Scomposizione in fattori
Definizione: Un polinomio si dice riducibile se può essere scomposto in fattori, ciascuno dei quali è di grado inferiore a quello del polinomio dato.
Per esempio, il polinomio \( x^2 – y^2 \) può essere scomposto in \( (x + y) \cdot (x – y) \) che, come abbiamo visto nelle precedenti schede, rappresenta il prodotto notevole somma per differenza.
Vediamo alcuni tipi di scomposizione in fattori.
- Raccoglimento a fattore comune totale
\[ \color{red}{A}B + \color{red}{A}C + \color{red}{A}D = \color{red}{A}(B + C + D) \]
- Raccoglimento a fattore comune parziale
\[ ax + bx + ay + by = a\color{red}{(x + y)} + b\color{red}{(x + y)} = \color{red}{(x + y)}(a + b) \]
- Differenza di due quadrati
\[ \color{maroon}{A^2 – B^2 = (A + B) \cdot (A – B)} \]
- Quadrato di binomio
\[\color{maroon}{A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2} \]
- Trinomio notevole
\[ \color{maroon}{x^2 + (a + b)x + a \cdot b = (x+a) (x+b)} \]
- Cubo di binomio
\[ \color{maroon}{A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3} \]
- Somma e differenza di cubi
\[ \color{maroon}{A^3 + B^3 = (A + B) \cdot (A^2 – AB + B^2)} \]
Raccoglimento a fattore comune
Raccoglimento totale a fattore comune
Questo metodo si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione; sappiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:
\[ A \cdot (B + C + D) = AB + AC + AD \]
Quindi, se le lettere rappresentassero del monomi (o anche dei polinomi) e avessimo un polinomio di questo tipo: \( \color{red}{A}B + \color{red}{A}C + \color{red}{A}D \), potremmo raccogliere il fattore comune ‘A’ e ottenere la scrittura \( \color{red}{A}(B + C + D) \).
Diremmo che il fattore ‘A’ è stato messo in evidenza. Questo metodo si può applicare in tutti i casi in cui tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune.
Esempio di raccoglimento a fattore comune totale
Scomporre in fattori comuni il polinomio \( 4a^2b^3 – 2ab^2 – 8a^3b^2c \).
Osservando il polinomio, possiamo notare che tutti i termini hanno in comune il fattore \( 2ab^2 \); infatti, il polinomio può essere scritto come:
\[ \color{maroon}{2ab^2} \cdot 2ab – \color{maroon}{2ab^2} \cdot 1 – \color{maroon}{2ab^2} \cdot 4a^2c \]
Mettendo in evidenza questo fattore, si ha:
\[ \color{maroon}{2ab^2} \cdot (2ab – 1 – 4a^2c) \]
Vediamo quindi delle regole per effettuare la scomposizione totale a fattore comune:
- Si determina il MCD dei termini del polinomio dato;
- Si calcolano i quozienti tra i termini del polinomio e il MCD;
- Si scrive il polinomio dato come prodotto tra il MCD e il polinomio che ha come termini i quozienti ottenuti in precedenza.
Raccoglimento a fattore comune parziale
Questo procedimento si applica quando non tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune, ma all’interno del polinomio vi sono due o più polinomi per cui è possibile effettuare il raccoglimento totale.
Consideriamo, per esempio, il polinomio \( C = ax + bx + ay + by \); questo polinomio può essere scritto come somma di due polinomi \( A \) e \( B \) tali che:
\[ A = ax +a y \text{ e } B = bx + by \]
Notiamo quindi che non possiamo effettuare una scomposizione totale su \( C \), ma possiamo farla su \( A \) e \( B \):
\[ A = a(x + y) \text{ e } B = b(x + y) \]
Quindi: \( C = a(x + y) + b(x + y) \)
A questo punto, notiamo che i termini di \( C \) possiedono un fattore comune, che è \( (x + y) \), e che possiamo raccogliere:
\[ C = a \color{red}{(x + y)} + b \color{red}{(x + y)} = \color{red}{(x + y)} (a + b) \]
Abbiamo effettuato quindi un raccoglimento parziale a fattore comune su \( C \).
E’ possibile effettuare un raccoglimento parziale solo se, dopo aver effettuato il raccoglimento “a gruppi”, è possibile effettuare un raccoglimento totale nel polinomio di partenza.
Esempio di scomposizione a fattore comune parziale
Scomporre il polinomio \( 6x^2 – 2x + 3xy – y \).
Guardando il polinomio, notiamo che negli ultimi due termini compare un fattore comune ‘y’, che andrà quindi raccolto; mentre, nei primi due termini il fattore comune è ‘2x’:
\[ 6x^2 – 2x + 3xy – y = 2x (3x – 1) + y (3x – 1) \]
Ora, notiamo che nel polinomio di partenza si sono creati dei fattori comuni che possiamo raccogliere; otteniamo quindi:
\[ 2x\color{maroon}{(3x – 1)} + y\color{maroon}{(3x – 1)} = (2x + y) \color{maroon}{(3x – 1)} \]
Scomposizione tramite riconoscimento di prodotti notevoli
Scomposizione della differenza di due quadrati
Il prodotto notevole somma per differenza di due binomi ci dà l’uguaglianza
\[ \color{maroon}{A^2 – B^2 = (A + B) \cdot (A – B)} \]
Possiamo affermare quindi che, il binomio dato dalla differenza di due quadrati è scomponibile nel prodotto tra la somma delle basi e la loro differenza.
Al contrario, la somma di due quadrati \( A^2 + B^2 \) non si può scomporre in fattori del tipo \( A + B \) e \( A – B \).
Esempio di scomposizione come differenza di quadrati
Scomporre in fattori il seguente binomio: \( 25x^2 – 9y^2 \)
Notiamo che nel binomio compaiono due quadrati, quello di \( 5x \) e quello di \( 3y \), di cui viene fatta la differenza: il binomio è quindi scomponibile, e si ha:
\[ 25x^2 – 9y^2 = (5x)^2 – (3y)^2 = (5x + 3y) \cdot (5x – 3y) \]
Quadrinomio scomponibile nel cubo di un binomio
Come abbiamo già visto, il cubo di un binomio è dato dalla formula:
\[ \color{maroon}{(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3} \]
Di conseguenza, se ci troviamo di fronte ad un polinomio di questa forma \( A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \), sappiamo di poterlo ricondurre al cubo di un binomio.
Esempio di scomposizione in fattori come cubo di binomio
Scomporre in fattori il polinomio \( 27a^3 + 54a^2x + 36ax^2 + 8x^3 \)
Notiamo che nel polinomio compaiono due cubi: \( (3a)^3 \) e \( (2x)^3 \) e che vi sono anche due fattori, che corrispondono al triplo prodotto di \( (3a)^2 \) per \( 2x \) e \( (2x)^2 \) per \( 3a \); quindi, il polinomio può essere scritto:
\[ 27a^3 + 54a^2x + 36ax^2 + 8x^3 \]
\[ (3a)^3 + (3a)^2 \cdot 2x + (2x)^2 \cdot 3a + (2x)^3 = (3a + 2x)^3 \]
Scomposizione della somma e della differenza di due cubi
Consideriamo il seguente prodotto: \( (A + B) \cdot (A^2 – AB + B^2) \) , e svolgiamo la moltiplicazione:
\( (A+B) \cdot (A^2 -AB+B^2) = A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3 = A^3+B^3 \)
Possiamo quindi ricavare la seguente formula:
\[ \color{maroon}{A^3+B^3 = (A + B) \cdot (A^2 -AB+B^2)} \]
Analogamente, considerando il prodotto: \( (A – B) \cdot (A^2 + AB + B^2) \) e svolgendo i conti, otteniamo:
\( (A – B) \cdot (A^2+AB+B^2) = A^3+A^2B+AB^2-AB^2-A^2B-AB^2-B^3 = A^3 – B^3 \)
E quindi:
\[ \color{maroon}{A^3 – B^3 = (A – B) \cdot (A^2 + AB + B^2)} \]
Notiamo che \( A^2 + AB + B^2 \) e \( A^2 – AB + B^2 \) non sono scomponibili, e vengono definiti falsi quadrati, in quanto sembrano quadrati di binomi, ma non hanno il doppio prodotto dei termini.
Esempio di scomposizione come somma di cubi
Scomporre in fattori il seguente binomio: \( 8a^3 + 27b^3 \)
Dalla presenza dei due cubi, \( (2a)^3 \) e \( (3b)^3 \) , e dalla somma fra essi, possiamo ricondurre il binomio a quello del primo caso; la sua scomposizione sarà quindi la seguente:
\[ 8a^3 + 27b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 = \]
\[ (2a + 3b) \cdot [(2a)^2 – 2a \cdot 3b + (3b)^2] = \]
\[ (2a + 3b) \cdot (4a^2 – 6ab + 9b^2) \]
Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio
Consideriamo lo sviluppo del quadrato di un binomio: \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \);
Vale quindi la seguente formula: \( \color{maroon}{A^2+2AB+B^2=(A+B)^2} \), cioè, quando in un polinomio compaiono due quadrati, e il doppio prodotto delle loro basi, sappiamo di poterlo ricondurre al quadrato di un binomio.
Esempio di scomposizione come quadrato di binomio
Scomporre in fattori il seguente polinomio: \( 4x^2 + 12xy + 9y^2 \);
Notiamo che nel polinomio compaiono due quadrati: \( (2x)^2 \) e \( (3y)^2 \) e il doppio prodotto delle loro basi; possiamo quindi scrivere il polinomio come quadrato di un binomio:
\( 4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3y+(3y)^2=(2x+3y)^2 \)
Scomposizione di trinomi particolari
Scomposizione del trinomio notevole
Un trinomio notevole è un trinomio particolare che può essere espresso in questo modo : \( x^2 + (a+b) x + a \cdot b \), cioè un trinomio di secondo grado in cui il coefficiente della lettera di secondo grado è 1, il coefficiente della lettera di primo grado è dato dalla somma di due numeri, mentre il termine noto, cioè il coefficiente della lettera di grado zero, è dato dal loro prodotto.
Un trinomio notevole può essere scomposto in fattori in questo modo:
\( x^2 + (a +b)x + a \cdot b = \color{red}{x}^2 + a\color{red}{x} + \color{cyan}{b}x + a\color{cyan}{b} = x \color{yellowgreen}{(x+a)} + b\color{yellowgreen}{(x+a)} = (x+a)(x+b) \)
Quindi: \( \color{maroon}{x^2 + (a + b)x + a \cdot b = (x + a)(x+b)} \)
Il trinomio si presenterà sempre della forma \( x^2 + sx + p \) , dove ‘s’ indica la somma di due numeri, mentre ‘p’ il loro prodotto; per determinare i due numeri, quindi, si dovrà procedere per tentativi.
Nella maggior parte dei casi, i numeri si determinano quasi immediatamente; negli altri casi, si può procedere in questo modo:
- Se \( p \gt 0 \) allora \( a \) e \( b \) sono concordi, quindi considerando la somma \( s = a + b \) si avrà che:
- Se \( s \gt 0 \) allora \( a \gt 0 \) e \( b \gt 0 \);
- Se \( s \lt 0 \) allora \( a \lt 0 \) e \( b <\lt 0 \);
- Se \( p \lt 0 \) allora \( a \) e \( b \) sono discordi.
- Si scrivono tutte le coppie di numeri interi il cui prodotto è p e, tra esse, si cerca quella i cui elementi, sommati, danno proprio s.
Esempio: Scomporre in fattori il seguente polinomio: \( x^2 + 5x + 6 \)
Cerchiamo di determinare due numeri il cui prodotto sia 6; possiamo avere: \( 3 \cdot 2 = 6 \) oppure \( 6 \cdot 1 = 6 \); nel primo caso, sommando i due numeri otteniamo \( 3 + 2 = 5 \), nel secondo \( 6 + 1 = 7 \); di conseguenza, i numeri che stiamo cercando sono quelli della prima coppia. Il polinomio può quindi essere scomposto in questo modo:
\( x^2 + 5x + 6 = x^2 + (3+2)x + 3 \cdot 2 = (x + 3)(x + 2) \)
Altre risorse utili
Capitolo “Riconoscimento di prodotti notevoli” del Manuale C3 Algebra 1.
25 domande di test sui prodotti notevoli