Consideriamo un gas perfetto contenuto in un recipiente dotato di pistone mobile.
Ipotizziamo di far espandere il gas a pressione costante (per esempio fornendogli calore), in modo che il suo volume passi da quello iniziale ($V_A$) a quello finale ($V_B$).
Dalla variazione di volume, e quindi anche di temperatura, possiamo affermare che nella trasformazione è variata anche l’energia interna del gas, e in particolare si ha una variazione di energia interna pari a:
$∆U = U_B – U_A = l/2 Nk_BT_B – l/2 Nk_BT_A $
Dato che stiamo fornendo calore al gas, la temperatura finale sarà maggiore della temperatura iniziale, e di conseguenza avremo un valore di energia interna positivo.
Possiamo analizzare la variazione di energia interna anche da un altro punto di vista.
Come sappiamo, durante l’espansione un gas compie un lavoro positivo sul pistone, che viene sollevato; di conseguenza, il sistema perde una parte della sua energia iniziale. D’altra parte, però, avendo assorbito del calore dall’ambiente esterno mediante riscaldamento, il gas ha anche guadagnato energia.
Dal principio di conservazione dell’energia, possiamo enunciare il primo principio della termodinamica, per cui la variazione di energia interna del gas deve essere uguale al calore che viene assorbito meno il lavoro che viene svolto:
$ ∆U = Q – W$
Nel nostro esempio abbiamo considerato l’espansione di un gas, ma il principio può essere applicato a qualsiasi tipo di trasformazione, e ha validità non solo per i gas, ma per qualsiasi sistema.
In altri casi, quindi, la variazione di energia interna può assumere valori negativi.
Esaminiamo, quindi, le applicazioni del primo principio della termodinamica nel caso di altri tipi di trasformazioni.
Trasformazioni isobare
Le trasformazioni isobare sono, come abbiamo visto nell’esempio precedente, trasformazioni a pressione costante.
In questo tipo di trasformazioni, per il primo principio della termodinamica, la quantità di calore scambiato si ottiene come somma della differenza di energia interna e del lavoro svolto dal gas sella trasformazione.
Infatti, durante una trasformazione isobara, se viene fornito calore, una parte di esso servirà ad aumentare la temperatura del gas, e quindi si avrà una aumento dell’energia interna, e un’altra parte servirà a far compiere lavoro al gas.
Ricordando che il lavoro compiuto dal gas durante una trasformazione si determina come prodotto della pressione per la variazione di volume, il calore sarà dato dalla seguente formula:
$ Q = ∆U + W = ∆U + p*∆V $
Trasformazioni isocore
Le trasformazioni isocore, ricordiamo, sono quelle che avvengono a volume costante. Come abbiamo già visto, il lavoro eseguito dal gas durante una trasformazione di questo tipo è nullo, in quanto la variazione di volume è pari a zero. (L = p∆V = 0)
In questo caso, quindi, applicando il primo principio troviamo che la variazione di energia interna del gas è pari alla quantità di calore che viene scambiato; il calore scambiato può essere trovato dalla seguente formula:
$Q = ∆U = U_f – U_i = l/2 nRT_f – l/2 nRT_i = l/2 nR (T_f – T_i) $
Trasformazioni isoterme
Le trasformazioni isoterme avvengono a temperatura costante, quindi possiamo affermare che la variazione di energia interna del gas è nulla, in quanto ∆T = 0.
Dal primo principio della termodinamica, quindi, possiamo dedurre che la quantità di calore che viene scambiata nella trasformazione è uguale al lavoro che viene compiuto dal gas.
Sappiamo che il lavoro svolto da un gas durante una trasformazione isoterma si ottiene calcolando l’area sottesa dalla curva di trasformazione in un intervallo di volumi. Tale area può essere ottenuta come integrale, in tale intervallo, della funzione che esprime la curva di trasformazione.
Dai calcoli, si ottiene che il calore scambiato è dato dalla seguente formula:
$Q = W = nRT ln(frac(V_f)(V_i)) $
Trasformazioni cicliche
Le trasformazioni cicliche sono caratterizzate dal fatto che lo stato finale del sistema coincide con lo stato iniziale.
In particolare, quindi, la temperatura finale del sistema sarà uguale a quella iniziale, cosicché la sua variazione di energia interna sarà nulla.
Come nel caso delle trasformazioni isoterme, quindi, abbiamo che il calore scambiato durante la trasformazione è uguale al lavoro compiuto dal gas; questo è dato dall’area contenuta nella curva chiusa che rappresenta tale trasformazione.
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