Vediamo qualche esempio di espressioni con i monomi, in cui compaiono tutte le operazioni: somma, differenza, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza fra monomi.
Ricordiamo le regole di precedenza quando si eseguono i calcoli:
- le parentesi tonde hanno la precedenza, poi vengono le quadre, e infine le graffe;
- rispettiamo l’ordine delle operazioni: prima svolgiamo moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui compaiono, poi addizioni e sottrazioni;
- eleviamo a potenza solo dopo aver effettuato tutti i conti dentro le parentesi della potenza; ricordiamoci che la potenza di una potenza si ottiene moltiplicando l’ esponente esterno delle parentesi per ognuno degli esponenti dei componenti del monomio all’interno; il prodotto di due potenze si ottiene sommando gli esponenti delle potenze, mentre il quoziente sottraendoli.
- Esempio 1
\( [(-2ab)^2(a^2b)+(-2a^2)^2(-b)^3+(-2ab)^4(-3b^5):(-b^2)^3]:(4a^2b)^2 = \)
Cerchiamo di semplificare l’espressione letterale, svolgendo le potenze al di fuori delle parentesi tonde, moltiplicando cioè l’esponente con gli esponenti della parte numerica e letterale del monomio all’interno:
\( [4a^2b^2(a^2b)+4a^{2\times 2}(-b^3)+16a^4b^4(-3b^5):(-b^{2\times 3})] : 16a^{2\times 2}b^2 = \)
\( [4^{2+2}b^{2+1} – 4a^4b^3-48a^4b^{4+5}:(-b^6)]:16a^4b^2 = \)
Calcoliamo la prima divisione, all’interno delle parentesi quadre, effettuando la differenza degli esponenti:
\( [4a^4b^3 – 4a^4b^3 + 48a^4b^{9-6}] : 16a^4b^2 = \)
Procediamo ora sommando i monomi simili:
\( [48a^4b^3] : 16a^4b^2 = \)
Calcoliamo l’ultima divisione:
\( 3a^{4-4}b^{3-2} = 3b \)
- Esempio 2
\( \big[-0.\bar{2}a^2:\big(-\frac{1}{3}a\big)^2\big]^2 (-b)^3 + [-0.1b^2 (-5a^3)^2 : (-5a^2)^3](-5)^2b = \)
Per prima cosa, trasformiamo i numeri decimali in frazioni: per i numeri decimali non periodici, dobbiamo semplicemente dividere il numero decimale (privato della virgola) per una potenza di dieci, che ha tanti zeri quanti sono i numeri dopo la virgola del decimale; per i numeri periodici, il numeratore è dato dal numero senza virgola meno l’antiperiodo, mentre il denominatore avrà tanti nove quante sono le cifre del periodo, e tanti zeri quante quelle dell’antiperiodo:
\( \big[-\frac{2}{9}a^2 : \frac{1}{9} a^2\big]^2 (-b^3) + \big[-\frac{1}{10}b^2 \times 25 a^{3\times 2} : (-125a^{3\times 2})\big] 25b = \)
Calcoliamo ora divisioni e sottrazioni nell’ordine in cui compaiono:
\( \big[-\frac{2}{9}\times 9 a^{2-2}\big]^2 (-b^3) + \big[-\frac{1}{10}\times 25a^6b^2 : (-125a^6)\big] 25b = \)
\( [-2]^2 (-b^3) + \big[-\frac{5}{2}a^6b^2 : (-125a^6)\big] 25b = \)
\( 4 (-b^3) + \big[-\frac{5}{2} \times \big(-\frac{1}{125}\big)a^{6-6}b^2] 25b = \)
\( -4b^3 + \big[\frac{1}{50}b^2\big] 25b \)
\( -4b^3 + \frac{1}{50} \times 25b^{2+1} = \)
Sommiamo i monomi simili:
\( -4b^3 + \frac{1}{2}b^3 = \big(-4 + \frac{1}{2}\big)b^3 = \big(\frac{-8+1}{2}\big)b^3 = -\frac{7}{2}b^3 \)
- Esempio 3
In questo esempio, alcune lettere hanno come esponente un intero n, che compare da solo, o moltiplicato per un altro numero naturale. Questa tipologia di esercizi, anche se può apparire più difficile, si risolve esattamente come negli altri casi, basta ricordare le regole delle potenze e applicarle considerando n come fosse un numero naturale qualsiasi.
\( \{4(a^5)^n : a^{2n} : (-2^2)+(-a^n)^3+[(-a)^2]^n(-2a^n)\}^2:(2a^n)^3 = \)
Semplifichiamo l’espressione letterale, svolgendo le potenze al di fuori delle parentesi tonde, moltiplicando cioè l’esponente (compreso n) con gli esponenti della parte numerica e letterale del monomio all’interno:
\( \{4a^{5\times n} : a^{2n} : (-4)-a^{n\times 3}+[-a^2]^n(-2a^n)\}^2:8a^{3\times n} = \)
\( \{4a^{5n} : a^{2n} : (-4) – a^{3n} + a^{2\times n} (-2a^n)\}^2 : 8a^{3n} = \)
Svolgiamo le divisioni nell’ordine in cui compaiono, sottraendo l’esponente del divisore a quello del dividendo:
\( \{4a^{5n-2n} : (-4)-a^{3n}+a^{2n}(-2a^n)\}^2 :8a^{3n} = \)
\( \{-a^{3n} – a^{3n} – 2a^{2n+n}\}^2 : 8a^{3n} = \)
Sommiamo i monomi simili:
\( \{ -2a^{3n} -2a^{3n}\}^2 : 8a^{3n} = \)
Calcoliamo la potenza al di fuori della parentesi graffa:
\( 16a^{3n\times 2} : 8a^{3n} = \)
\( 16a^{6n} : 8a^{3n} = \)
Calcoliamo l’ultima divisione:
\( 2a^{6n-3n} = 2a^{3n} \)
- Esempio 4
\( \frac{2}{3}ab^n(a^nb) – a^{3n}b^{3n} : (a^2b^2)^n(ab)+\frac{(5a-3a)^{n+1}(7b-5b)^{n+1}}{4^{n+1}} = \)
Cominciamo dalla prima parte dell’espressione letterale svolgendo elevamenti a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui compaiono; nella seconda parte, sommiamo i monomi simili:
\( \frac{2}{3}a^{1+n}b^{n+1}-a^{3n}b^{3n}:a^{2\times n}b^{2\times n}(ab)+\frac{\big((5-3)a\big)^{n+1}\big((7-5)b\big)^{n+1}}{4^{n+1}} = \)
\( \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1}-a^{3n}b^{3n}:a^{2n}b^{2n}(ab)+\frac{(2a)^{n+1}(2b)^{n+1}}{4^{n+1}} = \)
Ricordiamoci la proprietà delle potenze per cui, se in una frazione abbiamo il numeratore e il denominatore con lo stesso esponente, possiamo elevare l’intera frazione a quell’esponente:
\( \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1}-a^{3n-2n}b^{3n-2n}(ab) + \big(\frac{2a\times 2b}{4}\big)^{n+1} = \)
\( \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1}-a^nb^n(ab)+\big(\frac{4ab}{4}\big)^{n+1} = \)
\( \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1}-a^{n+1}b^{n+1}+(ab)^{n+1} = \)
Sommiamo i monomi simili:
\( \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1}-a^{n+1}b^{n+1}+a^{n+1}b^{n+1} = \frac{2}{3}a^{n+1}b^{n+1} \)
Materiale aggiuntivo
Videolezione su come ridurre un monomio in forma normale