La scatola

 

Da un foglio di cartone quadrato di 100 cm di lato, ricavare la scatola di volume massimo. La scatola deve essere ottenuta ritagliando dal foglio di cartone le sei facce e incollandole con il nastro adesivo.

 

soluzione

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

soluzione

Un esempio di questo tipo viene spesso utilizzato nei libri di analisi per applicare la teoria dei massimi e minimi vincolati per le funzioni di due variabili. In realtà, almeno in questo caso i vincoli sono difficili da determinare. Si richiedeva un’ulteriore analisi del problema.
Dallo studio della funzione V=xyz con 2xy+2xz+2yz =A si ottiene la soluzione x=y=z=SQR(A/6), dove A è la superficie del cartone. La scatola di volume massimo sembrerebbe un cubo di lato 40,82 cm e volume 68041,38cm^3. A questo punto si pone il problema di verificare se è possibile ritagliare i sei quadrati di lato 40,82. Infatti la condizione 2xy+2xz+2yz=A riguarda soltanto la superficie del cartone di partenza e non la sua forma.
La difficoltà del quesito doveva essere questa. Sono stato però superficiale nella scelta delle misure del cartone di partenza. Chi ha fatto tutti conti è caduto nella trappola che gli avevo ‘amichevolmente(?)’ teso, chi ha avuto un approccio più intuitivo è stato fortunato nell’imbattersi nella soluzione.
La soluzione ottimale si ottiene cercando di utilizzare tutta la superficie disponibile e allo stesso tempo di ottenere quante più facce quadrate possibili. Una dimostrazione rigorosa non ce l’ho e nessuno l’ha inviata.

Tra le soluzioni più complete quella di Vinciprova Francesco (.pdf) .

 

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