Scheda che introduce l’operazione di differenza di insiemi con le relative proprietà, ed esempi.
L’operazione differenza di insiemi
Definizione
Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Presi due insiemi \( A \) e \( B \) sottoinsiemi di \( U \), si definisce l’insieme differenza fra \( A \) e \( B \) quel sottoinsieme di \( U \) i cui elementi appartengono ad \( A \) ma non a \( B \). Tale insieme si indica con \( A \setminus B \).
Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se \( x \in U \), allora:
| \( A \) | \( B \) | \( A \setminus B \) |
| \( x \in A \) | \( x \in B \) | \( x \not \in A \cap B \) |
| \( x \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \in A \cap B \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \in B \) | \( x \not \in A \cap B \) |
| \( x \not \in A \) | \( x \not \in B \) | \( x \not \in A \cap B \) |
Rappresentazioni di \( A \setminus B \)
- Per proprietà caratteristica \( A \setminus B = \{x \in U | x \in A \text{ e } x \not \in B\} \)
- Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme intersezione è evidenziato in giallo)
Osservazione L’operazione di differenza non è simmetrica, vale a dire in generale \( A \setminus B \neq B \setminus A \). Per esempio, se \( A=\{1,2,3,4,5,6,7\} \) e \( B=\{5,6,7,8,9\} \):
\( A \setminus B = \{1,2,3,4\} \)
\( B \setminus A = \{8,9\} \)
Proprietà dell’operazione differenza
In tutto questo paragrafo \( U \) sarà il solito insieme ambiente e \( A, B \) due suoi sottoinsiemi
- \( A \setminus \varnothing = A \) ; \( \varnothing \setminus A = \varnothing \)
- Insieme ambiente: \( U \setminus A = A^c \) ; \( A \setminus U = \varnothing \)
- Sottoinsieme: \( A \setminus B \subseteq A \)
- Unione: \( A \cup (A \setminus B ) = A \) ; \( B \cup ( A \setminus B ) = A \cup B \)
- Intersezione: \( A \cap (A \setminus B ) = A \setminus B \) ; \( B \cap (A \setminus B) = \varnothing \), se \( A \) e \( B \) sono disgiunti, ovvero se \( A \cap B = \varnothing \), \( A \setminus B = A \) e \( B \setminus A = B \)
Esempi
- Se \( A=\{2,3,5\} \) e \( B=\{1,2,3,5,6\} \), allora \( A \setminus B = \varnothing \) e \( B \setminus A = \{1,6\} \)
- Se \( A=\{1,2,3,10\} \) e \( B=\{2,4,5\} \), allora \( A \setminus B = \{1,3,10\} \) e \( B \setminus A = \{4,5\} \)
- Se \( U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), \( A=\{2,3,4,7,9\} \), \( B=\{2,3,5,6,7,9\} \), allora
\( A \setminus B = \{4\} \)
\( B \setminus A = \{5,6\} \)
\( A \setminus U = \varnothing \)
\( U \setminus A = \{1,5,6,8\} = A^c \)
\( B \setminus U = \varnothing \)
\( U \setminus B = \{1,4,8\} \)
- Se \( A=\{1,2,3,5\} \) e \( B=\{12,23,35\} \) allora \( A \setminus B = A \) e \( B \setminus A = B \)
Altre risorse
Test sugli insiemi