Multiplo e divisore di un monomio
Così come per i numeri naturali, anche per i monomi possiamo dare la definizione di multiplo.
Dati due monomi A e B, si dice che A è multiplo di B se esiste un monomio C tale che \( A = B \times C \). Il monomio B si dice divisore del monomio A.
Per esempio, il monomio \( A = 3a^2bc^3 \) è multiplo del monomio \( B = abc^2 \), perché il monomio A si può ottenere moltiplicando il monomio B per un terzo monomio \( C = 3ac \); infatti: \( abc^2 \times 3ac = 3a^2bc^3 \).
Massimo comun divisore (M.C.D)
La nozione di massimo comun divisore introdotta con i numeri naturali, può essere estesa ai monomi. Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:
- Il coefficiente è il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
- La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al minore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato sarà un divisore dei monomi di partenza, e precisamente, sarà quello di grado maggiore.
- Esempio 1: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
\( 12 x^3 y^2 \); \( 40 x^4 y^3 z^2 \); \( 44 x^2 y \)
Scomponiamo in fattori i coefficienti, che sono numeri interi:
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 40 = 2^3 \times 5 \)
\( 44 = 2^2 \times 11 \)
La parte numerica è quindi data da
\( M.C.D. (12, 40, 44) = 2^2 = 4 \)
Per quanto riguarda la parte letterale, i fattori comuni a tutti i monomi sono x e y, che dobbiamo prendere con esponente minore: \( x^2 \) e \( y \).
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: \( 4x^2y \).
- Esempio 2: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
\( -30 a^3 b^2 \); \( 45 a^2 b c^2 \); \( 25 a^2 b^3 c \)
Calcoliamo la parte numerica:
\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
\( 45 = 3^2 \times 5 \)
\( 25 = 5^2 \)
\( M.C.D. (30, 45, 25) = 5 \)
Per la parte letterale, i fattori comuni sono a e b, presi con esponente minimo, quindi abbiamo: \( a^2 b \).
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: \( 5 a^2 b \).
- Esempio 3: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
\( 35 m p^2 \); \( 7 m^2 q^3 \); \( \frac{1}{7} m^2 q^3 \)
La parte numerica, considerando che il coefficiente di uno dei monomi è una frazione, e uguale a 1.
Per la parte letterale, l’unico fattore comune è m, che preso con esponente minimo, è m:
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi m.
- Esempio 4: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:
\( 12 a^{2n} b \); \( 3 a^{3n} b^5 \); \( 18 a^{4n} \)
Calcoliamo la parte numerica:
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 3 = 3 \)
\( 18 = 3^2 \times 2 \)
\( M.C.D. (12, 3, 18) = 3 \)
Per la parte letterale, notiamo che la lettera a compare con esponente un numero naturale n moltiplicato per un fattore.
Consideriamo questa lettera in questo modo: \( a^{2n} = (a^n)^2, a^{3n} = (a^n)^3, a^{4n} = (a^n)^4 \); di conseguenza, questa lettera, l’unica presente in tutti i monomi, presa con esponente più basso, sarà \( a^{2n} \).
Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: \( 3a^{2n} \).
Minimo comune multiplo (m.c.m)
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi si ottiene in questo modo:
- Il coefficiente è il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
- La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al maggiore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.
In particolare, il monomio così formato è multiplo di tutti i monomi dati e, tra tutti i multipli dei monomi dati, è quello di grado minore.
- Esempio 1: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
\( 20 a^3 b^4 \); \( 35 a^2 c^2 \); \( 15 a b^2 c \)
Procediamo scomponendo in fattori le parti letterali di ciascun monomio, e calcolando il loro m.c.m.:
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
\( 35 = 7 \times 5 \)
\( 15 = 3 \times 5 \)
\( m.c.m (20, 35, 15) = 3 \times 7 \times 2^2 \times 5 = 420 \)
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 4, mentre quello di c è 2. Quindi, la parte letterale è la seguente: \( a^3 b^4 c^2 \).
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: \( 420 a^3 b^4 c^2 \).
- Esempio 2: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
\( 2 x y^3 z \); \( – \frac{1}{3} x^2 y^2 z^2 \); \( -\frac{4}{5} x^4 z^2 \)
Poiché le parti numeriche di due monomi sono frazioni, il coefficiente è uguale a 1.
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono x, y, z; presi con l’esponente massimo, otteniamo come parte letterale: \( x^4 y^3 z^2 \).
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi: \( x^4 y^3 z^2 \).
- Esempio 3: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
\( 5 a^3 b c \); \( 12 a b^2 c^3 \); \( 10 a^3 b^3 c^2 \)
Calcoliamo il m.c.m. della parte numerica:
\( 5 = 5 \)
\( 12 = 3 \times 2^2 \)
\( 10 = 2 \times 5 \)
\( m.c.m. (5, 12, 10) = 3 \times 2^2 \times 5 = 60 \)
I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 3, quello di c è 3. Quindi, la parte letterale è la seguente: \( a^3 b^3 c^3 \).
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: \( 60 a^3 b^3 c^3 \).
- Esempio 4: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:
\( 14 m^3 n^2 r^4 \); \( 49 m n^3 r \); \( 4 m^4 n^2 \)
Calcoliamo la parte numerica:
\( 14 = 2 \times 7 \)
\( 49 = 7^2 \)
\( 4 = 2^2 \)
Le lettere che compongono la parte letterale sono m, n, r, prese con esponente maggiore: \( m^4 n^3 r^4 \).
Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: \( 196 m^4 n^3 r^4 \).
Monomi primi tra loro
Due monomi sono primi fra lori se il massimo comun divisore è 1.
Per esempio \( 7 x^3 y \) e \( 5 z t^2 \) sono monomi primi, perché non hanno fattori in comune, né nella parte numerica, né in quella letterale.
Altre risorse utili
Test sui monomi