Il limite proposto presenta una forma di indeterminazione del tipo $0/0$, in quanto si ha che:
$ frac( sqrt(1+sin(0)) – sqrt(1-sin(0)))( sin^2(0) ) = frac(1-1)(0) = 0/0 $
Per eliminare l’indeterminazione e determinare il valore del limite, possiamo razionalizzare la frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x)) $:
$ frac( [sqrt(1+sin(x)) – sqrt(1-sin(x))] * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] )( sin^2(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) $
Svolgiamo i calcoli al numeratore:
$ frac( [sqrt(1+sin(x))]^2 – [sqrt(1-sin(x))]^2 )( sin^2(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) = $
$ frac( 1+sin(x) – 1 + sin(x) )( sin^2(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) = $
$ frac( 2 sin(x) )( sin^2(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) = $
Possiamo semplificare $sin(x)$:
$ frac( 2 sin(x) )( sin^2(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) = frac( 2 )( sin(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) $
Notiamo che in questo modo abbiamo eliminato la forma indeterminata; infatti, passando al limite, si ha:
$ lim_(x to π) frac( 2 )( sin(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) $
L’espressione tra parentesi quadra da come contributo $2$, poiché, sostituendo $π$ nelle funzioni:
$ sqrt(1+sin(π)) + sqrt(1-sin(π)) = sqrt(1) + sqrt(1) = 1+1 = 2$
Mentre il primo fattore del prodotto al denominatore, cioè $sin(x)$, da come contributo $0$, in quanto $ sin(π) = 0$; il limite, quindi, può essere facilmente calcolato:
$ lim_(x to π) frac( 2 )( sin(x) * [sqrt(1+sin(x)) + sqrt(1-sin(x))] ) = $
$ lim_(x to π) frac( 2 )( sin(x) * 2 ) = oo $
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