La legge di Faraday-Neumann

La legge di Faraday-Neumann descrive, in modo generale, il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, cioè la generazione di corrente elettrica da parte di un campo magnetico.

Come sappiamo, la presenza di corrente che scorre in un filo conduttore genera un campo magnetico, visibile dalla rotazione di un ago magnetico (nell’esperimento di Oersted); anche un campo magnetico ha effetti su un filo percorso da corrente, come mostra l’esperimento di Faraday con i fili paralleli.

Vediamo ora che è anche possibile che un campo magnetico generi una corrente elettrica.

Tuttavia, in questo caso è necessaria una particolare condizione: il campo magnetico deve essere variabile, non costante.

Ad esempio, rispetto alla posizione fissa di un amperometro, se facciamo muovere un magnete avanti e indietro rispetto a tale punto, noteremo una rilevazione di corrente elettrica; se la calamita è ferma, invece, non si avrà variazione nel campo elettrico.

Un fenomeno di questo tipo prende il nome di induzione elettromagnetica, e la corrente elettrica che viene generata si definisce corrente elettrica indotta.

Una corrente elettrica può essere indotta anche se non è presente esplicitamente un magnete; l’importante è che venga generato un campo magnetico variabile.

Dato che anche una corrente elettrica che circola in un filo conduttore genera un campo magnetico, possiamo sfruttare questa caratteristica per generare una corrente indotta.

Ad esempio, poniamo vicini due fili conduttori, collegati ciascuno ad un amperometro; supponiamo che in uno di essi circoli corrente, perché collegato ad una batteria, mentre nell’altro no. Il primo filo genera un campo magnetico; se tale campo è costante, non si avranno variazioni nel secondo filo, ma se facciamo variare l’intensità di corrente che circola nel primo, varierà anche il campo magnetico da esso generato. Questa variazione di campo magnetico creerà una corrente indotta sul secondo filo.

In particolare, la corrente indotta dipende non solo dalla variazione del campo magnetico e dalla sua rapidità, ma anche dall’area che viene interessata dal circuito indotto e dalla sua orientazione rispetto alle linee di campo magnetico cui è sottoposto.

In generale si può affermare che la corrente indotta dipende dal flusso del campo magnetico attraverso la superficie che ha come contorno il circuito indotto.

Possiamo ora introdurre la legge di Faraday-Neumann, che esprime la relazione tra la forza elettromotrice indotta in un circuito e il flusso del campo magnetico attraverso la superficie interessata dal circuito indotto:

$f_(em) = – frac(∆Φ(vecB))(∆t)$

∆t indica l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione del flusso del campo magnetico.

Notiamo che la formula esprime il valore della forza elettromotrice media; se volessimo calcolare il valore della forza elettromotrice istantanea, dovremmo calcolare il limite per ∆t che tende a zero della quantità precedente, ovvero la derivata del flusso rispetto al tempo:

$f_(em) = \lim_{∆t to 0} – frac(∆Φ(vecB))(∆t) = frac(d[Φ(vecB)])(∆t)$

Ricordiamo che la forza elettromotrice può essere espressa come prodotto dell’intensità di corrente per la resistenza; se è noto il valore della resistenza, quindi, possiamo ricavare l’intensità della corrente indotta:

$ i = frac(f_(em))(R) = – frac(∆Φ(vecB))(R * ∆t)$

Esercizio

Consideriamo una spira di raggio 2,5 cm immersa in un campo magnetico uniforme di intensità pari a 0,15 T.

In un primo momento la spira è posta perpendicolarmente alle linee di campo, mentre dopo viene ruotata, fino a raggiungere un’angolazione di 30° rispetto ad esse. Sapendo che la rotazione avviene in 10s, calcolare la variazione del flusso del campo magnetico, e il modulo della forza elettromotrice indotta.

Al momento iniziale, quando la spira è perpendicolare al campo magnetico, il vettore superficie è parallelo al vettore campo magnetico; di conseguenza, il flusso del campo magnetico iniziale è dato da:

$Φ(vecB)_i = B*S*cos0° = 0,15 T * 1,96 * 10^(-3) m^2 = 2,94 * 10^(-4) Wb $

Quando, poi, la spira viene ruotata di 30°, l’angolo che si forma tra i vettori superficie e campo magnetico è di 30°, quindi:

$Φ(vecB)_f = B*S*cos 30° = 0,15 T * 1,96 * 10^(-3) m^2 *cos 30° = $

$ = 2,55 * 10^(-4) Wb $

La variazione del flusso del campo elettrico, quindi, è data dal valore finale meno il valore iniziale:

$ ∆Φ(vecB) = Φ(vecB)_f – Φ(vecB)_i = 2,55 * 10^(-4) Wb – 2,94 * 10^(-4) Wb = – 0,39 * 10^(-4) Wb $

Conoscendo la variazione di flusso, e l’intervallo di tempo in cui avviene, possiamo applicare la legge di Faraday-Neumann e calcolare la forza elettromotrice indotta:

$ f_(em) = – frac(∆Φ(vecB))(∆t) = – frac(- 0,39 * 10^(-4) Wb)(10 s) = 3,9 * 10^(-6) V $