Scheda che introduce l’operazione di prodotto cartesiano con le relative proprietà, ed esempi.
Il prodotto cartesiano fra due insiemi
Definizione
Sia fissato un insieme ambiente \( U \). Presi due insiemi \( A \) e \( B \) sottoinsiemi di \( U \), si definisce l’insieme prodotto cartesiano di \( A \) e di \( B \) quell’insieme formato da coppie ordinate \( (x; y) \) con \( x \in A \) e \( y \in B \). Tale insieme si indica con \( A \times B \) (si legge A cartesiano B).
Rappresentazioni di \( A \times B \)
- Per proprietà caratteristica \( A \times B = \{(x; y) | x \in A, y \in B\} \)
- Tramite diagramma cartesiano
Si prendono due rette perpendicolari, per comodità la prima orizzontale e la seconda verticale, sulle quali segniamo rispettivamente gli elementi del primo insieme \( A \) e del secondo insieme \( B \). Da ognuno di questi punti si manda una retta parallela all’asse a cui non appartengono, fino a formare tutti gli incroci possibili fra queste rette. I punti individuati dagli incroci indicano gli elementi del prodotto cartesiano \( A \times B \).
- Rappresentazione sagittale (tramite “frecce”)
Si disegnano mediante i diagrammi di Eulero-Venn i due insiemi \( A \) e \( B \) e si fanno partire delle frecce da ogni elemento di \( A \) a ogni elemento di \( B \).
Osservazione Il prodotto cartesiano non è in genere simmetrico, vale a dire, in generale \( A \times B \neq B \times A \). Se per esempio \( A= \{1,2,3\} \) e \( B = \{\alpha, \beta\} \), si ha:
\( A \times B = \{(1; \alpha), (2; \alpha), (3; \alpha), (1; \beta), (2; \beta), (3; \beta)\} \)
\( B \times A = \{(\alpha; 1), (\alpha; 2), (\alpha;3), (\beta; 1), (\beta; 2), (\beta; 3)\} \)
Osservazione Si può fare anche il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso. Se tale insieme lo si indica con \( A \), allora tale prodotto cartesiano si indica con \( A \times A = A^2 \).
Per esempio. Se \( A = \{1,2,3\} \), si ha:
\( A^2 = \{(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)\} \)
Osservazione Si può estendere il prodotto cartesiano anche a più di due insiemi. In generale, se si prendono \( n \) insiemi \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) si definisce il loro prodotto cartesiano nel seguente modo:
Definizione Sia fissato un insieme ambiente \( U \) e siano \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) \( n \) insiemi. Si definisce il loro prodotto cartesiano \( A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \) come quell’insieme formato dalle n-ple ordinate \( (x_1; x_2; \ldots; x_n) \), con \( x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \ldots, x_n \in A_n \).
Cardinalità di \( A \times B \)
Se \( A \) e \( B \) sono due insiemi con rispettivamente \( m \) ed \( n \) elementi, ovvero \( | A | = m, | B | = n \), allora la cardinalità di \( A \times B \) è \( | A \times B | = m \cdot n \).
Osservazione
Questo si può vedere immediatamente ragionando sulla rappresentazione sagittale.
Se \( |A| = m, |B| = n \), allora da ogni elemento del primo insieme \( A \) partiranno in tutto \( n \) frecce una per ogni elemento di \( B \), per un totale di \( m \cdot n \) frecce.
Osservazione
Se almeno uno dei due insiemi \( A \), \( B \) è infinito allora anche il prodotto cartesiano \( A \times B \) (e anche \( B \times A \)) è infinito; se invece sia \( A \) sia \( B \) sono insiemi finiti, lo saranno anche \( A \times B \) e \( B \times A \).
Proprietà del prodotto cartesiano
In tutto questo paragrafo siano \(A , B, C, D \) degli insiemi.
- Se \( C \subseteq A \) e \( D \subseteq B \) allora \( C \times D \subseteq A \times B \) e \( D \times C \subseteq B \times A \)
- Insieme vuoto: \( A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing \times \varnothing = \varnothing \)
- Distributività rispetto all’unione: \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \), \( (B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A) \)
- Distributività rispetto all’intersezione \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \), \( (B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A) \)
- Distributività rispetto alla differenza \( A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) \), \( (B \setminus C) \times A = (B \times A) \setminus (C \times A) \)