Per introdurre i concetti di massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra polinomi dobbiamo definire prima il concetto di divisore comune di polinomi.

Divisore comune

Se due o più polinomi sono divisibili per uno stesso polinomio, allora questo polinomio si dice divisore comune dei polinomi dati.

Consideriamo ora due polinomi \( P(x) \) e \( Q(x) \) e supponiamo di essere riusciti a scomporli in fattori irriducibili, cioè che non possono più essere scomposti in polinomi di grado inferiore.

 

Massimo comun divisore tra polinomi

Il massimo comun divisore tra polinomi (M.C.D.) può essere ottenuto nel seguente modo:

  • Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più polinomi scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente.

 

Minimo comune multipolo tra polinomi

Il minimo comune multiplo tra polinomi (m.c.m.) può essere ottenuto nel seguente modo:

  • Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più polinomi scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.

 

Esempio di calcolo del massimo comune divisore di polinomi

Calcoliamo il M.C.D. dei seguenti polinomi:

\( A = 4a^5 + 8a^4b + 4a^3b^2 \)

\( B = 6a^4 + 6ab^3 \)

\(C = 10a^3 – 10ab^2 \)

Per prima cosa, dobbiamo scomporre in fattori irriducibili i polinomi dati; cominciamo dal polinomio \( A \).

Il polinomio \( A \) presenta tre termini che hanno tutti  \( 4a^3 \) come fattore comune; possiamo quindi metterlo in evidenza. Notiamo che questa è l’unica scomposizione possibile, non possiamo effettuare un raccoglimento parziale, e per il momento non riconosciamo prodotti notevoli.

\( A = 4a^5 + 8a^4b + 4a^3b^2 = 4a^3 \cdot (a^2 +2ab + b^2) \)

 

Ora, guardiamo il polinomio fra parentesi: abbiamo un quadrato \( (a^2) \) un doppio prodotto \( (2ab) \) e un altro quadrato \( (b^2) \) ; riconosciamo quindi il quadrato di un binomio: \( (a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^2 \)

Il polinomio \( A \), scomposto in fattori irriducibili, diventa quindi:

\( A = 4a^3 \cdot (a + b)^2 \)

 

Passiamo ora al polinomio \( B \); anche in questo caso, notiamo che i due termini del polinomio hanno in comune il fattore \( (6a) \), che possiamo mettere in evidenza:

\( B = 6a^4 + 6ab^3 = 6a \cdot (a^3 + b^3) \)

Ora, il polinomio fra parentesi tonde si presenta come somma di due cubi; ricordando la regola per questo prodotto notevole, esso si scompone in questo modo:

\( (a^3 + b^3) = (a + b) \cdot (a^2 – ab + b^2) \)

Il polinomio \( B \), scomposto in fattori irriducibili, si presenta così:

\( B = 6a \cdot (a + b) \cdot (a^2 – ab + b^2) \)

Passiamo al polinomio \( C \), dove possiamo mettere in evidenza il fattore comune \( 10a \):

\( C = 10a^3 – 10ab^2 = 10a \cdot (a^2 – b^2) \)

Il polinomio tra parentesi si presenta come differenza di due quadrati, che possiamo scomporre in questo modo:

\( (a^2 – b^2) = (a + b) \cdot (a – b) \)

Quindi, il polinomio \( C \) scomposto in fattori sarà:

\( C = 10a \cdot (a + b) \cdot (a – b) \)

 

Per calcolare il massimo comun divisore dei polinomi  \( A \), \( B \), \( C \), dobbiamo cercare i fattori comuni a tutti i polinomi, e prenderli con il grado più basso;  avremmo  quindi che:

\( A = 2 \cdot \color{red}{2} \cdot \color{red}{a} \cdot a^2 \cdot \color{red}{(a + b)} \cdot (a + b) \)

\( B = 3 \cdot \color{red}{2} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{(a + b)} \cdot (a^2 – ab + b^2) \)

\( C = 5 \cdot \color{red}{2} \cdot \color{red}{a} \cdot \color{red}{(a + b)} \cdot (a – b) \)

 

\( M. C. D. (A, B, C) = 2a \cdot (a + b) \)

 

Per quanto riguarda il minimo comune multiplo dei polinomi  \( A \), \( B \), \( C \), dobbiamo cercare i fattori comuni e non comuni dei polinomi, e prenderli con il grado più alto; avremmo quindi che:

\( A = \color{blue}{2^2 \cdot a^3} \cdot \color{blue}{(a + b)^2} \)

\( B = 2 \cdot \color{blue}{3} \cdot a \cdot (a + b) \cdot \color{blue}{(a^2 – ab + b^2)} \)

\( C = 2 \cdot \color{blue}{5} \cdot a \cdot (a + b) \cdot \color{blue}{(a – b)} \)

 

\( m. c. m.( A, B, C) = 4a^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (a + b)^2 (a^2 – ab + b^2) \cdot (a – b) = \)

\( 60a^3 (a + b)^2 (a^2 -ab + b^2) (a – b) \)

 

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