Definizione di monomio
Un monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione; il monomio è composto da una parte letterale, e da una parte numerica.
Vediamo qualche esempio:
- Esempio 1: \( 3ab \)
Il monomio è composto dalla parte numerica, che è ‘3’, e dalla parte letterale, che è ‘ab’.
- Esempio 2: \( -2ab^2 \)
In questo caso, la parte numerica è ‘-2’, e la parte letterale è \( ab^2 \).
Valore numerico di un monomio
Come per le espressioni letterali, anche per i monomi vale la definizione di valore numerico: il valore numerico di un monomio è il valore che si ottiene eseguendo la sequenza di operazioni indicate dal monomio dopo aver sostituito dei valori numerici alle lettere che lo compongono.
Se volessimo, per esempio, calcolare il valore numerico del monomio \( 2ab^2 \) quando \( a \) vale 2, e \( b \) vale 3, dobbiamo semplicemente sostituire questi valori nell’espressione:
\[ 2ab^2 = 2 \times 2 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 9 = 36 \]
Monomi interi e frazionari
I monomi possono essere interi, o frazionari, in base al fatto se compaiano o no lettere al denominatore.
Esempi di monomi interi
\( \frac{2}{3} a^3 c^2 \), \( 21 b^2 c \), \( 3a^2b^3c \)
Esempi di monomi frazionari
\( \frac{b^2a^3}{c} \), \( \frac{2a^2b}{c^3} \), \( \frac{c^2}{2ab} \)
I monomi possono essere suddivisi in tre categorie: i monomi simili, i monomi uguali e i monomi opposti.
Monomi simili
Si dicono simili due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.
Esempi di monomi simili:
\( 2ab^2c \) e \( 10ab^2c \);
\( 7b^2a^3 \) e (5a^3b^2) \);
\( \frac{1}{5}a^3bc^2 \) e \( 6a^3bc^2 \);
Monomi uguali
Si dicono uguali due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, e hanno uguale anche la parte numerica.
Esempi di monomi uguali
\( 2ac^2 \) e \( 2ac^2 \);
\( 7b^2a^3 \) e \( 7a^3b^2 \);
\( \frac{1}{5}a^3bc^2 \) e \( \frac{1}{5}a^3bc^2 \)
Monomi opposti
Si dicono opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, ma la parte numerica opposta.
Esempi di monomi opposti
\( 2ac^2 \) e \( -2ac^2 \);
\( 5b^2c^3 \) e \( -5b^2c^3 \);
\( \frac{11}{3}a^2bc^4 \) e \( -\frac{11}{3}a^2bc^4 \);
Grado di un monomio
Si definisce grado di un monomio il grado complessivo del monomio, cioè la somma degli esponenti delle lettere che formano la parte letterale:
- \( a^3b^2cd^4 \) ha grado \( 3 + 2 + 1 +4 = 10 \)
- \( \frac{5}{3}ab^3c^4d^4 \) ha grado \( 1 + 3 + 4 + 4 = 12 \)
Facendo riferimento ad una lettera precisa, invece, si parla di grado rispetto ad una lettera, cioè il grado con cui quella lettera compare nel monomio.
Esempio. Nel monomio \( +5a^3b^2cd^4 \) il grado rispetto alla lettera ‘a’ è 3, mentre il grado rispetto alla lettera ‘c’ è 1 (perché quando una lettera è priva di esponente, va considerata con esponente 1); potremmo anche far riferimento ad una lettera ‘e’, che non è presente nel monomio, in questo caso il suo grado sarebbe 0.
Se in un monomio manca una lettera, si dice che il monomio è di grado zero rispetto a quella lettera.
Secondo questa definizione, quindi, possiamo considerare monomi anche le parti letterali da sole, ad esempio \( +5 \) o \( -3 \); in questo caso, si parla di monomio di grado zero, in quanto tutte le lettere che vi compaiono hanno grado zero (sono cioè uguali a 1).
Una piccola eccezione va fatta nel caso in cui compaia solo 0 come parte numerica; in questo caso non siamo in grado di determinare il grado delle lettere che compaiono, perciò il suo grado rimane indefinito, ed esso prende il nome di monomio nullo.
Monomio in forma normale
Un monomio si dice in forma normale se la parte letterale è composta da lettere che compaiono una sola volta.
Ad esempio \( 8a^2b^3c \) e \( 2b^2a^4c \) sono in forma normale, mentre \( 3a^2b^3cab \) e \( 3ab^2a^3\frac{2}{5}c \) non lo sono.
Un monomio può essere facilmente ridotto in forma normale, seguendo queste regole:
- si ordina il monomio, cosicché risulti più semplice individuare i fattori numerici, e le lettere uguali;
- si moltiplicano fra loro i fattori numerici;
- si moltiplicano le potenze con la stessa base;
Esempio 1 di monomio in forma normale
- \( a^2 ( -1 ) (+3) ab^2 (-b) \)
Ordiniamo il monomio in questo modo:
\( (-1) (+3)a^2ab^2(-b) = (-1)(+3)(-1)a^2ab^b \);
occupiamoci della parte numerica, e moltiplichiamo \( (-1)(+3)(-1) = +3 \);
ora, passiamo alla parte letterale, e moltiplichiamo le lettere simili, ricordandoci le regole della moltiplicazione di potenze con la stessa base: dobbiamo sommare gli esponenti:
\( 3a^{2+1}b^{2+1} = 3a^3b^3 \)
Esempio 2
- \( 3a^4b^2\frac{3}{5}ca^3(-b)^2 \)
Procediamo come prima. Ordiniamo il monomio:
\( 3 \times \frac{3}{5}a^4a^3b^2(-b)^3c = 3 \times \frac{3}{5}(-1)a^4a^3b^2b^2c \)
Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:
\( -\frac{9}{5}a^{4+3}b^{2+2}c = -\frac{9}{5}a^7b^4c \)
Esempio 3
- \( (-0.3)ab^4\big(+\frac{5}{9}\big)a(-b)a^3 \)
Ordiniamo il monomio, e trasformiamo tutti i numeri in numeri frazionari:
\( (0.3)\big(+\frac{5}{9}\big)aaa^3b^4(-b) = \big(-\frac{3}{10}\big)\big(+\frac{5}{9}\big)(-1)aaa^3b^4b \)
Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:
\( \frac{1}{6}a^{1+1+3}b^{4+1} = \frac{1}{6}a^5b^5 \)
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Videolezione: Ridurre un monomio in forma normale