Prodotto di un monomio per un polinomio
Per calcolare il prodotto di un monomio per un polinomio, si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Ricordiamo che moltiplicare un numero per una somma algebrica di due o più termini significa moltiplicare quel numero per ciascun addendo, e sommare poi i prodotti così ottenuti.
\[ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \]
Applicando questa proprietà, possiamo facilmente determinare il polinomio derivante dal prodotto di un monomio per un polinomio:
Ora, non ci resta che calcolare i singoli prodotti fra i monomi, e poi sommare gli eventuali monomi simili:
\( (3x^2y) \cdot (-x^3) + (3x^2y) \cdot (2xy^2) + (3x^2y) \cdot (5y^3) = \)
\( -3x^2y \cdot x^3 + 3x^2y \cdot 2xy^2 + 3x^2y \cdot 5y^3 = \)
\( -3x^{2+3}y + 6x^{2+1}y^{1+2} + 15x^2y^{1+3} = \)
\( -3x^5y + 6x^3y^3 + 15x^2y^4 \)
Vediamo alcune regole utili da ricordare quando effettuiamo un prodotto di questo tipo:
- Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio che ha per termini i risultati dei prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio.
- Applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione, e seguendo le regole definite in precedenza, è possibile calcolare anche il prodotto fra un polinomio e un monomio.
- Se uno dei due fattori della moltiplicazione è un numero, per effettuare il prodotto di quel numero per il polinomio è sufficiente moltiplicare il numero per i coefficienti del polinomio.
- Il grado del prodotto tra un monomio e un polinomio, entrambi non nulli, è uguale alla somma dei gradi del monomio e del polinomio. (Questa regola vale sia per il grado complessivo che per il grado rispetto ad una lettera).
Prodotto tra polinomi
Per effettuare il prodotto fra due polinomi, dovremmo applicare ripetutamente la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, come visto in precedenza.
Per esempio, se vogliamo moltiplicare il polinomio \( (a + 3b) \) per il polinomio \( (2a + b – 3c) \), procediamo per gradi; per prima cosa, consideriamo il primo polinomio come un unico blocco, e applichiamo la proprietà distributiva su di esso:
\( \color{green}{(a + 3b)} \cdot (2a + b – 3c) = \color{green}{(a + 3b)} \cdot (2a) + \color{green}{(a + 3b)} \cdot (b) + \color{green}{(a + 3b)} \cdot (-3c) \)
Ora, riapplichiamo la proprietà distributiva per ogni singolo blocco:
\( (a + 3b) \cdot (2a) + (a + 3b) \cdot (b) + (a + 3b) \cdot (-3c) = \)
\( (a \cdot 2a + 3b \cdot 2a) + (a \cdot b + 3b \cdot b) + [a \cdot (-3c) + 3b \cdot (-3c)] \)
E calcoliamo i prodotti:
\( (2a^2 + 6ab) + (ab + 3b^2) + [-3ac – 9bc] = \)
\( 2a^2 + 6ab + ab + 3b^2 – 3ac – 9bc \)
Sommiamo i monomi simili:
\( 2a^2 + 6ab + ab + 3b^2 – 3ac -9bc = 2a^2 + 7ab + 3b^2 -3ac – 9bc \)
Vediamo ora delle regole generali per effettuare il prodotto fra due polinomi:
- Il prodotto di due polinomi è il polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine di uno di essi per tutti i termini dell’altro;
- Il grado del prodotto di due o più polinomi non nulli è uguale alla somma dei gradi dei polinomi fattori.
Esempi
- Calcolare il prodotto fra i seguenti polinomi:
\( (a – 2b + 1) \) e \( (a + b – 1) \)
Cominciamo applicando la proprietà distributiva rispetto al primo polinomio:
\( \color{green}{(a – 2b + 1)} \cdot (a + b – 1) = \)
\( \color{green}{(a – 2b + 1)} \cdot a + \color{green}{(a – 2b + 1)} \cdot b + \color{green}{(a – 2b + 1)} \cdot (-1) \)
Procediamo, poi, moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo, svolgiamo cioè i prodotti:
\( (a -2b + 1) \cdot a + (a – 2b + 1) \cdot b + (a -2b + 1) \cdot (-1) = \)
\( a \cdot a – 2b \cdot a + 1 \cdot a + a \cdot b – 2b \cdot b + 1 \cdot b + a \cdot (-1) – 2b \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = \)
\( a^2 – 2ab + a + ab – 2b^2 + b – a + 2b – 1 = \)
Semplifichiamo il polinomio sommando i termini simili:
\( a^2 -ab – 2b^2 + 3b – 1 \)
Notiamo che per eseguire la moltiplicazione di due trinomi dobbiamo svolgere \( 3 \cdot 3 = 9 \) prodotti di monomi; in generale, il numero di prodotti che si devono calcolare è dato dal numero di termini del primo monomio per il numero di termini del secondo.
- Calcolare il prodotto fra i seguenti polinomi:
\( (x^2 – 3 + 2x^2 + 2) \cdot (5x + 2 – x) \)
Prima di procedere con i calcoli, notiamo che all’interno dei polinomi compaiono dei termini simili. In generale, prima di effettuare la moltiplicazione, conviene assicurarci che il polinomio sia ridotto in forma normale; sommiamo quindi i termini simili dei due polinomi:
\( (x^2 – 3 + 2x^2 + 2) = (3x^2 – 1) \)
\( (5x + 2 – x) = (4x + 2) \)
\( (x^2 – 3 + 2x^2 + 2) \cdot (5x + 2 – x) = (3x^2 -1) \cdot (4x + 2) \)
Applicando la proprietà distributiva, procediamo calcolando il prodotto:
\( (3x^2 – 1) \cdot (4x + 2) = (3x^2 – 1) \cdot (4x) + (3x^2 – 1) \cdot 2 = \)
\( 3x^2 \cdot 4x + (-1) \cdot 4x + 3x^2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = \)
\( 12x^{2+1} – 4x + 6x^2 – 2 = \)
\( 12x^3 – 4x + 6x^2 – 2 = \)
\( 12x^3 + 6x^2 – 4x – 2 \)
Materiale di supporto
Test di 27 domande sui polinomi