Descrizione del metodo della matrice inversa

Procedimento: Sia dato un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite. Come sappiamo esso può essere scritto nella forma  \( A \cdot x = b \), nella quale ? è la matrice \(n \times n\) dei coefficienti e $x , b$ sono due vettori colonna di $n$ coordinate, detti rispettivamente delle incognite e dei termini noti.

Osserviamo che se esiste la matrice inversa di ?, ovvero se è possibile determinare in maniera unica una matrice \(n \times n\) \(A^{-1}\) tale che

\[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \]

allora il sistema è facilmente risolubile. Infatti in questo caso moltiplicando a sinistra per \(A^{-1}\) entrambi i membri dell’equazione che definisce il sistema abbiamo subito

\[ A \cdot x = b \Rightarrow A^{-1} \cdot (A\cdot x) = A^{-1} \cdot b \Rightarrow (A^{-1} \cdot A) \cdot x = A^{-1} \cdot b \]

Da cui  \(x = A^{-1} \cdot b\)  in virtù delle proprietà della matrice inversa e di quelle della matrice identica. In questo caso, a quanto pare, esiste sicuramente un vettore $x$ soluzione del sistema, ed esso è univocamente determinato perché deve essere necessariamente uguale a \(A^{-1}\cdot b\). Quindi il sistema non solo è possibile, ma anche determinato.

Osservazione 1: Naturalmente, non tutti i sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite sono possibili o determinati, come subito evidenziato dalla seguente coppia di sistemi \(2 \times 2\):

\( \begin{cases} x+y=1 \\ x+y=0 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x+y=0 \\ x+y=0 \end{cases} \)

Il primo di essi è chiaramente impossibile, visto che \( 0 \ne 1\). Il secondo di essi, invece, è indeterminato: dato un qualsiasi valore $x$, basta imporre $y=-x$ per avere una soluzione del tutto accettabile, il che significa che ne esistono infinite.

Osservazione 2: L’osservazione 1 non contraddice il procedimento prima descritto per il fatto che quest’ultimo è applicabile se e solo se la matrice ? è invertibile, e come sappiamo condizione sufficiente affinchè questo accada è che sia \(|A| \ne 0\). In entrambi gli esempi dell’osservazione 1 avevamo invece \(|A| = 0\).

 

Regola di Cramer

Osservazione 3: Anche nel caso in cui sia \(|A| \ne 0\), il metodo della matrice inversa risulta tedioso da applicare perché in primo luogo bisogna calcolare \(A^{-1}\), fatto questo già lungo e complesso di per sé, e quindi fare un ulteriore prodotto righe per colonne. Per semplificare i calcoli applichiamo perciò la seguente regola di Cramer.

Regola di Cramer: Consideriamo la forma generica della matrice inversa di ?:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{|A|}  & \frac{A_{21}}{|A|}  & \cdots  & \frac{A_{n1}}{|A|} \\ \frac{A_{12}}{|A|}  & \frac{A_{22}}{|A|}  & \cdots  & \frac{A_{n2}}{|A|} \\ \vdots   & \vdots   & \ddots   & \vdots  \\ \frac{A_{1n}}{|A|}  & \frac{A_{2n}}{|A|}  & \cdots   & \frac{A_{nn}}{|A|} \end{pmatrix} \]

Il risultato del prodotto righe per colonne di questa matrice con il vettore ? dei termini noti si calcola facilmente in base alla definizione come

\[ [A^{-1}\cdot b]_i = \sum_{j=1}^n [A^{-1}]_{ij} b_j = \sum_{j=1}^n \frac{A_{ji}}{|A|} b_j = \frac{1}{|A|} \sum_{j=1}^n A_{ji}b_j \]

L’ultima sommatoria scritta si può, e qui sta il trucco, interpretare come il determinante di quella matrice che si ottiene da ? sostituendo alla sua ?-esima colonna il vettore colonna dei termini noti, il determinante essendo naturalmente sviluppato rispetto alla colonna sostituita. Abbiamo così che

\[ x_i = \frac{D_i}{|A|} \]

ossia che il valore dell’?-esima incognita si ottiene dividendo per il determinante di ? il determinante di quella matrice che si ottiene sostituendo all’?-esima colonna di ? la colonna dei termini noti del sistema. Abbiamo così ottenuto un metodo che evita del tutto il calcolo della matrice inversa, essendo sufficiente a priori calcolare al più $n+1$  determinanti per avere la soluzione.

 

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva con la regola di Cramer il sistema

\( \begin{cases} 5x+y+2z=5 \\ x-5y+z=15 \\ -2x+4y+z=-15 \end{cases} \)

Per prima cosa scriviamo il sistema in forma matriciale e controlliamo che il determinante della matrice ? dei coefficienti non sia 0; questo si può fare facilmente con la regola di Sarrus o con il metodo dei triangoli:

\( \begin{pmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 1  & -5  & 1 \\ -2  & 4  & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -15 \end{pmatrix} \)

\( |A| = \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 1  & -5  & 1 \\ -2  & 4  & 1 \end{vmatrix} = -25+8-2-(20+20+1)=-19-41=-60 \ne 0 \)

Cosicché il metodo della matrice inversa, e consequenzialmente la regola di Cramer, sono applicabili. Per avere il valore di $x$, sostituiamo alla prima colonna di ? il vettore dei termini noti, e calcoliamo il determinante della matrice risultante; lo stesso facciamo per $y$ e $z$.

\( \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 15  & -5  & 1 \\ -15  & 4  & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = \)

\( = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 15  & 3  & 6 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0  & 8  & 5 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = -105 \)

\( \begin{vmatrix} 5  & 5  & 2 \\ 1  & 15  & 1 \\ -2  & 15  & 1 \end{vmatrix} = 165 \)

\( \begin{vmatrix} 5  & 1  & 5 \\ 1  & -5  & 15 \\ -2  & 4  & 15 \end{vmatrix} = 30 \)

Nel primo caso abbiamo voluto mostrare come con le proprietà dei determinanti si possa spesso facilitare i calcoli. Per avere la soluzione non ci resta che dividere i numeri ottenuti per il determinante di ?, ottenendo  \(x=7/4, y = 11/4, z=-1/2\).

 

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