I prodotti notevoli sono particolari prodotti tra polinomi che è possibile svolgere rapidamente applicando delle formule.
Si riportano i casi più frequenti:
Quadrato di binomio
\[ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
Il quadrato di un binomio si sviluppa riportando il quadrato del primo termine, più doppio prodotto del primo per il secondo, più quadrato del secondo termine.
Quadrato di un trinomio
\[ (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC \]
Il quadrato di un trinomio si sviluppa calcolando i tre quadrati dei monomi e sommando il doppio prodotto di primo e secondo termine, secondo e terzo termine e primo e terzo termine.
Somma per differenza
\[ (A + B) \cdot (A – B) = A^2 – B^2 \]
Lo sviluppo di una somma per differenza di due monomi si ottiene moltiplicando il primo monomio con il primo e il secondo monomio con il secondo.
Cubo di binomio
\[ (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \]
Il cubo di un binomio si ottiene calcolando il cubo del primo termine più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo più il cubo del secondo termine.
Quadrato di un binomio
\[ \bbox[8px,border:2px solid red]{(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2} \]
Consideriamo due generici monomi, che indichiamo con le lettere \( A \) e \( B \) , e consideriamo la loro somma \( A + B \). Per definizione di potenza, la seconda potenza di questa somma sarà:
\[ (A + B)^2 = (A + B) \cdot (A + B) \]
Calcolando il prodotto otteniamo:
\[ (A + B)^2 = (A + B) \cdot (A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 \]
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione, i termini \( AB \) e \( BA \) sono uguali, quindi possiamo sommarli:
\[ (A + B)^ 2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
Il risultato ottenuto viene definito quadrato di un binomio.
Il termine \( 2AB \) si definisce doppio prodotto e il segno del suo coefficiente sarà positivo se i coefficienti dei monomi \( A \) e \( B \) sono concordi (sono cioè entrambi positivi o entrambi negativi), altrimenti, se i coefficienti dei monomi \( A \) e \( B \) sono discordi ( cioè sono uno positivo e l’altro negativo), il segno del suo coefficiente sarà negativo.
Possiamo quindi affermare che:
il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto dei due monomi, più il quadrato del secondo monomio (scritti non necessariamente in quest’ordine).
Esempio: calcolare il quadrato del polinomio \( 3a – 4b \)
Proviamo a calcolare \( (3a – 4b)^2 \) usando la regola precedentemente scritta: calcoliamo il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo e il doppio prodotto fra i due.
\( (3a)^2 = 9a^2 \)
\( (-4b)^2 = 16b^2 \)
\( 2 \cdot 3a \cdot (-4b) = -24ab \)
Il quadrato del binomio è quindi: \( (3a – 4b)^2 = 9a^2 + 16b^2 – 24ab \)
Per verificare la correttezza del risultato, possiamo calcolare il quadrato usando la definizione di quadrato:
\( (3a – 4b)^2 = (3a – 4b) (3a – 4b) = \)
\( 3a \cdot 3a + 3a \cdot (-4b) + (-4b) \cdot 3a + (-4b) \cdot (-4b) = \)
\( 9a^2 – 12ab – 12ab + 16b^2 = 9a^2 – 24ab + 16b^2 = \)
\( 9a^2 – 24ab + 16b^2 \)
Quadrato di un trinomio
\[ \bbox[8px,border:2px solid red]{(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC} \]
Consideriamo tre generici monomi che indichiamo con le lettere \( A \), \( B \), e \( C \) e consideriamo la loro somma \( A + B + C \). Per definizione di potenza, la seconda potenza di questa somma sarà:
\( (A + B + C)^2 = (A + B +C) \cdot (A + B +C) \)
Calcolando il prodotto otteniamo:
\( (A + B +C)^2 = (A + B + C) \cdot (A + B + C) = \)
\( A^2 + AB + AC + BA + B^2 + BC + CA + CB + C^2 \)
Sommiamo i termini simili:
\( (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC \)
Il risultato ottenuto viene definito quadrato di un trinomio.
Otteniamo una formula analoga considerando il quadrato di un polinomio qualunque, di quattro o più termini; vale quindi la seguente regola generale:
- Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascun termine per ognuno di quelli che lo seguono.
Esempio: calcolare il quadrato del polinomio \( a – 2b + 3c \)
Calcoliamo \( (a – 2b + 3c) ^2 \) usando la regola generale:
\( (a)^2 = a^2 \)
\( (-2b)^2 = 4b^2 \)
\( (3c)^2 = 9c^2 \)
\( 2 \cdot a \cdot (-2b) = -4ab \)
\( 2 \cdot (-2b) \cdot 3c = -12bc \)
\( 2 \cdot a \cdot 3c = 6ac \)
Il quadrato del trinomio è quindi:
\( (a – 2b + 3c)^2 = a^2 + 4b^2 + 9c^2 – 4ab – 12bc + 6ac \)
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
\[ \bbox[8px,border:2px solid red]{(A + B) \cdot (A – B) = A^2 – B^2} \]
Consideriamo due monomi indichiamo con le lettere \( A, B \), e calcoliamo il prodotto della loro somma \( A + B \) per la loro differenza \( A – B \):
\[ (A + B) \cdot (A – B) = A^2 – AB + BA – B^2 \]
Eliminando i termini opposti, otteniamo:
\[ (A + B) \cdot (A – B) = A^2 – B^2 \]
Enunciamo quindi la regola generale:
- Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.
I due monomi possono presentarsi anche in ordine differente, l’importante è che all’interno delle parentesi si abbiano la somma e la differenza di due monomi:
\[ (A + B) \cdot (-B + A) = A^2 – B^2 \]
Esempio: calcoliamo \( (2a^2 + 3b^3) \cdot ( 2a^2 – 3b^3) \);
Applicando la regola, calcoliamo il quadrato del primo, il quadrato del secondo, e il polinomio ottenuto sarà la differenza dei due.
\( (2a^2)^2 = 4a^4 \)
\( (3b^3)^2 = 9b^6 \)
\( (2a^2 + 3b^3) \cdot (2a^2 – 3b^3) = 4a^4 – 9b^6 \)
Cubo di un binomio
\[ \bbox[8px,border:2px solid red]{(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3A^2B + 3AB^2} \]
Il cubo della somma di due monomi, cioè il cubo di un binomio, si ottiene moltiplicando il quadrato del binomio per il binomio stesso:
\[ (A + B)^3 = (A + B)^2 \cdot (A – B) = A^3 + A^2B + B^2A + B^3 + 2A^2B + 2AB^2 \]
Semplifichiamo, riducendo il polinomio:
\[ (A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3A^2B + 3AB^2 \]
Abbiamo quindi la seguente regola:
Il cubo di un binomio è un quadrinomio i cui termini sono:
- Il cubo del primo monomio;
- Il cubo del secondo monomio;
- Il triplo del prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo;
- Il triplo del prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo;
Esempio: calcoliamo il cubo del seguente binomio: \( (2a + b) \)
Applichiamo la regola:
cubo del primo monomio: \( (2a)^3 = 8a^3 \)
cubo del secondo monomio: \( (b)^3 = b^3 \)
triplo del prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo:
\( 3 \cdot (2a)^2 \cdot b = 3 \cdot 4a^2 \cdot b = 12a^2b \)
triplo del prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo:
\( 3 \cdot (b)^2 \cdot 2a = 3 \cdot b^2 \cdot 2a = 6ab^2 \)
Abbiamo quindi: \( (2a + b)^3 = 8a^3 + b^3 + 12a^2b + 6ab^2 \)
Potenza di un binomio
Cerchiamo una formula che ci permetta di calcolare la potenza di un binomio, senza dover svolgere tutti i calcoli; abbiamo già visto le prime potenze dei binomi:
\( (A + B)^0 = 1 \)
\( (A + B)^1 = A + B \)
\( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
\( (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)
Possiamo quindi fare alcune considerazioni:
- Ogni sviluppo ha un termine in più del precedente;
- I coefficienti dei termini estremi sono uguali, così come i termini dei coefficienti equidistanti dagli estremi;
Lo sviluppo di \( (A + B)^n \) conterrà quindi \( n + 1 \) termini, di cui il primo sarà \( A^n \) e l’ultimo \( B^n \) ; il polinomio che otterremo è un polinomio omogeneo di grado n, completo sia rispetto alla lettera A che rispetto alla lettera B, e ordinato secondo le potenze decrescenti di A, e crescenti di B.
Per trovare i termini dei coefficienti di questo polinomio, possiamo costruire uno schema triangolare, che prende il nome di Triangolo di Tartaglia, ed è costruito in questo modo:
- In ogni riga il primo e l’ultimo termine sono uguali a 1;
- In ogni riga, a partire dalla terza, qualsiasi altro numero si ottiene sommando i due sovrastanti della riga precedente;
Esempio: Se vogliamo calcolare \( (A + B)^6 \) ci basta guardare i numeri presenti nella sesta riga della tabella, e costruire il polinomio seguendo le potenze decrescenti di A e crescenti di B:
\( (A + B)^6 = A^6 + 6A^5B + 15A^4B^2 + 20A^3B^3 + 15A^2B^4 + 6AB^5 + B^6 \)
Altro materiale di supporto
Test di 27 domande sui prodotti notevoli.