Introduzione
Una frazione algebrica è un’espressione della forma \( \frac{A}{B} \) dove \( A \) e \( B \) sono polinomi, e \( B \ne 0 \) , cioè \( B \) non è il polinomio nullo. Così come per le frazioni numeriche, anche in questo caso il polinomio \( A \) prende il nome di numeratore, mentre il polinomio \( B \) viene definito denominatore.
Una frazione algebrica, dunque, rappresenta il quoziente tre due polinomi; queste sono esempi di frazioni algebriche:
\( \frac{5ab^2 + 2a}{3b^2-2b} \text{ ; } \frac{3xy+y^2}{xyz} \text{ ; } \frac{xy+2y^2-5y}{xy^2+2y} \)
Possiamo considerare come frazione algebrica qualunque polinomio, dal momento che ogni polinomio diviso per 1 è uguale a se stesso:
\( 3xy + y^2 = \frac{3xy+y^2}{1} \)
I termini di una frazione algebrica possono essere costituiti anche da soli monomi; se entrambi i termini sono monomi, allora la frazione viene definita monomio frazionario.
Per esempio: \(\frac{xy}{2z} \), \( \frac{1}{a} \), \( \frac{y}{x} \) sono monomi frazionari.
Condizioni di esistenza di una frazione algebrica
Ogni espressione algebrica corrisponde ad un valore numerico se sostituiamo opportuni valori alle sue lettere; quindi, l’espressione algebrica ha significato solo se il suo denominatore sarà diverso da zero.
Porre le condizioni di esistenza di una frazione algebrica (C. E.) significa determinare tutti i valori che possiamo attribuire alle lettere affinché l’espressione abbia significato, o anche determinare quei valori per cui l’espressione perde significato.
Possiamo affermare che una frazione algebrica è definita, o esiste, per i valori delle lettere che soddisfano le condizioni di esistenza.
Esempio
Consideriamo la frazione algebrica \( \frac{3 + 2x}{x – 5} \); cerchiamo di capire in quali casi la frazione perde significato. Il polinomio che costituisce il denominatore, cioè \( x – 5 \), non è il polinomio nullo, quindi di per se non crea problemi; sappiamo però che una frazione algebrica può assumere un valore numerico se sostituiamo alle lettere dei numeri; proviamo, per esempio, a sostituire alla x il valore 5:
\( \frac{3+2x}{x-5}=\frac{3+2\cdot 5}{5-5}=\frac{3+10}{0}=\frac{13}{0} \)
Otteniamo una frazione che ha 0 per denominatore, e che quindi non ha significato; questo significa che la frazione algebrica di partenza perde significato per \( x = 5 \), e solamente per questo valore. Possiamo quindi scrivere: \( C. E.: x \ne 5 \).
Frazioni equivalenti
Così come nel caso delle frazioni numeriche, anche per quelle algebriche si può parlare di equivalenza fra frazioni.
Due frazioni algebriche \( \frac{A}{B} \) e \( \frac{C}{D} \), con \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) polinomi (\( B \) e \( D \) non nulli) si dicono equivalenti se si ha \( C \cdot B = A \cdot D \).
Possiamo quindi scrivere \( \frac{A}{B}=\frac{C}{D} \).
Proprietà invariantiva delle frazioni algebriche
Per la proprietà invariantiva, possiamo moltiplicare o dividere numeratore e denominatore di una frazione algebrica per uno stesso polinomio non nullo ottenendo una frazione algebrica equivalente a quella di partenza.
Per esempio, cambiando segno sia al numeratore che al denominatore, cioè moltiplicando per -1, si ottiene una frazione equivalente:
\( \frac{x-y}{a-b}=\frac{(-1)\cdot(x-y)}{(-1)\cdot(a-b)}=\frac{-x+y}{-a+b}=\frac{y-x}{b-a} \)
Se invece moltiplichiamo solo il numeratore, o solo il denominatore, per -1, otteniamo una frazione algebrica opposta, che si può anche indicare con un meno davanti all’intera frazione:
\( -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} \)
Semplificazione delle frazioni algebriche
Per la proprietà invariantiva che abbiamo illustrato prima, se dividiamo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso fattore, otteniamo una frazione equivalente; quindi, se il numeratore e il denominatore sono multipli di un fattore comune, possiamo dividerli entrambi per quel fattore. Questa operazione prende il nome di semplificazione di una frazione algebrica.
Dividendo i termini di una frazione algebrica per il loro M.C.D. si ottiene una frazione ridotta ai minimi termini, cioè una frazione che non è ulteriormente semplificabile; viene anche definita frazione irriducibile.
La semplificazione del fattore comune consiste nell’”eliminazione” di quel fattore, dopo aver scomposto sia numeratore che denominatore in fattori; i passi da svolgere sono questi:
- Scomporre in fattori sia numeratore che denominatore;
- Eliminare i fattori comuni al numeratore e al denominatore;
- Scrivere la frazione così ottenuta.
\( \frac{x^2-xy}{x^2-y^2}=\frac{x\cdot(x-y)}{(x+y)\cdot(x-y)}=\frac{x\cdot\color{red}{\cancel{(x-y)}}}{(x+y)\cdot\color{red}{\cancel{(x-y)}}}=\frac{x}{x+y} \)
In particolare:
- Se si semplificano tutti i fattori del numeratore, dopo la semplificazione si scrive 1 al numeratore;
- Se si semplificano tutti i fattori al denominatore, esso è uguale a 1, e quindi la frazione algebrica si riduce ad un polinomio (uguale al numeratore della frazione ottenuta);
- Se il numeratore e il denominatore sono uguali, semplificandoli otteniamo 1;
- Se il numeratore e il denominatore sono opposti, con la semplificazione si ottiene -1.
Altre risorse utili
- 10 esercizi di semplificazioni di frazioni algebriche;
- Capitolo “Frazioni algebriche” del Manuale C3 Algebra 1;
- Studio delle frazioni algebriche (discussione dal forum)
- Algebraic fractions (ripasso e test in inglese dal sito della BBC)