Scheda sulle principali operazioni con le frazioni algebriche.
Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore
Ridurre le frazioni algebriche allo stesso denominatore è molto importante, poiché ci permette di effettuare poi operazioni con esse, o di farlo più agevolmente. Procediamo in questo modo:
- semplifichiamo le frazioni date e, se possibile, riduciamole ai minimi termini;
- determiniamo il m.c.m. dei denominatori delle frazioni;
- dividiamolo per ognuno dei denominatori delle frazioni date;
- moltiplichiamo il numeratore di ciascuna frazione per il corrispondente quoziente determinato nel punto precedente.
Esempio:
Consideriamo le frazioni \( \frac{3ab}{b^2c} \); \( \frac{2a^3b}{3ab^4} \);
Per ridurle allo stesso denominatore, procediamo seguendo le regole: il m.c.m. dei denominatori è
\[ m.c.m(b^2c : 3ab^4) = 3ab^4c \]
Dividiamolo per i denominatori delle frazione, e moltiplichiamo i quozienti per i rispettivi numeratori:
\( 3ab^4c : b^2c = 3ab^2 \)
\( 3ab \cdot 3ab^2 = 9a^2b^3 \)
\( 3ab^4c : 3ab^4 = c \)
\( 2a^3b\cdot c = 2a^3bc \)
Le frazioni ottenute sono quindi:
\( \frac{9a^2b^3}{3ab^4c} \) e \( \frac{2a^3bc}{3ab^4c} \)
Somma algebrica di frazioni algebriche
La somma algebrica di due o più frazioni algebriche, che hanno lo stesso denominatore, è la frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni di partenza, e per numeratore la somma algebrica dei numeratori:
\[ \frac{A}{C}+\frac{B}{C} = \frac{A + B}{C} \]
Se le frazioni da sommare hanno un denominatore diverso, dobbiamo prima ridurle allo stesso denominatore.
Nel caso in cui volessimo sommare più frazioni algebriche contemporaneamente, dobbiamo ridurle tutte allo stesso denominatore, creare un’unica frazione con questo denominatore, e calcolare il numeratore sommando tutti i numeratori delle frazioni, eventualmente riducendo i termini simili.
Esempio: sommiamo le seguenti frazioni: \( \frac{3b+y}{3b}+\frac{b-y}{y} \)
Per prima cosa, riduciamo le frazioni allo stesso denominatore:
\( \frac{y(3b+y)}{3by}+\frac{3b(b-y)}{3by}=\frac{3by+y^2}{3by}+\frac{3b^2-3by}{3by} \)
La frazione risultante dalla somma ha per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni ottenute, e per denominatore lo stesso di queste:
\( \frac{3by+y^2}{3by}+\frac{3b^2-3by}{3by}=\frac{3by+y^2+3b^2-3by}{3by} \)
Semplifichiamo la frazione:
\( \frac{3by+y^2+3b^2-3by}{3by} = \frac{y^2+3b^2}{3by} \)
Prodotto di frazioni algebriche
Il prodotto di due o più frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori, e per denominatore il prodotto dei denominatori:
\[ \frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B \cdot D} \]
Prima di moltiplicare due ò più frazioni algebriche è utile scomporle in fattori e cercare di ridurle ai minimi termini.
Esempio: svolgiamo il prodotto \( \frac{2x^3}{x+y}\cdot\frac{x^2+2xy+y^2}{4xy}\cdot\frac{2y}{x^2-y^2} \)
Per prima cosa, scomponiamo le frazioni e cerchiamo di semplificarle:
\( \frac{2x^3}{x+y}\cdot\frac{(x+y)^2}{4xy}\cdot\frac{2y}{(x+y)\cdot(x-y)} \)
Moltiplichiamo le frazioni:
\( \frac{2x^3 \cdot (x+y)^2 \cdot 2y}{(x+y)\cdot 4xy\cdot (x+y)\cdot (x-y)} \)
Semplificando la frazione otteniamo \( \frac{x^2}{x-y} \)
Frazione reciproca di una frazione algebrica
Due frazioni di dicono reciproche, o inverse, se il loro prodotto è uguale a 1.
Considerando la frazione \( \frac{A}{B} \), la sua reciproca è \( \frac{B}{A} \), infatti:
\( \frac{A}{B}\cdot\frac{B}{A}=\frac{A\cdot B}{B\cdot A}=\frac{AB}{AB}=1 \)
Quoziente di frazioni algebriche
Il quoziente di due frazioni algebriche, la seconda delle quali con numeratore diverso dal polinomio nullo, è il prodotto della prima per il reciproco della seconda:
\[ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} \]
Nel caso in cui vi siano più di due frazioni una di seguito all’altra, concatenate dal simbolo di divisione, le operazione vanno svolte nell’ordine in cui compaiono, da sinistra verso destra.
Esempio: calcoliamo la seguente divisione: \( \frac{1}{3a+3x}:\frac{2x}{a+x} \)
Per prima cosa, cerchiamo di semplificare e di ridurre le frazioni:
\( \frac{1}{3(a+x)} : \frac{2x}{a+x} \)
La divisione fra frazioni è data dal prodotto della prima per il reciproco della seconda:
\( \frac{1}{3(a+x)} : \frac{2x}{a+x} = \frac{1}{3(a+x)}\cdot \frac{a+x}{2x} \)
Svolgiamo il prodotto:
\( \frac{1}{3(a+x)}\cdot\frac{a+x}{2x}=\frac{a+x}{3(a+x)\cdot 2x}=\frac{1}{6x} \)
Frazioni a termini frazionari
Se i termini di una frazione algebrica sono anch’essi frazioni, questa può essere ricondotta ad una frazione algebrica a termini interi, cioè:
\[ \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC} \]
Potenza di una frazione algebrica
La potenza di una frazione algebrica è una frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore, e per denominatore la potenza del denominatore:
\[ \Big(\frac{A}{B}\Big)^n = \frac{A^n}{B^n} \]
Il concetto è valido anche se l’esponente è negativo:
\( \Big(\frac{A}{B}\Big)^{-1} = \frac{A^{-1}}{B^{-1}} = \frac{\frac{1}{A}}{\frac{1}{B}}=\frac{1}{A}:\frac{1}{B}=\frac{1}{A}\cdot B = \frac{B}{A} \)
Altre risorse utili
Capitolo sulle Frazioni algebriche nel Manuale C3 Algebra 1.