Scheda in cui si tratta l’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali
L’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali
Nell’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l’addizione \( ( + ) \) e la moltiplicazione \( ( \cdot ) \); con l’estensione di \( \mathbb{N} \) a \( \mathbb{Z} \) è diventata interna anche l’operazione di sottrazione \( ( – ) \) . Con l’aggiunta di “nuovi” numeri, e quindi con la formazione di un nuovo insieme, è possibile fare in modo che anche la divisione (escludendo il caso della divisione per \( 0 \)) diventi un’operazione interna: tale insieme è l’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali.
Definizione. Si definisce numero razionale una qualsiasi coppia \( (a; b) \) ordinata di numeri interi, il secondo dei quali sempre diverso da \( 0 \).
La coppia \( (a; b) \) si indica anche con il simbolo
\[ \frac{a}{b} \]
Tale simbolo si legge rapporto fra i due numeri \( a, b \), o anche frazione. In genere si chiamano \( a, b \), rispettivamente, numeratore e denominatore.
Definizione. Si definisce insieme dei numeri razionali
\[ \mathbb{Q} = \{(a; b) | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} \]
\[ \mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} \]
Osservazione . Vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero numeratore e denominatore di una frazione, non cambia il valore della frazione.
Osservazione. Uno stesso rapporto può essere rappresentato in infiniti modi. Ad esempio, \( \frac{8}{10} \) può anche essere rappresentato come \( \frac{4}{5}, \frac{16}{20},\frac{24}{30}, \ldots \)
Definizione. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il massimo comun divisore del suo numeratore e del suo denominatore è \( 1 \):
\[ M.C.D.(a; b) = 1 \]
Definizione. Una frazione si dice propria se il numeratore è minore o uguale del denominatore, si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.
Osservazione. Attraverso la proprietà invariantiva si può sempre sostituire a una frazione la sua corrispondente ridotta ai minimi termini: si individua il massimo comun divisore fra numeratore e denominatore e si dividono entrambi per esso. Tale operazione è nota come semplificazione della frazione.
Si possono raggruppare le frazioni in classi: due frazioni apparterranno alla stessa classe se e solo se una si può ricavare dall’altra attraverso la proprietà invariantiva. A rappresentare ogni classe sarà la frazione ridotta ai minimi termini, e ogni classe sarà indicata con tale frazione, ovvero, si parla della classe \( \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \ldots \).
Osservazione. Due frazioni \( \frac{a}{b} \) che appartengono a una stessa classe si dicono equivalenti, e si indica con
\[ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} \]
Due frazioni \( \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \) sono equivalenti se e solo se
\[ a \cdot d = b \cdot c \]
Osservazione. I numeri interi, e dunque anche i numeri naturali, sono numeri razionali, in particolare un qualunque numero intero[Equazione] corrisponde alla coppia \( (a; 1) \), ovvero alla frazione
\[ \frac{a}{1} \]
Frazioni come questa, e quelle della stessa classe (ovvero \( \frac{2a}{2}, \frac{3a}{3}, \frac{4a}{4}, \ldots \)) sono dette apparenti.
Di conseguenza, l’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi è un sottoinsieme dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \) . Poiché \( \mathbb{N} \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{Z} \) anche \( \mathbb{N} \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \).
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \]
Osservazione. Poiché \( \mathbb{Q} \) ha un sottoinsieme infinito, anch’esso sarà un insieme infinito.
L’insieme \( \mathbb{Q} \) è un insieme ordinato
L’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali è un insieme ordinato, vale a dire, presi due numeri razionali \( \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \) qualsiasi vale una delle seguenti:
\[ \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \]
\[ \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} \]
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]
Per stabilire quale delle tre è quella corretta si procede nel seguente modo:
- Si calcola \( ad – bc \)
- Se
\( a \cdot d – b \cdot c = 0 \) allora le due frazioni sono equivalenti (in questa circostanza si può anche dire uguali)
\( a \cdot d – b \cdot c \lt 0 \) allora \( \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \)
\( a \cdot d – b \cdot c \gt 0 \) allora \( \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} \)
Le operazioni interne all’insieme dei numeri razionali
L’insieme \( \mathbb{Q} \) è chiuso rispetto all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione (se si esclude il caso della divisione per \( 0 \)).
L’addizione \( ( + ) \) e la sottrazione \( ( – ) \)
Le operazioni di addizione e di sottrazione sono operazioni interne all’insieme dei numeri razionali. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale. Così come in \( \mathbb{Z} \) si è soliti parlare di un’unica operazione, quella di somma algebrica.
Terminologia della somma algebrica in \( \mathbb{Q} \)
La terminologia della somma algebrica in \( \mathbb{Q} \) è identica a quella in \( \mathbb{Z} \) .
Primo caso (stesso denominatore)
La somma di due frazioni (a prescindere dal segno) che hanno lo stesso denominatore si svolge secondo la seguente regola:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \]
Secondo caso (denominatore diverso)
Per sommare due frazioni con denominatori diversi basta ricondursi al caso precedente. Se la prima frazione è \( \frac{a}{b} \) e la seconda è \( \frac{c}{d} \), si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori
\[ m.c.m.(c, d) = k \]
Ora si sostituiscono alle frazioni di partenza le loro corrispondenti con denominatore \( k \). Siccome \( k \) è multiplo di \( c \) e di \( d \), allora esistono due numeri naturali \( A, B \) grazie ai quali è possibile scrivere
\[ k = b \cdot A \]
\[k = d \cdot B \]
Allora:
\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot A}{b \cdot A}+\frac{c \cdot B}{d \cdot B} = \frac{a \cdot A}{k} + \frac{c \cdot B}{k} = \frac{a \cdot A + c \cdot B}{k} \]
La somma algebrica si schematizza nel seguente modo:
| Segno del primo addendo | Modulo del primo addendo | \( + \) | Segno del secondo addendo | Modulo del secondo addendo | \( = \) | Segno della somma | Modulo della somma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( + \) | \( \frac{a}{b} \) | \( + \) | \( \frac{c}{d} \) | \( + \) | \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \) | ||
| \( – \) | \( \frac{a}{b} \) | \( – \) | \( \frac{c}{d} \) | \( – \) | \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \) | ||
| \( + \) | \( \frac{a}{b} \) | \( – \) | \( \frac{c}{d} \) | \( + \) Se \( \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} \) \( – \) Se \(\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \) Nessun segno se \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) |
\( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \) | ||
| \( – \) | a | \( + \) | b | \( + \) Se \( \frac{c}{d} \gt \frac{a}{b}\) \( – \) Se \( \frac{c}{d} \lt \frac{a}{b} \) Nessun segno se \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) |
\( \frac{c}{d} – \frac{a}{b} \) |
Proprietà della somma algebrica
La somma algebrica in \( \mathbb{Q} \) gode delle stesse proprietà della somma algebrica in \( \mathbb{Z} \).
Esempi
\[ \frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{8}{3}+\frac{1}{2}=\frac{16}{6}+\frac{3}{6}=\frac{19}{6} \]
La moltiplicazione \( \cdot \)
L’operazione di moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale.
Terminologia della moltiplicazione in \( \mathbb{Q} \)
La terminologia della moltiplicazione in \( \mathbb{Q} \) è identica a quella della moltiplicazione in \( \mathbb{Z} \) .
La regola dei segni
La regola dei segni per la moltiplicazione fra numeri interi vale anche per la moltiplicazione fra numeri razionali:
In una moltiplicazione, se i segni dei due fattori sono uguali (ovvero i due fattori sono concordi), allora il prodotto sarà positivo; se i segni dei due fattori sono diversi (ovvero i due fattori sono discordi), allora il prodotto sarà negativo.
Essa si può schematizzare nel seguente modo:
La moltiplicazione fra due frazioni (a prescindere dai segni delle due) si svolge secondo la seguente regola
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
La semplificazione “incrociata”
Oltre alla normale semplificazione fra numeratore e denominatore di una frazione, si può anche svolgere un ulteriore tipo di semplificazione, detta incrociata, nel caso della moltiplicazione di due o più frazioni, fra il numeratore di una frazione e il denominatore di un’altra.
Esempio
\[ \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{10} \]
Il normale calcolo porterebbe a
\[ \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5 \cdot 7}{14 \cdot 10} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} \]
Esso porta a calcoli relativamente alti, e a una semplificazione poco agevole, perché si lavora con numeri relativamente alti. Con la semplificazione incrociata invece:
\[ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{14}^2} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{10}^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione tra numeri razionali gode delle stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri interi: in particolar modo l’elemento neutro sarà \( +1 \) e l’opposto di \( \frac{a}{b} \) è \( -\frac{a}{b} \).
Ad esse, tuttavia, se ne aggiunge una nuova:
Ogni numero razionale diverso dallo \( 0 \) possiede l’inverso, ovvero per ogni numero razionale \( \frac{a}{b} \)diverso da \( 0 \) esiste un numero razionale \( x \) tale che
\[ \frac{a}{b} \cdot x = 1 \]
Tale numero è
\[ \frac{b}{a} \]
Osservazione
Nel caso della moltiplicazione di tre o più numeri interi si procede applicando la proprietà associativa: si scelgono due numeri e se ne fa la moltiplicazione, dunque altri due numeri, e così via, fino a ottenere il risultato
Esempio \( \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3} \)
Prima ad esempio svolgo la moltiplicazione fra \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{3}{4} \)
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8} \]
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3} \]
Quindi per esempio, ricordando anche la proprietà commutativa, la moltiplicazione fra \( \frac{3}{8} \) e \( \frac{2}{3} \)
\[ \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} \]
Infine, eseguo la moltiplicazione fra \( \frac{1}{4} \) e \( \frac{7}{5} \)
\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{20} \]
La divisione \( ( : ) \)
L’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali è chiuso rispetto all’operazione di divisione, se si esclude il caso della divisione per \( 0 \).
Terminologia della divisione in \( \mathbb{Q} \)
La terminologia della divisione in \( \mathbb{Q} \) è identica a quella della divisione in \( \mathbb{Z} \) . Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale.
La regola dei segni
Anche per la divisione fra numeri razionali vale la regola dei segni della moltiplicazione fra numeri interi.
Per poter svolgere la divisione fra due numeri razionali si applica la seguente regola:
La divisione fra due numeri razionali \( \frac{a}{b} \) e \( \frac{c}{d} \) è uguale alla moltiplicazione del primo con l’inverso del secondo, ovvero
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
Proprietà della divisione
La divisione fra numeri razionali gode delle stesse proprietà della divisione fra numeri interi, e in particolare della proprietà distributiva.
Osservazione Con l’introduzione dei numeri razionali si può sempre svolgere la divisione fra due qualsiasi numeri interi. Infatti dire
\[ a : b \]
è equivalente alla scrittura
\[ \frac{a}{b} \]
Il rapporto fra due numeri interi
Il rapporto fra due numeri interi qualsiasi può essere scritto in un altro modo, oltre che con le frazioni: la scrittura decimale. Sono esempi di scrittura decimale
\[ 0.25 \ \ \ \ \ 1,\bar{3}\ \ \ \ \ 1,18\ \ \ \ \ 1,1\bar{5} \]
Definizione La parte a sinistra della virgola è chiamata parte intera, la parte a destra della virgola è chiamata parte decimale.
Le scritture decimali possono essere di tre tipi diversi:
| Decimale finito | Decimale periodico semplice | Decimale periodico misto |
|---|---|---|
| Dopo la virgola c’è un numero limitato di cifre diverse da \( 0 \) | Dopo la virgola c’è un gruppo di cifre che si ripete infinitamente | Dopo la virgola c’è un gruppo di cifre che non si ripete e dopo di esso c’è un gruppo di cifre che si ripete infinitamente |
I decimali periodici semplici
Definizione Il gruppo di cifre che si ripete indefinitamente alla destra della virgola è chiamato periodo. Esso è indicato scrivendolo una sola volta a destra della virgola sotto una linea continua.
Definizione Si chiama frazione generatrice del numero decimale una qualsiasi frazione che genera quest’ultimo.
Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico semplice
Indicato un qualsiasi numero decimale periodico semplice nel seguente modo \( a, \bar{b} \) (ovvero con \( a \) la sua parte intera e con \( b ) il periodo) il calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico semplice si svolge nel seguente modo:
| Si scrive il numero \(a, \bar{b} \) senza la virgola | \( 1,\bar{3} \) | \( 13 \) |
| Al numero ottenuto si sottrae il periodo | \( 13 – 3 = 10 \) | |
| Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo | \( \frac{10}{9} \) |
I decimali periodici misti
Definizione Il gruppo di cifre alla destra della virgola che non si ripete indefinitamente è chiamato antiperiodo, il gruppo di cifre alla destra della virgola che si ripete indefinitamente è chiamato periodo.
Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto
Indicato un qualsiasi numero decimale periodico misto nel seguente modo \(a, c\bar{b} \) (ovvero con \( a \) la sua parte intera, con \( c \) il suo antiperiodo e con \( b \) il periodo) il calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto si svolge nel seguente modo:
| Si scrive il numero \( 1,0\bar{3} \) senza la virgola | \( 1,0\bar{3} \) | \( 103 \) |
| Al numero ottenuto si sottrae il numero ottenuto affiancando \( a \) e \( c \) (senza la virgola) | \( 103 – 10 = 93 \) | |
| Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo | \( \frac{93}{90} \) |
I decimali finiti
Osservazione Si può immaginare un numero decimale finito come un decimale periodico misto che ha come antiperiodo le cifre che si trovano dopo la virgola e come periodo lo \( 0 \):
\[ 1,25 = 1,25000000\ldots = 1,25\bar{0} \]
Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto
Indicato un qualsiasi numero decimale finito nel seguente modo \( a, c \) (ovvero con \( a \) la sua parte intera e con \( c \) la sua parte decimale) il calcolo della frazione generatrice di un decimale finito si svolge nel seguente modo:
| Si scrive il numero \( a, c \) senza la virgola | \( 1,25 \) | \( 125 \) |
| Si divide il numero ottenuto per \( 10^n \), dove \( n \) è il numero di cifre della parte decimale | \( \frac{125}{100} \) |
Come capire se una frazione genera un numero decimale finito, periodico semplice, periodico misto
La regola per capire se una frazione genera un numero decimale finito, periodico semplice, periodico misto è la seguente:
- Si scompone il denominatore
- Se:
| Il denominatore contiene solo fattori 2 e 5 | Il denominatore contiene solo fattori diversi da 2 e 5 | Il denominatore contiene almeno un fattore 2 o almeno un fattore 5 o entrambi e anche altri fattori diversi da 2 e 5 |
| Numero decimale finito | Numero decimale periodico semplice | Numero decimale periodico misto |
| \( \frac{1}{10} = 0,1 \) È un numero decimale finito perché \( 10 = 2 \cdot 5 \) e non contiene fattori diversi da 2 e 5 |
\( \frac{1}{21} = 0,\bar{047619} \) È un decimale periodico semplice perché \( 21 = 3 \cdot 7 \) e non contiene né fattori 2 né fattori 5 |
\( \frac{1}{35} = 0,0\bar{285714} \) È un decimale periodico misto perché \( 35 = 5 \cdot 7 \), ovvero contiene almeno un fattore 5 e almeno un fattore diverso sia da 2 che da 5 |
Materiale di supporto
Formulario sugli insiemi numerici (file PDF)
Videolezione su come trasformare i numeri decimali in frazioni.