Intorno alle 6 di sera del 22 dicembre l’ingegnere riceve una telefonata dall’amica filosofa: “non sarà possibile la cena prenatalizia poiché l’autofficina non ha ancora provveduto ad istallare le gomme da neve”.
La filosofa si sta recando nella sua casa nel bosco per meditare e lavorare. Una casa nel bosco richiede attenzioni continue: togliere le foglie secche, scacciare gli insetti, controllare l’impermeabilizzazione del tetto e il corretto scorrimento dell’acqua lungo i prati circostanti.
La mail di risposta inviata all’amica filosofa suona più o meno così: “Ci vedremo l’anno prossimo che sarà un anno di tipo $4 (2020 = 2+2 = 4)$ sicuramente migliore di quello che abbandoniamo di tipo $3 (2019 = 12 = 3)$”. Quanto alla certezza che l’anno prossimo sarà migliore di quello passato si può rileggere il dialogo di un venditore di almanacchi e di un passeggere.
“Divertente” risponde la filosofa “Tu mi invii un gioco numerologico ed io avevo preparato per la nostra cena, rimandata al 2020, tre domande, o provocazioni, sui numeri:
- Perché \((1+\sqrt{5})/2\) è un numero aureo?
- Il numero irrazionale è il rapporto numerico inesistente tra le lunghezze del lato e della diagonale di una quadrato, riferite ad una comune unità di misura?
- Un numero irrazionale non esiste pur conservando la certezza che designi qualcosa?”
L’ingegnere è spiazzato ed incuriosito. Ricorda dal liceo che la sezione aurea aveva a che fare con Fidia e che il rapporto di due successivi numeri della serie di Fibonacci tendeva alla sezione aurea, ma non aveva però idea del perché \((1+\sqrt{5})/2\) fosse il numero aureo.
Che un numero irrazionale rappresenti un rapporto inesistente (tra interi) è vero, ma il lato e la diagonale di un quadrato possono benissimo essere riferiti alla stessa unità di misura.
Quanto al terzo quesito un compagno di liceo, anche lui ingegnere e consultato rapidamente per mail, risponde: “Ohibò, gli irrazionali non esistono? E allora che si dirà degli immaginari?”.
Appassionato e sostenitore di Excel per il Problem Solving, l’ingegnere si mette al lavoro. In una finestra aperta a lato può comodamente consultare, per ogni dubbio, Wikipedia, l’Enciclopedia Treccani o altro nella rete: prepara dunque due files che dovrebbero esemplificare e chiarire tutte le questioni, ma a chi inviarli per avere un riscontro?
Certamente alla cugina matematica, che però in Piemonte è occupata dalla preparazione di un pranzo natalizio con parecchi commensali.
Inaspettatamente arriva presto una risposta. La cugina, assieme alla figlia anche lei matematica, si è concessa una pausa dai fornelli:
“…Veniamo ora alle tre domande: ci sembra che tu abbia risposto in modo preciso e approfondito alla prima sul numero aureo.
Nella formulazione della seconda e terza domanda non comprendiamo come mai i numeri irrazionali vengano considerati inesistenti. Si intende forse inesistenti rispetto all’insieme dei numeri razionali, più vicini alla nostra quotidianità?
Ti inoltriamo il file Excel “Pitagora e Irrazionali” con qualche piccola modifica in blu che crediamo possa aiutare i non addetti ai lavori, psicologi e filosofi!
Un’ultima osservazione: nella seconda domanda si parla genericamente di numeri irrazionali riferendosi però in modo puntuale solo alla radice di 2.”
I due files Excel (allegati) “Sezione Aurea” e “Pitagora e Irrazionali” vengono corretti, integrati e ampliati ora non si parla solo della radice di 2, ma anche delle costanti: “Pi greco”ed “e”.
In proposito è interessante osservare che mentre le Costanti \(\phi\) di Fidia, Radice di 2 e Pi Greco riguardano essenzialmente la geometria, la costante “e” di Bernoulli o numero di Eulero riguarda invece, attraverso la funzione \(y = f(x) = e^x\), tutti i fenomeni di crescita/ decrescita esponenziale: dalle popolazioni, ai conti in banca, alla termodinamica, al decadimento radioattivo.
L’ingegnere si sente soddisfatto, potrebbe ricavarne un articolo, e può anche essere che il sito www.matematicamente.it sia interessato a pubblicarlo.
Il 31/12/2019 Radio3 Scienza mette in onda una puntata sugli “Istanti fatali della matematica”. Si parla di vicende storiche e filosofiche: dall’incendio del Parlamento di Londra al carteggio tra due fratelli Simone e André Wiles, una filosofa e un matematico.
Scrive André: la scoperta degli irrazionali ha ucciso il numero a favore del logos e ha mandato in rovina il pitagorismo per approdare a Platone e a Euclide.
Ma, ribatte Simone, «non risulta che la scoperta degli incommensurabili abbia operato una rottura nella continuità dello sviluppo» e non ha certamente «mandato in rovina il pitagorismo, come asserisci tu». Altrimenti i pitagorici non avrebbero certo adottato il pentagono stellato, formato dalle diagonali di un pentagono regolare, come segno di riconoscimento giacché il rapporto tra là diagonale e il lato è irrazionale (è il cosiddetto “numero aureo”).
Si replica André, ma la scoperta che vi siano rapporti “che non sono nominabili”, rapporti incommensurabili, è stato un evento drammatico e angoscioso che ha segnato quell’epoca, ben al di là di una semplice scoperta matematica o filosofica.
Teorema di Pitagora e radice di 2
Ai tempi di Pitagora gli unici numeri noti erano quelli naturali ($1, 2, 3, 4,…$) ed i loro rapporti cioè i numeri frazionari (\(1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4, \ldots\)). Non erano noti i numeri negativi e neanche lo zero. Lo zero, cioè il nulla era lontano dalla cultura occidentale ed in particolare da quella greca. Aristotele sosteneva che la natura soffre di horror vacui. In Oriente furono gli indiani (Brahmagupta V° secolo d.C.) ad introdurre i numeri negativi e lo zero. Utili in contabilità, i numeri positivi rappresentavano i crediti, i numeri negativi i debiti e lo zero l’assenza di debiti e crediti. Dall’altra parte del mondo, in America, pare che i Maya pensassero lo zero come una conchiglia vuota e sembra che un astronomo lo impiegasse come numero nei suoi conteggi. Dagli indiani questi numeri passarono agli arabi e da questi, con le cifre arabe che tutti oggi impieghiamo, arrivarono in Occidente dopo il 1100 d.C. grazie al matematico Leonardo Pisano detto Fibonacci.
La leggenda racconta che Pitagora muovendosi all’interno di un tempio si soffermasse a contemplare le belle piastrelle della pavimentazione tutte rigorosamente uguali e quadrate.
Pitagora si concentrò su una piastrella immaginandola di lato unitario ed immaginando pure tracciate le diagonali di alcuni quadrati. Si veniva così a formare un triangolo rettangolo (isoscele, cioè con i cateti di eguale lunghezza). Osservò poi che i quadrati costruiti sui due cateti avevano un area pari a due piastrelle, cioè $1+1 = 2$. Infine osservando la diagonale vide che il quadrato costruito su di essa aveva un area pari a quattro triangoli aventi ciascuno metà area di una piastrella dunque: $0.5+0.5+0.5+0.5 = 2$.
Generalizzando l’osservazione, dai triangoli rettangoli isoscele ai triangoli rettangoli qualunque, Pitagora avrebbe poi dimostrato il suo celebre Teorema. Sin qui la leggenda. La storia infatti non ci dice se il celebre teorema sia stato veramente intuito e dimostrato da Pitagora. Ad esempio è noto che alcune terne pitagoriche intere (esempio \(3,4,5: 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25 = 5^2\)) erano già conosciute dai babilonesi.
Torniamo però a Pitagora e alle sue piastrelle di lato unitario. Quanto misurava la diagonale? Certamente più di 1 e meno di 2. Avendo a disposizione tutti i numeri frazionari, Pitagora potrebbe aver pensato che la diagonale misurasse \(3/2 = 1.5\), ma non andava bene Potrebbe anche avere immaginato che misurasse \(84/60 = 1.4\), ma non andava ancora bene. Benché filosofo, matematico ed esperto di numeri non riuscì a trovare alcun numero frazionario che misurasse adeguatamente \(\sqrt{2}\). Lo smacco subito fu tenuto segreto a lungo, ma non per sempre. A tradire fu Ippaso di Metaponto (uno dei principali allievi di Pitagora) che per questo pare sia stato ucciso e affogato nel mare di fronte a Crotone in Calabria.
Oggi noi diciamo che \(\sqrt{2}\) e $1$ sono numeri incommensurabili nel senso che non esistono due numeri naturali n ed m tali che sia: \(\sqrt{2} = (n/m) \cdot 1\), ma questo non vuol dire che essi non possano avere una unita di misura comune (1). Inoltre anche se chiamiamo \(\sqrt{2}\) numero”irrazionale” questo non vuol dire che sia inesistente o che abbia qualche difetto psicologico. I numeri irrazionali sono “reali”, infatti così si chiamano assieme ai numeri “interi” e a quelli “frazionari”.
Numeri Razionali e Irrazionali
Il disegno riportato sopra, mostra in modo chiaro i numeri raggruppati in famiglie (o più propriamente insiemi). Il primo Insieme (N) è quello dei numeri Naturali 1,2,3,4,…Il secondo (Z) è quello dei numeri Interi. Esso comprende oltre i naturali anche i negativi e lo zero, cioè: $…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…$. Vi è poi l’insieme dei numeri Razionali (Q) che oltre ai numeri interi comprende anche i frazionari (rapporti tra interi). In figura sono riportati, come esempi: \(0,25 = 1/4; 3/4 = 0,75; 2,34343434… = 232/99\). Infine abbiamo R, l’insieme dei numeri Reali che, oltre ai razionali, comprende anche i numeri irrazionali come \(\sqrt{2}\) o \(\sqrt{3}\) o \(16^{1/3}\) cioè radice cubica di $16$. Tra gli irrazionali sono anche compresi numeri come “\(\phi\)”, “P greco” ed “e” che vedremo nei prossimi paragrafi. In sintesi possiamo dire che i numeri razionali comprendono sia i numeri interi che i frazionari, mentre i numeri irrazionali comprendono i numeri algebrici (che sono soluzioni di equazioni polinomiali, come \(\sqrt{2}\) e \(\phi\)) e i numeri trascendenti (che non sono soluzioni di equazioni algebriche, come “P greco” ed “e”).
Chiediamoci, quanti sono i numeri? Oggi la risposta è facile: infiniti. Per i Greci non era così semplice. Se non andavano d’accordo con il concetto di zero, tanto meno andavano d’accordo con il concetto di infinito o di infinitesimo. Ricordiamo tutti il paradosso di Zenone: Achille non riesce mai a raggiungere la tartaruga perché lo spazio, la retta è suddivisibile in intervalli sempre più piccoli, ma infiniti! Unica eccezione Archimede, che per calcolare l’area del cerchio (e quindi Pi greco) inventò il metodo di esaustione (serie di poligoni iscritti e circoscritti al cerchio con un numero crescente di lati) che anticipò il Calcolo integrale di Leibnitz e Newton.
Tutt’ora però i non matematici hanno diversi problemi persino con il concetto di infiniti numeri naturali. Ad esempio: per dimostrare che tutti i numeri pari sono divisibili per due dobbiamo trascorrere il resto della nostra vita a fare divisioni (\(2/2; 4/2; 6/2; 8/2;\ldots\))? No non è necessario. Peano, un matematico italiano, ha stabilito il potente principio di “induzione matematica” per cui: “se una proprietà vale per $n$ ed anche per $n+1$, allora essa vale anche per tutti gli altri successori di $n$… sino all’infinito”.
I Greci ci hanno insegnato che la parte è sempre minore del tutto e questo è vero anche nella moderna insiemistica… purché gli insieme siano finiti. Sarebbe infatti spontaneo pensare che i numeri pari (o anche i dispari) siano la metà dei naturali e invece non è così.
Due insiemi si dicono equipotenti se gli elementi del primo insieme possono essere posti in corrispondenza biunivoca con gli elementi del secondo insieme. Dunque i numeri pari (o anche i dispari) sono tanti quanti i numeri naturali.
Ancor più stranamente si trova che tutti i numeri razionali (interi più frazionari) sono tanti quanti i numeri naturali. Sembra che il buon senso sia definitivamente seppellito dalla matematica, ma qualcuno potrebbe sostenere: “in fondo il discorso non è cosi strano, l’infinito è infinito. Cosa vuoi ci sia più grande? Dunque è normale che tutti gli insiemi infiniti siano equipotenti tra loro”. Purtroppo non è così. Il matematico tedesco Cantor ci ha insegnato che esistono infiniti più grandi e più piccoli o per meglio dire di “ordine diverso”. Ad esempio l’insieme dei numeri Reali (R) è un infinito di grandezza superiore a quello dei numeri razionali (Q).
Quanti sono dunque i numeri Reali? Per avere un idea possiamo pensare che essi siano tanti quanti i punti di una retta con cui sempre possono essere messi in corrispondenza biunivoca. La figura ci mostra chiaramente che l’insieme dei numeri interi ha una numerosità inferiore all’insieme dei numeri reali. Qualcuno potrebbe ingenuamente pensare che i numeri razionali (frazionari) siano di una infinità maggiore dei numeri interi, ma non è così Cantor ha infatti ipotizzato la seguente congettura, conosciuta come “Ipotesi del Continuo”, in cui continuo è da intendersi come numerosità dei punti di una retta e quindi dei numeri Reali:
“Non esiste nessun insieme la cui cardinalità (cioè numerosità) è strettamente compresa fra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali”
Cantor per tutta la vita, e successivamente molti matematici ma anche filosofi, non sono riusciti a stabilire se l’ipotesi del continuo fosse vera o falsa. Successivamente, lo scorso secolo, il logico Kurt Goedel ed il matematico Paul Cohen arrivarono alla conclusione che non è dimostrabile né la verità né la falsità dell’ipotesi del continuo la quale dunque, appartiene alle congetture indecidibili della matematica. La celebre frase, pronunciata dal grande matematico Hilbert al convegno del 1900: “ In matematica non esiste alcun ignorabimus” era stata falsificata: esistono cioè, anche in matematica, proposizioni indimostrabili che non possono essere dimostrate vere o false.
Torniamo però alla potenza (o cardinalità o numerosità del continuo) che coincide con quella dei numeri reali e dei punti di una retta. Anche qui la parte è uguale al tutto perché una retta ed un segmento appartenente ad essa hanno la stessa cardinalità (cioè uguale numero di punti). Ancor più stranamente, un piano come ad esempio la faccia di un cubo, per quanto estesa o anche illimitata, ha sempre la cardinalità del continuo.
Persino un volume, come il cubo in figura, o l’intero spazio tridimensionale, contiene lo stesso numero di punti di quelli contenuti in una retta o in un segmento. La matematica sembra dunque procedere contro ogni evidenza dettata dal “buon senso”! Dunque l’insieme dei numeri reali (assimilabile ai punti di un segmento, di una superficie o di un volume) rappresenta l’insieme infinito di massima cardinalità? Ancora una volta l’intuizione ci inganna. Esistono infatti insiemi con cardinalità superiore a quella del continuo, come ad esempio l’insieme di tutti i sottoinsiemi possibili dei numeri reali o l’insieme di tutte le possibili funzioni $y = f(x)$ con $x$ reale qualunque.
Numero Aureo
Consideriamo, per semplicità, un segmento di lunghezza unitaria che vogliamo dividere in due parti, una minore “$m$” ed una Maggiore “$M$”. La divisione deve però fare si che il rapporto tra l’intero segmento “$1$” e la parte Maggiore ($M$) sia eguale al rapporto tra la parte Maggiore “$M$” e la parte minore “$m$”. Chiamiamo $phi$ questo rapporto.
Cioè \(\phi = (M+m)/M = M/m\) essendo $M+m = 1$
Dunque avremo il seguente sistema di tre equazioni (non lineare ma quadratico, perché esistono rapporti tra le variabili) nelle tre incognite: \(M, m, \phi\).
- $M+m = 1$
- \((M+ m)/M = \phi\)
- \(M/m = \phi\)
Dalla 2) si ha: \(\phi = 1 + m/M\) e quindi dalla 3) \(\phi = 1 + 1/\phi\). Cioè \({\phi}^2 = \phi+1\) da cui l’equazione di 2°: \(\color{blue}{\phi}^2 – \phi -1 = 0\).
Ricordando che per una generica equazione di 2°
$aX^2 + bX + c = 0$ si hanno due soluzioni:
\(X_1 = (-b+\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c})/2\cdot a\)
\(X_2 = (-b-\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c})/2\cdot a\)
Essendo nel nostro caso: $a = 1$ e $b = c = -1$ si trova, considerando la soluzione positiva:
\(\color{blue}{\phi}\color{black} = (1+ \sqrt{(-1)^2 + 4)}/2 = \color{blue}{(1+ √ 5)/2 = 1.618033989}\): Cioè la Costante Aurea o di Fidia.
Dalla 1) e dalla 2) si ha poi: \(1/M = \phi\), quindi \(\color{blue}M \color{black}= 1/\phi = \color{blue}0.618033989\). Dalla 3) poi \(m = M/\phi\) cioè \(m = 1/{\phi}^2\). Oppure dalla 1) \(\color{blue}{m}\color{black} = 1 – M = \color{blue}0.381966011\).
Dunque la costante di Fidia, essendo soluzione di un polinomio di 2° grado, risulta essere un numero irrazionale algebrico, come già trovato per la radice di due.
Chiediamoci ma è possibile calcolare numericamente e semplicemente la sezione aurea senza ricorrere all’algebra e alle equazioni di 2° ? Certamente si. Osserviamo, ad esempio, che la media proporzionalità di M tra il segmento unitario e la parte minore m, cioè la definizione stessa di sezione aurea: \(M+m/M = M/m\), può essere facilmente tradotta, eliminando $M$ grande, grazie alla 1) in: \(1/(1-m) = (1-m)/m\). A questo punto non resta che tabulare il valore assoluto della differenza: \(|1/(1-m) – (1-m)/m|\) al variare di $m$ e scegliere il valore di $m$ che minimizza la differenza:
| Parte minore | Diff. Ass. Rapporti | ||
|---|---|---|---|
| m | I 1/(1-m) – (1-m)/m I | ||
| 0.35 | 0.318681319 | ||
| 0.351 | 0.3081708 | ||
| 0.352 | 0.297699214 | ||
| 0.353 | 0.287266136 | ||
| 0.354 | 0.276871141 | ||
| 0.355 | 0.266513812 | ||
| 0.356 | 0.256193733 | ||
| 0.357 | 0.245910495 | ||
| 0.358 | 0.235663691 | ||
| 0.359 | 0.225452918 | ||
| 0.36 | 0.215277778 | ||
| 0.361 | 0.205137876 | ||
| 0.362 | 0.19503282 | ||
| 0.363 | 0.184962224 | ||
| 0.364 | 0.174925703 | ||
| 0.365 | 0.164922878 | ||
| 0.366 | 0.154953371 | ||
| 0.367 | 0.145016809 | ||
| 0.368 | 0.135112823 | ||
| 0.369 | 0.125241046 | ||
| 0.37 | 0.115401115 | ||
| 0.371 | 0.105592671 | ||
| 0.372 | 0.095815355 | ||
| 0.373 | 0.086068816 | ||
| 0.374 | 0.076352702 | ||
| 0.375 | 0.066666667 | ||
| 0.376 | 0.057010366 | ||
| 0.377 | 0.047383457 | ||
| 0.378 | 0.037785604 | ||
| 0.379 | 0.028216469 | ||
| 0.38 | 0.018675722 | ||
| 0.381 | 0.009163031 | M | \(\phi\) |
| 0.382 | 0.00032193 | 0.618 | 1.618 |
| 0.383 | 0.009779486 | ||
| 0.384 | 0.019209957 | ||
| 0.385 | 0.028613663 | ||
| 0.386 | 0.03799092 | ||
| 0.387 | 0.047342042 | ||
| 0.388 | 0.05666734 | ||
| 0.389 | 0.065967124 | ||
| 0.39 | 0.075241698 | ||
| 0.391 | 0.084491368 | ||
| 0.392 | 0.093716434 | ||
| 0.393 | 0.102917196 | ||
| 0.394 | 0.112093951 | ||
| 0.395 | 0.121246992 | ||
| 0.396 | 0.130376614 | ||
| 0.397 | 0.139483105 | ||
| 0.398 | 0.148566754 | ||
| 0.399 | 0.157627847 | ||
| 0.4 | 0.166666667 | ||
| 0.401 | 0.175683496 | ||
| 0.402 | 0.184678614 | ||
| 0.403 | 0.193652298 | ||
| 0.404 | 0.202604824 | ||
| 0.405 | 0.211536466 | ||
| 0.406 | 0.220447496 | ||
| 0.407 | 0.229338184 | ||
| 0.408 | 0.238208797 | ||
| 0.409 | 0.247059602 | ||
| 0.41 | 0.255890864 | ||
| 0.411 | 0.264702845 | ||
| 0.412 | 0.273495806 | ||
| 0.413 | 0.282270007 | ||
| 0.414 | 0.291025704 | ||
| 0.415 | 0.299763155 | ||
| 0.416 | 0.308482613 | ||
| 0.417 | 0.317184331 | ||
| 0.418 | 0.325868561 |
Pare che il matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci studiasse, tra l’altro, il meccanismo della riproduzione mensile dei conigli partendo da una coppia ancora non fertile al mese 0. Egli osservò che al 1° mese si aveva ancora 1 coppia, al 2° mese 2 coppie, al 3° mese 3 coppie, al 4°, 5 coppie, al 5°, 8 coppie, e così via. Generalizzando ai mesi successivi gli venne in mente che ad ogni mese il numero delle coppie di conigli si potesse calcolare semplicemente, sommando il numero delle coppie dei due mesi precedenti.
Per Fibonacci fu gioco facile esprimere matematicamente i numeri della Successione:
$S_n = (S_n-1) + (S_n-2)$. Di seguito sono riportati i primi 25 valori della successione assieme al rapporto tra ciascun numero con il suo predecessore $(S_n/(S_n-1))$:
| Succesione Fibonacci | Rapporti |
|---|---|
| 1 | |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 1.5 |
| 5 | 1.666666667 |
| 8 | 1.6 |
| 13 | 1.625 |
| 21 | 1.615384615 |
| 34 | 1.619047619 |
| 55 | 1.617647059 |
| 89 | 1.618181818 |
| 144 | 1.617977528 |
| 233 | 1.618055556 |
| 377 | 1.618025751 |
| 610 | 1.618037135 |
| 987 | 1.618032787 |
| 1597 | 1.618034448 |
| 2584 | 1.618033813 |
| 4181 | 1.618034056 |
| 6765 | 1.618033963 |
| 10946 | 1.618033999 |
| 17711 | 1.618033985 |
| 28657 | 1.61803399 |
| 46368 | 1.618033988 |
| 75025 | 1.618033989 |
Si può osservare che, sorprendentemente almeno per me, il Rapporto tra due numeri successivi della serie di Fibonacci tende, dopo alcune oscillazioni rapidamente smorzate, proprio alla Costante \(\phi\) di Fidia.
Consideriamo ora la funzione generatrice della equazione d 2° grado che ci ha permesso il calcolo della sezione aurea \(\phi\). La sua espressione è: \(\color{blue}Y = f(X) = X^2-X-1\) Si tratta presumibilmente di una parabola, ma per studiarla proviamo a tabularla assieme alla sua derivata \(dY/dX = Y’ = 2\cdot X – 1\):
| X | Y = X^2-X-1 | Y’ = 2*X-1 |
|---|---|---|
| -1 | 1 | -3 |
| -0.9 | 0.71 | -2.8 |
| -0.8 | 0.44 | -2.6 |
| -0.7 | 0.19 | -2.4 |
| -0.61803 | 0 | -2.236068 |
| -0.6 | -0.04 | -2.2 |
| -0.5 | -0.25 | -2 |
| -0.4 | -0.44 | -1.8 |
| -0.3 | -0.61 | -1.6 |
| -0.2 | -0.76 | -1.4 |
| -0.1 | -0.89 | -1.2 |
| 0 | -1 | -1 |
| 0.1 | -1.09 | -0.8 |
| 0.2 | -1.16 | -0.6 |
| 0.3 | -1.21 | -0.4 |
| 0.4 | -1.24 | -0.2 |
| 0.5 | -1.25 | 0 |
| 0.6 | -1.24 | 0.2 |
| 0.7 | -1.21 | 0.4 |
| 0.8 | -1.16 | 0.6 |
| 0.9 | -1.09 | 0.8 |
| 1 | -1 | 1 |
| 1.1 | -0.89 | 1.2 |
| 1.2 | -0.76 | 1.4 |
| 1.3 | -0.61 | 1.6 |
| 1.4 | -0.44 | 1.8 |
| 1.5 | -0.25 | 2 |
| 1.6 | -0.04 | 2.2 |
| 1.61803 | 0 | 2.236068 |
| 1.7 | 0.19 | 2.4 |
| 1.8 | 0.44 | 2.6 |
| 1.9 | 0.71 | 2.8 |
| 2 | 1 | 3 |
Osserviamo che la funzione si annulla per due valori di $X$ uno positivo, già trovato, cioè \(\color{blue} \phi = 1.61803 = (1+ \sqrt{5})/2\) e l’altro negativo \(\color{blue}-0.61803 = (1- \sqrt{5})/2 = – M\). Inoltre la derivata, all’inizio negativa, nulla per \(\color{blue}X = 0.5\) e poi positiva, fa ritenere che si tratti proprio di una parabola. Vediamone il grafico:
Esso ci mostra, come previsto, una parabola che ha valore nullo per $X = phi$ e per $X = -M$, ed un minimo per $X = 0.5$. Dal grafico inoltre possiamo dedurre facilmente la posizione e la misura delle 3 costanti geometriche: $M$, $m$ e $phi$ , rappresentate sotto:
Dunque valgono due semplici relazioni:
$M = phi – 1$
$m = 2 – phi$
Il numero di Fidia, o “Divina Proporzione” (come scrisse Luca Pacioli nel suo libro fondante per la contabilità) e la successione di Fibonacci si ritrovano, oltre che in matematica, nei settori disciplinari più diversi: Arte (Architettura, Pittura, Musica, Poesia,…); Biologia (Broccoli, Girasoli, Conchiglie, Umani,…); Economia (Livelli di Fibonacci, Trading,…). In Rete si possono trovare immagini e video, anche molto suggestivi, che descrivono tutti gli aspetti di questo numero e questa successione.
Pi Greco
Si è già accennato al fatto che Archimede, per risolvere il problema di calcolare l’area compresa all’interno di una circonferenza (\(\color{blue}\pi\color{black}\cdot r^2\)), usasse il metodo di esaustione. Per calcolare la lunghezza della circonferenza (\(2\cdot \color{blue}\pi\color{black}\cdot r\)) si avvalse di un metodo simile ottenendo per P greco i seguenti valori approssimati (se il diametro del cerchio vale 1 la lunghezza della circonferenza varrà P greco):
\( \color{black} 223/71 \lt \color{blue}\pi\color{black} \lt 22/7 \,\,\,\,\,\,\,\, \text{cioè}\,\,\,\,\,\,\,\, \color{black} 3.140845 \lt \color{blue}\pi\color{black} \lt 3.142857 \)
Pi greco è un numero irrazionale e non algebrico. Significa che esso oltre a non poter essere espresso come rapporto di interi, non può neanche essere espresso come soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi. La miglior approssimazione (quasi stupefacente) di \(\color{blue}\pi\) ad un numero razionale fu trovata dal cinese Zu Chongzhi nel V° secolo dopo Cristo. Essa si discosta meno di 0.3 milionesimi dal valore corretto: \(\color{blue}\pi \color{black}= 355/113 = 3.141593\). Oltre che nella teoria dei numeri e in geometria Pi Greco si utilizza in fisica, statistica, aerodinamica, ricerca operativa e sistemi dinamici. Di Pi greco, ormai, si sa quasi tutto. Con i computer si sono già calcolati più di 31.000 miliardi di cifre dopo la virgola. Qualche matematico/filosofo sostiene che il suo sviluppo di cifre, sempre diverso, contiene ogni possibile stringa numerica di qualunque lunghezza. Se ciò fosse vero con le cifre di Pi Greco si potrebbero codificare tutti i testi (letterari e non) e tutti i dati (numerici e non) prodotti dall’umanità nella sua intera storia.
Numero “e”, funzione $y = e^x$
La costante “e”, nota già da prima di Eulero, è un esempio di numero irrazionale trascendente (come anche Pi Greco). Esso cioè non può essere trovato come soluzione di una equazione algebrica (polinomiale), ma solo come soluzione di equazioni trascendenti (contenenti esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche,…). Secondo la definizione ed il calcolo di “e” ideato da J. Bernulli: \(e = \lim_{x \rightarrow \infty} (1+1/n)^n\). Da questa espressione non si riesce a trovare un buon valore numerico di “e” poiché il limite converge molto lentamente.
| n | (1+1/n)^n |
|---|---|
| 0.1 | 1.271 |
| 0.2 | 1.431 |
| 0.3 | 1.553 |
| 0.4 | 1.651 |
| 0.5 | 1.732 |
| 0.6 | 1.801 |
| 0.7 | 1.861 |
| 0.8 | 1.913 |
| 0.9 | 1.959 |
| 1 | 2.000 |
| 1.2 | 2.070 |
| 1.4 | 2.127 |
| 2 | 2.250 |
| 3 | 2.370 |
| 4 | 2.441 |
| 5 | 2.488 |
| 6 | 2.522 |
| 7 | 2.546 |
| 8 | 2.566 |
| 9 | 2.581 |
| 10 | 2.594 |
| 11 | 2.604 |
| 12 | 2.613 |
| 13 | 2.621 |
| 14 | 2.627 |
| 15 | 2.633 |
| 16 | 2.638 |
| 17 | 2.642 |
| 18 | 2.646 |
| 19 | 2.650 |
| 20 | 2.653 |
| … | … |
| 5000 | 2.718 |
| … | … |
| \(\color{blue}\infty\) | 2.7182818… = e |
Supponiamo di mettere in banca 1 Eur e immaginiamo che la banca sia così generosa da darci un interesse annuo del 100%. Alla fine dell’anno avremo \(1 + 100\% \cdot 1 = 2 \text{ Eur}\). Ora supponiamo che la capitalizzazione degli interessi sia semestrale cioè che la banca dopo sei mesi ci dia già 0.5 Eur di interessi che potremo reinvestire nel successivo semestre . Dunque a fine anno avremo: \(1.5 \cdot 1.5 = 2.25 \text{ Eur}\). Se poi l’anno è diviso in 4 periodi e la capitalizzazione è trimestrale a fine anno avremo: \((1.25)^4 = 2.441 \text{ Eur}\). Se poi l’anno è diviso in 12 periodi e la capitalizzazione è mensile avremo: \((1 + 1/12)^{12} = 1.08333^{12} = 2.6183 \text{ Eur}\) …Infine se poi la capitalizzazione fosse istantanea o continua a fine anno avremo: 2.7182818… Eur.
Da queste considerazioni deriva la più utilizzata formula della matematica finanziaria e dell’ analisi degli investimenti che, presupponendo una capitalizzazione annua ed un tasso d’interesse “i”, porta alla espressione che collega gli “A” Eur Attuali con gli “M” Eur del Montante percepiti tra n anni: \(M = A\cdot (1+i)^n\).
Vediamo ora la funzione $y = f(x) = e^x$, che è tabulata sotto:
| x | \(\color{black}e^x\) |
|---|---|
| -1.5 | 0.2231 |
| -1.4 | 0.2466 |
| -1.3 | 0.2725 |
| -1.2 | 0.3012 |
| -1.1 | 0.3329 |
| -1 | 0.3679 |
| -0.9 | 0.4066 |
| -0.8 | 0.4493 |
| -0.7 | 0.4966 |
| -0.6 | 0.5488 |
| -0.5 | 0.6065 |
| -0.4 | 0.6703 |
| -0.3 | 0.7408 |
| -0.2 | 0.8187 |
| -0.1 | 0.9048 |
| 0 | 1.0000 |
| 0.1 | 1.1052 |
| 0.2 | 1.2214 |
| 0.3 | 1.3499 |
| 0.4 | 1.4918 |
| 0.5 | 1.6487 |
| 0.6 | 1.8221 |
| 0.7 | 2.0138 |
| 0.8 | 2.2255 |
| 0.9 | 2.4596 |
| 1 | 2.7183 |
| 1.1 | 3.0042 |
| 1.2 | 3.3201 |
| 1.3 | 3.6693 |
| 1.4 | 4.0552 |
| 1.5 | 4.4817 |
Essa ha la notevole proprietà di essere un invariante rispetto alle operazioni di derivazione ed integrazione. Cioè sia la funzione derivata che la funzione integrale di $e^x$ hanno per risultato la funzione $e^x$ stessa. In figura questo si traduce nel fatto che (vedi grafico):
- Per $x = 1, y = e^x = e$;
- La derivata, cioè la tangente alla curva nel punto (1,e) vale esattamente “e”;
- L’integrale, cioè l’area compresa sotto la curva sino al punto (1,e), vale proprio “e”.
Numeri Reali ed Immaginari
I numeri Immaginari sono altrettanto numerosi dei Reali ed hanno in comune con essi (come mostra la figura) un solo numero: lo zero. Il nome “Immaginari” pare sia dovuto a Cartesio, ma esso compare molto prima nelle discussioni – un intrico di giuramenti, segreti e tradimenti – tra i matematici italiani Girolamo Cardano, Scipione del Ferro e Nicolò Tartaglia. Nella sua Ars Magna (1545 d.C.) Cardano considerò il problema di trovare due numeri X ed Y, con somma 5 e prodotto 10; trovò correttamente le due soluzioni: \((5 \mp \sqrt{-15})/2\), tuttavia le considerò una curiosità e segnalò al lettore che: “Queste quantità sono innaturali e continuare a operare su di esse sarebbe così sottile da essere inutile”.
La sua diffidenza derivava dal fatto che un numero di tale sorta non è né positivo né negativo, ma di un misterioso terzo tipo “quaedam tertia natura abscondita”. Cerchiamo di comprendere meglio la questione alla luce delle conoscenze di oggi e della disponibilità del foglio elettronico, strumento di calcolo numerico e grafico facilmente disponibile a tutti. Abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite: X,Y
- \(X+Y = 5\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ da cui }\,\,\,\,\,\,\,\, Y = 5 –X\)
- \(X \cdot Y = 10\)
Sostituendo nella 2) il valore Y si trova:
\((5-X)\cdot X = 10\) cioè una equazione di 2° grado: \(5X – X^2 – 10 = 0\).
Essa ha 2 soluzioni complesse coniugate:
\((-5 \pm \sqrt{25 -40})/ (-2) = (5 \mp \sqrt{-15})/2\)
Cosa significa questo? Significa che la parabola $f(X) = 5X – X^2 – 10$ non ha intersezione con l’asse dei numeri reali. Verifichiamolo numericamente e geometricamente:
| X | f(X) |
|---|---|
| 0 | -10 |
| 0.2 | -9.04 |
| 0.4 | -8.16 |
| 0.6 | -7.36 |
| 0.8 | -6.64 |
| 1 | -6 |
| 1.2 | -5.44 |
| 1.4 | -4.96 |
| 1.6 | -4.56 |
| 1.8 | -4.24 |
| 2 | -4 |
| 2.2 | -3.84 |
| 2.4 | -3.76 |
| 2.6 | -3.76 |
| 2.8 | -3.84 |
| 3 | -4 |
| 3.2 | -4.24 |
| 3.4 | -4.56 |
| 3.6 | -4.96 |
| 3.8 | -5.44 |
| 4 | -6 |
| 4.2 | -6.64 |
| 4.4 | -7.36 |
| 4.6 | -8.16 |
| 4.8 | -9.04 |
| 5 | -10 |
Gli algebristi italiani del 1500 ebbero molte difficoltà a trattare questi strani numeri che emergevano dal tentativo di risolvere molte equazioni polinomiali (cioè algebriche) di grado pari. Sembrò ad esempio che venissero inficiati i principi di identità e non contraddizione, ad esempio le semplici eguaglianze riportate sotto portavano a concludere che 1 è uguale a -1 !!!:
\( 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i^2 = -1 \)
Sappiamo però che l’uguaglianza centrale non è valida in quanto l’identità:
\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
vale solo per a e b postivi.
Intorno al 1800 i matematici Argand e Gauss fornirono indipendentemente una rappresentazione geometrica ed efficace dei numeri Reali, Immaginari e Complessi ricorrendo ad un piano cartesiano che riporta sulle ascisse i Reali sulle Ordinate gli Immaginari (I due assi hanno in comune il numero 0) e, nel piano, i numeri Complessi formati da una parte Reale ed una Immaginaria.
L’asse immaginario ha una unità diversa da quella dell’asse Reale (1) cioè: \(i = \sqrt{-1}\). Si potrebbe pensare che, al di la della teoria dei numeri, gli immaginari e i complessi non abbiano applicazioni. Così non è: essi ne hanno in meccanica dei fluidi, elettrotecnica, teoria dei segnali, relatività e meccanica quantistica.
Conclusioni
La cugina matematica viene a trovare l’ingegnere il giorno “5” del 2020; siamo ormai passati da un anno di tipo “3” ad un anno di tipo “4” , ma i matematici, si sa, hanno sempre qualche numero in più!
Lei sostiene: “come dice il tuo amico ingegnere devi, nell’articolo, far cenno ai numeri immaginari!”
Intanto, per il successivo giorno della Befana, porta in regalo un bellissimo bonsai di Olmo giapponese (Zelcova) che, sorprendentemente, nel rapporto tra la lunghezza della chioma e quella del tronco, ricorda proprio il rapporto aureo: \(\color{blue}M/m\).
L’ anglista ha organizzato per la vigilia della Befana una riunione di famiglia a casa sua. Durante il pranzo riceve dal Gruppo delle Cave un WhatsApp che inneggia al duemilaventi come anno palindromo. Un momento, dice l’ingegnere con pignoleria, per avere un giorno palindromo bisogna aspettare il 2 Febbraio! >>> 02022020 <<<.
L’amica filosofa lavora per sistemare e manutenere la casa nel bosco, ma ha anche tempo per scrivere, sulla dispensa del centro filosofico, un articolo relativo al concetto di verità per Socrate (cioè Platone). Due sono i concetti centrali che sembrano emergere:
- Socrate, secondo l’oracolo di Delfi, è il più sapiente perché “Sa di non sapere”;
- Socrate, con la maieutica, aiuta ogni ateniese a trovare la verità dentro di sé.
Ma cosa direbbe Socrate se scoprisse che, persino nella matematica, esistono questioni che non sono né vere né false (Goedel)?
L’ingegnere ha deciso che per la prossima cena alla trattoria del mulino tra i pini con la filosofa porterà con se, arrotolato, un metro da sartoria. Vuole verificare se la circonferenza della ruota del mulino misura veramente circa 6.28 metri, essendo a tutti noto che il raggio della piccola ruota è di solo 1 metro.
Si sa gli ingegneri sono spesso poco speculativi ed hanno la mania delle applicazioni pratiche, basate su verifiche concrete. Per questo motivo un gruppo di ingegneri coreani piantò tre picchetti infissi a triangolo rettangolo in un campo di calcio per verificare empiricamente, con sofisticate misure laser, la validità del teorema di Pitagora. La differenza tra le aree dei cateti e della ipotenusa risultò trascurabile. Non contenti gli ingegneri coreani decisero di fare le cose in grande con un gigantesco triangolo rettangolo geografico basato anche su un paio di isole distanti centinaia di chilometri. Le misure erano precisissime e basate su rilevazioni satellitari. Il teorema di Pitagora sembrò essere falsificato, ma non era così: esso infatti vale per la geometria piana e non per la superficie terrestre. Quando si tenne in considerazione la curvatura del nostro pianeta i conti tornarono alla perfezione, anche per il triangolo realizzato sul campo di calcio.
Per la discussione con l’amica filosofa l’ingegnere si prepara stampando dalla rete l’immagine di alcuni dei principali matematici coinvolti e, con l’aiuto di Excel, un confronto numerico tra le quattro costanti, tutte irrazionali (e quindi appartenenti alla retta orizzontale reale, ma due algebriche e due trascendenti), di cui dovranno parlare durante la cena.
Bibliografia
- Dialogo di un venditore di Almanacchi e di un Passeggere (video su YouTube);
- Problem Solving;
- Cento Filosofi, Vita e opere di grandi pensatori;
- Pitagora, Archimede, Fibonacci, Eulero,…;
- Perché?. 100 Storie di filosofi per ragazzi curiosi;
- Perché il mondo è matematico;
- Il linguaggio della matematica;
- Da Euclide a Goedel;
- Il Pallino della matematica;
- Contro l’ora di matematica;
- Zero, Storia di una idea pericolosa;
- Numero di Nepero o di Eulero?;
- Numeri a Regola d’arte;
- Istanti fatali. Radio3 Scienza del 31/12/2019;
- Istanti fatali. Un libro di racconti matematici
- La matematica è vita;
- Te lo racconto e ci metto pure le figure;
- Fibonacci e la sua successione;
- Teorema di Pitagora;
- Radice di 2 e numeri irrazionali;
- Pi greco;
- La costante “e” di Bernoulli;
- Numeri immaginari e complessi;
- Novità matematiche del 2019.