Prodotto tra monomi

Il prodotto di due o più monomi si indica scrivendo i monomi, racchiusi fra parentesi tonde, uno di seguito all’altro, così da ottenere un’espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Quindi, il prodotto di due o più monomi è anch’esso un monomio, che va poi ridotto in forma normale.

Il prodotto di due o più monomi non nulli, scritti in forma normale, è il monomio formato in questo modo:

  • La parte numerica (il coefficiente) è il prodotto dei coefficienti dei monomi di partenza;
  • La parte letterale è costituita da tutte le lettere che figurano nei monomi di partenza, prese ognuna una sola volta, con esponente uguale alla somma degli esponenti don cui compaiono nei monomi di partenza.

Vediamo qualche esempio:

esempi

  • Es. 1: \( (-x^4yz^5)(xy^4)(-3yz^2) \)

Procediamo occupandoci dei segni, poi togliamo le parentesi, ordiniamo il monomio, poi moltiplichiamo sommando gli esponenti:

\( (x^4yz^5)(xy^4)(3yz^2) = x^4yz^5xy^43yz^2 = \)

\( 3xx^4yy^4yz^5z^2 = 3x^{1+4}y^{1+4+1}z^{5+2} = \)

\( 3x^5y^6z^7 \)

 

  • Es. 2: \( -\frac{1}{2}a^2b^3c^4\times\big(+\frac{8}{3}b^2c^3\big) \)

Svolgiamo il prodotto calcolando prima la parte numerica, poi quella letterale:

\( \big(-\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}\big) a^2b^3c^4\times (b^2c^3)=-\frac{4}{3}a^2b^3c^4 \times (b^2c^3) = \)

\( -\frac{4}{3}a^2b^3c^4\times b^2c^3 = -\frac{4}{3}a^2b^3b^2c^4c^3 = \)

\( -\frac{4}{3} a^2b^{3+2}c^{4+3} = -\frac{4}{3}a^2b^5c^7 \)

 

  • Es. 3: \( -\frac{7}{9}ab^2c(-6ab^2c)\big(-\frac{3}{8}abc^2\big) \)

\( = -\frac{7}{9}\times (-6) \times \big(-\frac{3}{8}\big)ab^2c(ab^2c)(abc^2) = \)

\( -\frac{7}{4} ab^2c(ab^2c)(abc^2) = -\frac{7}{4}ab^2cab^2cabc^2 = \)

\( -\frac{7}{4}aaab^2b^2bccc^2 = -\frac{7}{4}a^{1+1+1}b^{2+2+1}c^{1+1+2} = \)

\( -\frac{7}{4}a^3b^5c^4 \)

 

  • Es. 4: \( – \big(-\frac{12}{5}x^2m\big)(+0.2x^3m^2)\big(-\frac{25}{4}mn^2x\big) \)

\( = – \big(-\frac{12}{5}\big) (+0.2)\big(-\frac{25}{4}\big) x^2mx^3m^2mn^2x = \)

\( – \big(\frac{12}{5}\big)\big(\frac{1}{5}\big)\big(\frac{25}{4}\big)x^2mx^3m^2mn^2x = \)

\( -3x^2mx^3m^2mn^2x = -3mm^2mx^2x^3xn^2 = \)

\( -3m^{1+2+1}x^{2+3+1}n^2 = -3m^4x^6n^2 \)

 

Divisione fra monomi

A differenza delle precedenti operazioni fra monomi che abbiamo esaminato, la divisione fra monomi non è sempre possibile.

Diciamo allora che un monomio A è divisibile per un monomio B, diverso dal monomio nullo, se esiste un monomio Q che, moltiplicato per B dia A, cioè se risulta \( A = B \times Q \).

Si scrive quindi che \( A : B = Q \leftrightarrow A = B \times Q \) con \( B \neq 0 \);

Come per i numeri naturali, anche per i monomi si dice che A è il dividendo, B è il divisore, Q è il quoziente.

Vediamo ora alcune regole per eseguire la divisione fra monomi; se la divisione è possibile, il monomio ottenuto sarà così formato:

  • La parte numerica (il coefficiente) è il quoziente dei coefficienti dei monomi di partenza, in particolare del monomio dividendo e del monomio divisore;
  • La parte letterale è costituita dalle lettere del dividendo, ciascuna con esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui compare nei monomi dividendo e divisore.

Esempi

Es. 1: \( \big(\frac{3}{4}ab^3c^2d^4\big) : (-2ab^2c) \)

Occupiamoci per prima cosa della parte numerica, ed effettuiamo la divisione fra i coefficienti:

\( \big[\frac{3}{4} : (-2)\big] \times [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)] = \)

\( \big[\frac{3}{4} \times \big(-\frac{1}{2}\big)\big] \times [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)]  = \)

\( – \frac{3}{8} [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)] \)

Ora possiamo passare alla parte letterale, ed effettuiamo la divisione lettera per lettera, sottraendo l’esponente del divisore a quello del dividendo:

\( – \frac{3}{8} \times a^{1-1} b^{3-2} c^{2-1} d^{4-0} = – \frac{3}{8} \times a^0b^1c^1d^4 = \)

\( – \frac{3}{8}bcd^4 \)

 

  • Es. 2: \( – \frac{1}{3} x^3 y^3 z : \big(- \frac{1}{4} x^3 y^2 \big) = \)

\( \big[ -\frac{1}{3} : \big( – \frac{1}{4} \big)\big] \times [x^3 y^3 z : (x^3 y^2)] = \)

\( \big[ – \frac{1}{3} \times (-4) \big] \times [x^3 y^3 z : (x^3 y^2)] = \)

\( \frac{4}{3} \times [x^3 y^3 z : ( x^3 y^2)] = \)

\( \frac{4}{3} x^{3-3} y^{3-2} z = \frac{4}{3} x^0 y^1 z = \frac{4}{3} yz \)

 

  • Es. 3: \( -54 a^3 b^4 c^7 : (+9 ab^3 c^4) = \)

\( (-54 : 9) \times [a^3 b^4 c^7 : (a b^3 c^4)] = \)

\( -6 \times a^{3-1} b^{4-3} c^{7-4} = -6 a^2 b^1 c^3 = -6 a^2 b c^3 \)

 

  • Es. 4: \( -\frac{1}{2} a^3 x^2 y z^4 : (-2a x^2 z^3) = \)

\( \big[- \frac{1}{2} : (-2) \big] \times [a^3 x^2 y z^4 : (a x^2 z^3)] = \)

\( \big[ -\frac{1}{2} \times \big(-\frac{1}{2}\big)\big] \times [a^3 x^2 y z^4 : (ax^2 z^3)] = \)

\( \frac{1}{4} \times [a^3 x^2 y z^4 : (ax^2 z^3)] = \frac{1}{4} \times a^{3-1} x^{2-2} y z^{4-3} = \)

\( \frac{1}{4} \times a^2 x^0 y z^1 = \frac{1}{4} a^2 y z \)

 

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