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Esercizi svolti sulle serie numeriche

1. an successione numerica positiva e la serie ∑ an convergente; cosa si può dire del carattere delle seguenti serie?

2. Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (an ne indica il termine generale) con segno variabile

3. 17 esercizi svolti sulle serie numeriche

4. 6 esercizi svolti sulle serie per l’esame di Analisi matematica

5. $sum_(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)1/2^(2k-1)$

6. Serie di taylor per la maturità scientifica

7. Dedurre, integrando per serie, lo sviluppo in serie di potenze della funzione $arctanx$, per $|x|

8. Dimostrare che si ha $sinx=sum_{n=0}^(+infty)(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!)$, $AAx in RR$

9. Trovare per quali $x in RR$ la seguente serie converge $sum_{n=2}^(+infty)(n^(5x-9)/(n^2+1))$

10. Approssimare la somma di $sum_{n=1}^(+infty)(-1)^(n+1)1/n^3$ con un errore minore di $10^(-2)$

11. Calcolare la somma della serie $sum_{n=0}^(+infty)((-1)^(n+1))/(2n+1)$

12. Sia $S$ la somma di $sum_{n=0}^(+infty)((-1)^(n+1)3pi^(2n))/(2^(2n+1)(2n+1)!)$. Calcolare $2piS$

13. Calcolare la somma della serie $sum_{n=0}^(+infty)((-1)^(2n+1)3^n)/((2n+1)!)$.

14. Determinare il carattere della serie $sum_{n=1}^(+infty)1/(sin(1/n)sqrt(n^5+1))$.

15. Studiare la convergenza della serie $sum_{n=1}^(+infty)n^n/e^n$.

16. Studiare la convergenza della serie $sum_{n=1}^(+infty)(-1)^(n+1)4^(n+1)/pi^n$

17. Sia $S$ la somma della serie $sum_{n=1}^(+infty)3^(n+2)/4^(n+1)$. Calcolare $4S$

18. Sia $S$ la somma della serie $sum_{n=2}^(+infty)(-1)^(4n+2)3^n/5^(n+1)$. Calcolare $100S$

19. Data la serie $sum_{n=2}^(+infty)n^(11-3x)$, per quali $x in RR$ converge e per quali diverge?

20. Determinare il carattere della serie $sum_{n=0}^(+infty)(n^2+2)/2^n$

21. Sviluppare in serie binomiale (i primi termini) la funzione $f(x)=1/sqrt(1-x^2), |x|

22. Sia $P_(10)(x)$ il polinomio di Mac Laurin di ordine 10 della funzione $f(x)=2x^4-x^2cos(3x^3)$.

23. Sia $P_(9)(x)$ il polinomio di Mac Laurin di ordine 9 della funzione $f(x)=x^3arctan(x^2)+sin(2x^8)$

24. Sia $g(x)=x^3sin(2x^4)$; calcolare $g^(71)(0)$.

25. Dimostrare che $sum_{n=2}^(+infty)1/(n(logn)^q)$ converge se $q>1$ e diverge posit. se $q

26. Sia data $f(x)=xcos(2x)$ e $x_0=-pi$. Scrivere i polinomi di Taylor di $f$ di centro $x_0$ e di ordi

27. Sia $P_(11)(x)$ il polinomio di Mac Laurin di ordine 11 della funzione $f(x)=3x^3+xe^(-2x^4)$.

28. Studiare la convergenza della serie $sum_{n=1}^(+infty)(cos(1/n)n^8)/e^n$

29. Studiare la convergenza della serie $sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n(n+1)/nsin(1/n)$

30. Studiare, al variare di$lambda in RR$, il carattere della serie $sum_{n=1}^(+infty)lambda^(2n)/n^2

31. $sum_{n=1}^(+infty)2^n/n(x-3)^n$

32. $sum_{n=1}^(+infty)((-1)^(n+1))/(9^n*n^2)(x+2)^(2n)$

33. $sum_{n=2}^(+infty)((-1)^n*n^3)/8^n(x+5)^(3n)$

34. $sum_{n=2}^(+infty)((-1)^(n-1)*n)/10^(n+1)(x-1)^(n+2)$

35. Calcolare, integrando per serie, $int_0^1sinx/xdx$

36. Calcolare, integrando per serie, $int_0^1e^(-x^2)dx$

37. Sia data $f(x)=e^(-2x^2)$ e $x_0=1$. Scrivere i polinomi di Taylor di $f$ di centro $x_0$

38. Sia $S$ la somma della serie $sum_{n=1}^(+infty)((-1)^n4pi^(2n-1))/(2n!)$.Calcolare $piS$

39. Calcolare la somma della serie $sum_{n=0}^(+infty)(-1)^(n-1)/(n+1)^(5n-1)$

40. Stabilire, al variare di $lambda>=0$, il carattere di$sum_{n=0}^(+infty)((4nlambda)/(n+1))^n$

41. $sum_{n=1}^(+infty)n^(x^2-5)$

42. Serie umerica 24

43. Studiare la convergenza della serie $sum_{n=0}^(+infty)3^(n-1)/e^(n+1)$

44. Approssimare la somma di$sum_{n=1}^(+infty)(-1)^n1/(n!)$ con un errore

45. Calcolare la somma della serie $sum_{n=1}^(+infty)((-1)^n2^(n-1))/(n!)$

46. Determinare il carattere di$sum_{n=0}^(+infty)(n!)/n^n$

47. Calcolare la somma della serie $sum_{n=1}^(+infty)((root(3)(1+1/n))-(root(3)(1+1/(n+1))))$

48. $sum_{n=1}^(+infty)((1+1/n)^n-e)/n^alpha$

49. Calcolare$sum_{n=1}^(+infty)(log((n^e/(n+1))^(n)n^e)/(e(n^2+n)e^n))$.Dedurre che la serie data non è

50. Sia $S$ la somma della serie $sum_{n=0}^(+infty)(-1)^(n+1)2^(n-1)/7^(n+1)$.Calcolare$1/S$