[math]P(A_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + (1 - \frac{2}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{5} [/math]

3) In questo caso viene chiesta la probabilità che entrambe le pedine estratte abbiano valore pari, ovvero la probabilità che si verifichino contemporaneamente gli eventi

[math]A_1[/math]
e
[math]A_2[/math]
. La probabilità che dobbiamo calcolare quindi
[math]P(A_1 | A_2)[/math]
. Possiamo utilizzare la formula della probabilità condizionale di
[math]A_2[/math]
rispetto ad
[math]A_1[/math]
:

[math] P(A_2 | A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)} [/math]

Da questa formula possiamo ricavare la probabilità cercata:

[math] P(A_1 \cap A_2) = P(A_2 | A_1) \cdot P(A_1) [/math]

Dai risultati dei punti precedenti abbiamo:

[math] P(A_1 \cap A_2) = P(A_2 | A_1) \cdot P(A_1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{10} [/math]

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