Autore: Antonio Bernardo

Insiemi numerabili

L'insieme dei numeri razionali è numerabile. Cioè è possibile associare a ciascun numero razionale uno e uno solo numero naturale. Con questo semplilce foglio Excel è possibile vedere come funziona l'idea di Cantor. 

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Grafi

GRAFI
di Giovanni Valentini

1. Problemi classici che coinvolgono i grafi

I PONTI DI KOENIGSBERG

La bella cittadina tedesca di Koenigsberg si trova alla confluenza di due fiumi, comprende un isolotto ed è divisa in quattro parti, corrispondenti alle quattro regioni di terra che si venivano a formare (fig. 1): le due sponde A e B , l'isolotto C e la parte di terra D che si trova tra i due fiumi prima della confluenza. In città c'erano i sette ponti indicati in figura. I cittadini di Koenigsberg sottoposero al famoso matematico Leonhard Euler (Eulero) un problema che non erano riusciti a risolvere: tracciare un percorso che, partendo da una qualsiasi delle quattro zone della città, attraversava tutti i sette ponti, una ed una sola volta, ritornando alla fine al punto di partenza.

Eulero associò al problema la rappresentazione schematica di fig.2: ciascuna della quattro zone della città è rappresentata da un cerchio, e ciascun ponte da una linea. Questa rappresentazione del problema è una struttura matematica ben definita, e prende il nome di grafo. Nel lavoro Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis del 1736, (dove appare per la prima volta il termine grafo) Eulero dimostrò che il problema non aveva soluzioni. Mostreremo in seguito come ragionò.

IL PROBLEMA DEI QUATTRO COLORI

 

Un altro problema che coinvolge il modello "grafo" è il famoso problema dei quattro colori. Si tratta di determinare il numero di colori strettamente necessari per colorare le regioni di una qualsiasi carta geografica in modo tale che due regioni adiacenti abbiano colori diversi. Un esempio di regioni-colorazioni è in fig.3.

Una rappresentazione del problema può essere fornita associando un cerchio ad ogni regione della mappa e collegando con una linea due cerchi corrispondenti a due regioni adiacenti (fig. 4). Come pei i ponti di Koenigsberg, anche questa rappresentazione trascura aspetti non essenziali come, per esempio, l'estensione delle regioni, la forma dei loro confini, ecc., e mette in evidenza esclusivamente gli aspetti utili a risolvere il problema.La struttura utilizzata in questa rappresentazione è la stessa dell'esempio precedente: anch'essa è un grafo. Anche su questo problema torneremo in seguito.

I quattro esempi "storici" proposti mettono in evidenza come problemi molto diversi tra loro possono essere modellati mediante la stessa struttura matematica: il grafo.
I grafi rappresentano uno strumento essenziale per la risoluzione di una ricca varietà di problemi provenienti da applicazioni reali. 

Tra le altre applicazioni:

IL PROBLEMA DEL COMMESSO VIAGGIATORE Dato un insieme di città, qual è il percorso più breve che le attraversa tutte una sola volta ?
IL PROBLEMA DELLE TRE CASE E DELLE TRE FORNITURE Si possono collegare tre case a tre fornitori senza che strade-tubature-cavi che le connettono si incrocino ? Qual è il numero minimo di incroci che si devono fare ?

Nella tabella seguente alcuni esempi di situazioni problematiche concrete che possono ricnodnotte ai problemi classici:

problema

applicazioni reali

I PONTI DI KOENIGSBERG Problemi di trasporto. Per esempio, stabilire la rotta di un veicolo postale in modo da distribuire la posta in maniera efficiente: Chinese Postman's Problem. Problemi di ispezione e manutenzione di sistemi distribuiti: reti elettriche, telefoniche, stradali.
I QUATTRO COLORI Testi di circuiti elettronici stampati, allocazione di variabili e registri della CPU, assegnazione di frequenze radio-televisive
IL COMMESSO VIAGGIATORE Determinare i flussi delle merci tra i magazzini dei fornitori e dei distributori, determinare il percorso più breve che connette due città
LE TRE CASE E LE TRE FORNITURE Layout di reti elettriche, telefoniche, idriche; connettere nella maniera più efficiente un insieme di calcolatori in una rete telematica

 

2. Grafi : definizioni e proprietà fondamentali
Un grafo è una struttura matematica utilizzata per rappresentare una relazione binaria tra gli elementi di due insiemi.

GRAFO NON ORIENTATO
Un grafo non orientato G è una coppia ordinata di insiemi (V, E) dove

è un insieme di elementi chiamati vertici
un insieme di coppie di vertici chiamate spigoli.
In un grafo non orientato ogni spigolo e è individuato da una coppia di vertici (u,v), e si usa la notazione e=(u,v) per identificare tale spigolo. Da ora in poi con il termine grafo intenderemo grafo non orientato.

Per rappresentare un grafo si utilizzano dei cerchi per i vertici e per gli spigoli delle linee che congiungono i vertici.Un esempio di rappresentazione di un grafo con 7 vertici e 10 spigoli è dato in Fig.5.

In tale grafo l'insieme V dei vertici è

L'insieme E degli spigoli è

Notiamo subito che :
· la presenza di una linea tra due vertici indica la presenza di una relazione tra di essi
· per un grafo non orientato risulta (u,v)=(v,u)

ADIACENZA E INCIDENZA
Due vertici u e v si dicono adiacenti se e solo se (u,v) è uno spigolo
Uno spigolo e=(u,v) si dice incidente su u e su v

GRADO DI UN VERTICE
Si chiama grado del vertice v il numero di spigoli incidenti in v. Il grado di un vertice si indica con deg(v). Un vertice si dice pari se il suo grado è pari.

TEOREMA

Indicando con vi un vertice di un grafo, con nv il numero di vertici e con ns il numero di spigoli, si ha . La dimostrazione viene lasciata al lettore.

MULTIGRAFO
Un multigrafo è un grafo con spigoli multipli, ossia con più di uno spigolo che congiunge gli stessi estremi. Un esempio di multigrafo e quello dato in fig.1 (Ponti di Koenigsberg).

PASSEGGIATA – PERCORSO – SENTIERO – CICLO
Una passeggiata in un multigrafo è una successione del tipo vertice-spigolo-vertice-, per es. v1 , e1 , v2 , e2 , …, vn , en , dove ciascuno spigolo ei è incidente in vi-1 e vi . Il numero n degli spigoli si chiama lunghezza della passeggiata. La passeggiata si dice chiusa se v1 =vn . Quando il grafo non ha spigoli multipli (cioè non è un multigrafo), per identificare una passeggiata è sufficiente indicare la successione dei vertici o la successione degli spigoli.
Un percorso è una passeggiata in cui tutti gli spigoli sono distinti.
Un sentiero è una passeggiata in cui tutti i vertici sono distinti. Ovviamente, un sentiero deve essere un percorso.
Un ciclo è una passeggiata chiusa tale che tutti i vertici siano distinti ad eccezione di v1 =vn . Un ciclo di lunghezza k si chiama k-ciclo.

LEMMA

In un grafo, ogni ciclo deve avere lunghezza maggiore o uguale a 3

GRAFO CONNESSO
Un grafo si dice connesso (Fig.6) se esiste un sentiero tra due qualsiasi suoi vertici. In fig.7 è riportato un esempio di grafo non connesso (p.e., non esiste un sentiero da v4 a v7 ).

GRAFO TRAVERSABILE
Un grafo (o un multigrafo) si dice traversabile se può essere disegnato senza mai alzare la penna dal foglio e senza mai passare due volte per lo stesso spigolo.
In un grafo traversabile, quindi, esiste un passeggiata nella quale sono inclusi tutti i vertici e dove vengono usati tutti gli spigoli una sola volta (mentre si può passare per un vertice quante volte si vuole). Tale passeggiata si chiama percorso traversabile. Un esempio di grafo traversabile è dato in Fig. 6: (v1 , v2 , v4 , v1 , v3 , v4 , v5 ) è un percorso traversabile.

A titolo di esempio determiniamo le caratteristiche del grafo connesso di Fig.8.

Consideriamo la passeggiata da v4 a v6 : (v4, v1, v2, v5, v1, v2, v3, v6). Questa passeggiata non è un percorso, perché lo spigolo (v1, v2) viene usato due volte.

La successione (v4, v1, v5, v2, v6) non è una passeggiata, perché manca lo spigolo (v2, v6).

La successione  (v4, v1, v5, v2, v3, v5, v6) 
è un percorso perché nessuno spigolo è stato usato due volte, ma non è un sentiero perché il vertice v5 è usato due volte.
La successione (v4, v1, v5, v3, v6) è un sentiero da v4 a v6. 

3. Analisi del grafo dei ponti di Koenigsberg
Siamo ora in grado di studiare il problema dei ponti di Koenigsberg.
Il problema ammette soluzioni se si riesce a dimostrare che il multigrafo associato al problema (fig.9) è traversabile.

Vediamo come ha ragionato Eulero. Consideriamo un multigrafo traversabile, e supponiamo che un percorso traversabile P non inizi (e quindi non finisca) in V. Il vertice V è sicuramente di grado pari perché ogni volta che P entra in V da uno spigolo, deve sempre uscirne da uno spigolo non usato in precedenza; in altre parole nel vertice V il numero di ingressi è uguale al numero di uscite, e quindi il grado di V è pari. Questo significa che se un vertice U ha grado dispari, allora il percorso P deve iniziare e finire in U. Di conseguenza, se un multigrafo ha più di due vertici dispari, allora non è traversabile.
Il grafo fig. 9 ha quattro vertici dispari, e quindi non è traversabile: il problema dei ponti di Koenigsberg non ha soluzione.

Eulero, in effetti, dimostrò la proposizione inversa a quella esposta in precedenza. In particolare dimostrò il seguente teorema.

TEOREMA DI EULERO

Un grafo connesso finito è un GRAFO traversabile se e solo se ha due vertici di valenza dispari, oppure nessuno.

4. Grafi hamiltoniani
I grafi traversabili si chiamano grafi euleriani. In questi grafi, esiste una passeggiata chiusa che comprende tutti gli spigoli del grafo una sola volta.
Il matematico William Rowland Hamilton si pose il problema duale: quali sono le condizioni affinché esista una passeggiata chiusa che includa tutti i vertici una sola volta? Tale passeggiata è evidentemente un ciclo, e prende il nome di ciclo di Hamilton. Non è ancora stato trovato un metodo generale per determinare il ciclo hamiltoniano di un grafo qualunque, e molti matematici sono attualmente impegnati nella ricerca di questo metodo.
Un interessante problema "hamiltoniano" è il problema del commesso viaggiatore, già accennato all'inizio: un commesso viaggiatore deve visitare dei clienti in alcune città. Come deve scegliere il percorso stradale che collega tutte le città da visitare con la città di partenza, in modo da minimizzare i chilometri da percorrere?
Il problema può essere modellato da un grafo, in cui i vertici sono le città (e qualche incrocio stradale…), mentre gli spigoli sono tutte le strade percorribili che collegato le città tra di loro (compresa la città di partenza)

Il lettore provi a risolvere il problema seguente, costruendo il grafo appropriato.

Problema

Un tecnico di manutenzione di impianti termici, residente a Teramo, deve visitare dei clienti nelle seguenti località:

· Torricella Sicura

· Montorio

· Faiano

· Villa Petto

· Villa Maggiore

· Castel Castagna

· Basciano

 

Il tecnico vuole percorrere meno strada possibile. Qual è il percorso minimo? O, in altri termini, qual è il ciclo hamiltoniano del grafo associato al problema? I dati sulle lunghezze delle strade sono inseriti nella cartina.

5. Grafi planari
Un grafo si dice planare se può essere tracciato in un piano e se i suo spigoli non si intersecano. Chiameremo mappa un grafo planare. Una mappa divide in facce il piano che la contiene.

Per esempio la mappa in fig. 11 è suddivisa in cinque facce . La faccia è uguale alla differenza tra l'insieme dei punti del piano euclideo e i punti delle 4 facce restanti, ed è quindi (lei sola) illimitata.Per grado di una faccia F si intende un ciclo (passeggiata chiusa) i cui spigoli sono le frontiere di F.Non sarà difficile per il lettore dimostrare il seguente

TEOREMA
La somma dei gradi delle facce di una mappa è uguale al doppio del numero degli spigoli.

Importante (anche nella geometria solida) è il seguente:

TEOREMA DI EULERO
Indicando con nv il numero di vertici di una mappa connessa M, con ns il numero di spigoli e con  il numero delle facce, si ha: nv – ns + nF =2

6. Mappe colorate
Consideriamo una mappa M. Due facce di M si dicono adiacenti se hanno uno spigolo in comune. Una colorazione di M consiste nell'assegnare ad ogni faccia di M un colore in modo che facce adiacenti abbiano colori diversi.
Una mappa M è n-colorabile se bastano n colori. Possiamo ora esaminare il seguente teorema :

TEOREMA DEI QUATTRO COLORI

Ogni mappa è 4-colorabile

La formulazione del teorema è di una semplicità disarmante. Nonostante questo, la sua dimostrazione ha impegnato per quasi 130 anni i migliori matematici. La sua prima formulazione risale al 1852, quando l'inglese Francis Guthrie in una lettera lo propose al fratello Frederick, allievo del famoso matematico Augustus De Morgan. Del problema venne a conoscenza Hamilton, al quale De Morgan il 23 ottobre del 1852 scriveva :
"… un mio studente mi ha chiesto oggi il perché di un fatto. Egli dice che se si divide una figura, in modo qualsiasi, in regioni e si vogliono colorare queste regioni in modo diverso, cioè in modo che regioni confinanti risultino colorate in modo diverso, possono essere necessari quattro colori ma non di più: ossia ogni carta geografica può essere colorata con un massimo di 4 colori".

Il problema non interessò immediatamente né Hamilton né i matematici dell'epoca. Tuttavia, il fatto che non si riusciva a trovare una dimostrazione coinvolse via via sempre più matematici. Per 124 anni il teorema rimase una congettura fino a che, nel 1976, due matematici dell'Università dell'Illinois (USA), Kenneth Appel e Wolfgang Haken, con l'ausilio determinante dei più potenti calcolatori dell'epoca, riuscirono a dimostrare il teorema. Occorsero più di 1200 ore di tempo-macchina su tre diversi elaboratori elettronici. Era la prima volta che un teorema veniva dimostrato con l'ausilio di un elaboratore elettronico, cosa che suscitò all'epoca non poche discussioni tra i matematici.

7. Il salto del cavallo
Il matematico Dudeney inventò 80 anni fa il seguente problema, assai facile da risolvere con un grafo, ma che presenta notevoli difficoltà se risolto per tentativi.
Consideriamo la scacchiera ridotta di fig. 12, in cui ci sono 2 cavalli neri e due cavalli bianchi. Il gioco consiste nello scambiare di posto i due cavalli bianchi con i due neri.

Costruito il grafo del problema (fig.13), notiamo innanzitutto che il grafo non è planare. Ma questo non è un problema: si può fare in modo di disegnare un grafo equivalente a quello di fig.13, ma senza lati che si intersecano.
Un'interessante articolo su un problema analogo a questo (con una scacchiera più grande di quella di fig.12) può essere letto alla pagina

http://space.tin.it/scuola/vdepetr/t18/Text18.htm

Giovanni Valentini

www.matematico.it

 

Modelli matematici sull’evoluzione della demografia mondiale

popolazione.jpgSappiamo che l’attuale popolazione mondiale di quasi sette miliardi[1] [2] viene mantenuta e continua a crescere per via dell’impiego di energia esterna, in particolare il petrolio, da cui dipende l’alimentazione della società umana. Nel 1840 Justus Von Liebig pubblicò il frutto delle sue ricerche nel famoso libro "La chimica organica e le sue applicazioni all’agricoltura ed alla fisiologia" che divenne ben presto un testo adottato in diverse università.

 Nasce così l’agricoltura moderna basata sui concimi chimici e la loro diffusione su larga scala soprattutto a partire dalla fine del XIX secolo favorendo così enormemente la produzione agricola. Questi concimi chimici in seguito uniti con gli antiparassitari e i diserbanti a partire dagli inizi del XX secolo vengono fabbricati in enormi quantità grazie al petrolio, realizzando così quasi per magia una straordinaria quantità di cibo, che ha creato un fenomeno che non ha avuto precedenti nella storia dell’uomo, cioè una esplosione demografica sconcertante, dovuta soprattutto alle “popolazioni povere” delle nazioni in via di sviluppo, e che solo da qualche anno accenna a rallentare.
Tale rallentamento è dovuto al fatto che il petrolio è una fonte energetica non rinnovabile. L’esaurimento di questa risorsa infatti è segnalato dal cosiddetto picco1 di Hubbert che molti studi diversi considerano ormai trascorso. Dal picco petrolifero dipende strettamente il picco delle risorse alimentari e quindi il picco demografico mondiale (che costituisce quindi un interessante indicatore). Poiché nessun’altra fonte energetica è abbastanza abbondante ed economica per prenderne il posto un futuro decremento della popolazione umana della Terra è a questo punto inevitabile.
La popolazione mondiale dei secoli passati (prima dello sfruttamento intensivo del petrolio) crebbe fin tanto che le risorse disponibili nel suo territorio lo permettevano, dopodiché raggiunse un equilibrio pressoché stabile con le risorse rinnovabili. Quindi nel lontano passato non c’è stata una vera e propria “crescita demografica” nel senso che generalmente oggi si intende e cioè interpretabile come una funzione sempre crescente con il tempo, ma semmai una progressiva serie di equilibri, che secondo le risorse disponibili permettevano un aumento o un decremento della popolazione locale, ma che comunque non avrebbero mai permesso di superare certi limiti. Del resto dalle statistiche sul numero degli abitanti locali trovate in antichi manoscritti (che spesso riflettono solo i limiti delle conoscenze dell’epoca) non si possono fare estrapolazioni generali affidabili.
ico-pdf.pngScarica tutto l’articolo di A.Urso, Modelli matematici sull’evoluzione demografica mondiale.
Riferimenti bibliografici
[1] U.S. Census Bureau World population International Data Base
[2] World Population Data Sheet of the Population Reference Bureau (anni vari)
[3] A. Urso “generalizzazione dell’equazione logistica” matematicamente.it/approfondimenti e http://sites.google.com/site/pianetagalileo  
[4] A. Urso “sviluppo demografico e fonti energetiche” matematicamente.it/approfondimenti e http://sites.google.com/site/pianetagalileo 
Siti consigliati per approfondimenti e aggiornamenti
http://www.hubbertpeak.com

Aneddoti Matematici

Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto  dei modelli. Per modello s’intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè, in relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice.

 

Fonte: John Von Neumann

 

 

Usare dei numeri non significa di per sé essere né scientifici né precisi. Quel che importa non è usar dei numeri ma usarli bene. Nel 1589 veniva ristampata in Venezia l’opera di Giovan Maria Bonardo su La grandezza, larghezza e distanza di tutte le sfere ridotte a nostre miglia, in cui si afferma tra l’altro che “l’inferno è lontano da noi 3.758 miglia e un quarto” e ha “di larghezza 2.505 miglia e mezzo” mentre “il Ciel Empireo […] è lontano da noi 1.799.995.500 miglia”.

 

Fonte: C.M.Cipolla, Storia economica dell’Europa pre-industriale” (Il Mulino)

 

 

Qualche anno fa un noto ufficiale pubblico californiano lasciò il suo lavoro e si trasferì in Alabama, perciò – come scrisse un giornale locale – alzò la media del Q.I. in entrambi gli stati. Secondo questo discorso sarebbe possibile, con una semplice ridistribuzione della popolazione degli Stati Uniti, alzare la media del Q.I. in tutti e cinquanta gli stati. Fatto questo, allora, si implicherebbe che il Q.I. dell’intera nazione – essendo una media dei Q.I. di tutti gli stati – possa quindi essere alzato?

 

Fonte: David Wells, Personaggi e Paradossi della matematica, Mondadori, 2002, pp. 58-59.

 

 

LE TRE REGOLE DELLA MATEMATICA (E ANCHE DELLA FISICA)
1) Non farti spaventare dalla simbologia o dalle denominazioni. Ogni linguaggio necessita di una struttura convenzionale per poter determinare la comunicazione e la comprensione non ambigua tra gli interlocutori. Così come ti orienti per strada utilizzando i segnali stradali, allo stesso modo con la matematica, sfruttando e aiutandoti con le nozioni, puoi arrivare tranquillamente a destinazione.
2) Non farti spaventare dalla apparente difficoltà. Ricorda sempre che la matematica cerca di risolvere e di spiegare problemi esistenti, non di crearne di nuovi, (porre degli interrogativi non vuol dire partorire un nuovo problema, ma il portar alla luce dubbi già reali) e lo fa seguendo la strada più breve e più semplice.
3) Cerca di rendere solide le basi, di colmare ogni interrogativo che affiora, tieni sempre in mente che il fine ultimo è capire. Concretizzare l’astratto è un’ottima via per una assimilazione consapevole e voluta delle leggi, ricorda che ogni quesito nasce e si sviluppa nella realtà delle cose, per portare l’uomo ad una interazione e padronanza migliore con esse.

 

Fonte: Filippo Zanella: http://xoomer.virgilio.it/refuge4mind/docs/regole.pdf

 

 

Studiò e comprese i sei libri di Euclide sin da quando era membro del Congresso. Egli cominciò un corso di rigida disciplina mentale nell’intento di migliorare le sue facoltà, specialmente le sue possibilità logiche e oratorie. Quindi la sua passione per Euclide, che portò sempre con sé finché non fu capace di dimostrare correntemente tutte le proposizioni dei sei libri, spesso studiando sino a notte avanzata, con una candela accanto al capezzale.

 

Fonte: Abraham Lincoln, Short Autobiography, 1860

 

 

Per tutta la vita vi scontrerete con le brutali verità dell’economia In qualità di elettori dovrete poi prendere decisioni su problemi che non possono neppure essere compresi se non si conoscono i rudimenti di questa materia. Il guadagnarsi da vivere e lo spendere il reddito per acquistare beni di consumo implicano fenomeni studiati dall’economia. Lo stesso accade per il risparmio e per l’investimento, cioè per l’onere di decidere oculatamente come impiegare i soldi messi da parte: la teoria economica non può garantirvi di far di voi dei geni della finanza, ma senza conoscerla giochereste con dadi truccati a vostro danno.

 

Fonte: Paul Anthony Samuelson (economista e premio Nobel 1970)

 

 

Le matematiche non sono soltanto strumento di misura e di calcolo al servizio degli ingegneri di ogni categoria, ma costituiscono il linguaggio della civiltà moderna. Disconoscerle o trascurarle significa rinunciare a tenersi a livello del nostro tempo. Le matematiche sono infatti penetrate profondamente in tutto il corpo delle scienze, non soltanto delle scienze fisiche e naturali ma anche delle scienze umane, di quelle che trattano dell’uomo: l’etnologia, l’economia, la strategia, l’informazione. Il loro compito non si limita a determinare distribuzioni statistiche, a valutare frequenze o probabilità, a scoprire leggi di correlazioni. Questo è, per così dire, lavoro da ingegneri. Si tratta di pensare in una certa maniera. Tutta la nostra civilizzazione scientifica non sarebbe che un cumulo di tecniche eteroclite e disparate se la matematica non ne desse una espressione comune. Non c’è unità di scienze al di fuori di una unità di linguaggio. È il linguaggio matematico che fa l’unità architettonica delle scienze. Senza di esso, i diversi scienziati andrebbero alla deriva gli uni in rapporto agli altri. Ma, ancora più profondamente le matematiche esprimono sia la nostra visione del mondo, sia il nostro modo di agire nel mondo.

 

Fonte: tratto da una rivista scientifica

 

 

Tutte le volte che ci si accinge ad una costruzione nuova, intervengono motivi di ordine psicologico e biologico a frenare e disturbare, producendo il noto fenomeno di fatica che spesso si mimetizza nella noia e sfocia nella stanchezza.
Parte di questo meccanismo può essere attenuata graduando i passi della costruzione, abbondando, entro certi limiti, in esempi; e soprattutto facendo partecipare il giovane al processo attivo con l’elaborazione personale di situazioni che lo inducono di per sé alle generalizzazioni che si hanno in animo.
Dopo di che non resterà altro che ricordare come imparare sia sostanzialmente un processo doloroso a dispetto di ogni formula didattica più o meno teorica.

 

Fonte: pag. XV Zwirner Scaglianti “Funzioni” Cedam

 

 

Nel maggio del 1998 i rappresentanti del consiglio della contea di Centre in Pennsylvania abolirono una tassa  sulle proprietà valutandole tutte zero. Questo fatto provocò una carenza di entrate nei consigli di amministrazione delle scuole locale, le quali citarono in giudizio la contea sostenendo, tramite il loro legale che lo zero non era un valore. La prova che l’avvocato addusse consistette nel far dividere per zero a un ex assessore della contea, utilizzando una calcolatrice tascabile. Ciò che comparve fu solo la “E” di “errore”.

 

Fonte: R. Kaplan, Zero, Rizzoli, Milano, 2000, p. 224.

 

 

Il matematico tedesco Peter Gustav Lejeune-Dirichelet (1805-1859) era piuttosto pigro nella corrispondenza. Quando nacque il suo primogenito, dimenticò di comunicare al suocero la notizia. Quest’ultimo, appresa per proprio conto la notizia, scrisse al genero: Avresti potuto almeno inviarmi un biglietto con su scritto 2+1=3.

 

Fonte: Hauchecorne, Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, Paris, 1996, p.104

 

 

Gerolamo Cardano (1501-1576), matematico, medico, filosofo e astrologo, è noto per aver fornito la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado e la sospensione cardanica per rendere la bussola insensibile ai movimenti della nave.
Era convinto di essere un grande astrologo. Tra le bufale più colossali si ricorda l’oroscopo al giovane Edoardo VI, salito a nove anni sul trono d’Inghilterra. Cardano gli predisse una vita ben più lunga della media dei suoi contemporanei. Non fece in tempo a rientrare in Italia che apprese la notizia della morte del sovrano, avvenuta all’età di soli sedici anni per un’improvvisa tubercolosi.
Ebbe la faccia tosta di dire che aveva sbagliato i calcoli, rifece l’oroscopo e trovò con precisione che il giovane re aveva fatto bene a morire in quel momento.

 

Fonte: D. Guedj, Il teorema del pappagallo, Longanesi, Milano, 2000, p. 304.

 

 

Nel 1871, durante la guerra franco-prussiana, il grande matematico di origini norvegesi Sophus Lie, autore della complessa teoria dei gruppi di trasformazioni, si trova a Parigi per una borsa di studio assieme al suo amico tedesco Felix Klein. A causa dello scoppio della guerra, quest’ultimo è costretto a ritornare rapidamente in Germania. Rimasto solo, Lie decide di raggiungere a piedi l’Italia: è infatti appassionato di alpinismo. Presso Fontainebleau si ferma a disegnare il paesaggio, sfortunatamente proprio nelle vicinanze di una fortezza francese. Il malcapitato, nonché ingenuo, matematico, viene fatto prigioniero e accusato di spionaggio: nel suo zaino vengono infatti trovate lettere in tedesco, indirizzate al suo collega Klein, piene di simboli matematici che vengono scambiati per messaggi in codice. Il presidente del tribunale gli chiede di provare di essere un matematico ma Lie è così poco convincente come insegnante che non viene creduto. Solo l’intervento diretto dell’Accademia delle scienze di Parigi riesce a salvarlo dalla situazione gravemente compromettente.

 

Fonte: Hauchecorne, Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, Paris, 1996, p.218.

 

 

Un problema bizzarro sui numeri relativi.
In un’aula ci sono 15 alunni, durante l’intervallo ne escono 20. Quanti alunni bisogna fare entrare perché la classe sia vuota?

 

 

Un contadino cercava si sparare a un corvo che continuava a tornare su una torre situata sulla sua proprietà e a mangiare il suo grano: appena il contadino arrivava vicino alla torre con il suo fucile, l’uccello volava via, ma appena si allontanava, il corvo ritornava. Frustrato nei suoi tentativi di liberarsi del ladruncolo, il contadino aguzzò l’ingegno e decise di ingannare il corvo costringendolo a tornare alla torre mentre lui era ancora lì. Si recò alla torre con un amico, e l’uccello si allontanò; più tardi l’amico andò via e il contadino rimase, ma il corvo non tornò. Il contadino provò a ripetere il trucco portando con sé due amici che si allontanarono uno dopo l’altro: niente da fare. Tentò con tre amici: ancora niente. Provò allora ad andare alla torre con quattro amici, che anche questa volta si allontanarono ad uno ad uno. Ma stavolta il corvo ritornò e il contadino riuscì a sparargli. Il senso del numero del corvo gli permetteva di tenere il conto della quantità solo fino a quattro, poi si confondeva e aveva la vaga sensazione che fossero in molti.

 

Fonte: J. D. Barrow, Perché il mondo è matematico?, Laterza, Bari, 1992.

 

 

        Conterò poco, è vero,
        diceva l’Uno ar Zero.
        Ma tu che vali? Gnente: proprio gnente.
        Sia nell’azzione come ner pensiero
        rimani un coso voto e inconcrudente.
        Io, invece, se me metto a capofila
        de cinque zeri tale e quale a te,
        lo sai quanto divento? Centomila.
        E’ questione de nummeri. A un dipresso
        è quello che succede ar dittatore
        che cresce de potenza e de valore
        più so’ li zeri che je vanno appresso.

 

Trilussa

 

 

Il mouse del computer viene tradotto in diverse lingue, ‘souris’ in francese, ‘raton’ in spagnolo, ‘maus’ in tedesco. In italiano il mouse è rimasto mouse. Non lo sapevano gli americani della IBM quando hanno tradotto un manuale d’istruzioni.
“Le palle dei topi sono da oggi disponibili come parti di ricambio. Se il vostro topo ha difficoltà a funzionare correttamente, o funziona a scatti, è possibile che esso abbia bisogno di una palla di ricambio. A causa della delicata natura della procedura di sostituzione delle palle, è sempre consigliabile che essa sia eseguita da un personale esperto. Prima di procedere, determinare di che tipo di palle ha bisogno il vostro topo. Per fare ciò basta esaminare la sua parte inferiore. Le palle dei topi americani sono normalmente più grandi e più dure di quelle dei topi d’oltreoceano. La procedura di rimozione di una palla varia a seconda della marca del topo. La protezione delle palle dei topi d’oltreoceano può essere semplicemente fatta saltare via con un fermacarte, sulla protezione dei topi americani deve essere prima esercitata una rotazione in senso orario o antiorario. Normalmente le palle dei topi non si caricano di elettricità statica, ma è comunque meglio trattarle con cautela, così da evitare scariche impreviste. Una volta completata la sostituzione, il topo può essere utilizzato immediatamente. Si raccomanda al personale esperto di portare costantemente con sé un paio di palle di riserva, così da garantire la massima soddisfazione dei clienti. Nel caso in cui le palle di ricambio scarseggino, è possibile inviarne richiesta alla distribuzione centrale utilizzando i seguenti codici …”