La discesa lungo un piano inclinato

Esempio della biglia

Consideriamo una biglia appoggiata su di un quaderno. Se il quaderno si trova su una superficie piana, ad esempio su un tavolo, la biglia rimane ferma; per il primo principio della dinamica, infatti, le forze che agiscono su di essa si bilanciano (forza-peso e reazione vincolare del tavolo), quindi la biglia tende a mantenere il suo stato di moto.

Se, però, solleviamo leggermente il quaderno, noteremo che la biglia comincerà a muoversi; in particolare, questa scenderà lungo il piano, nel verso dell’inclinazione.

biglia-piano-inclinato — Se il piano viene alzato, la biglia (prima in equilibrio) comincerà a muoversi.

Ciò accade perché le forze che agiscono sulla biglia sono state modificate, e l’equilibrio è stato alterato. Inoltre, sono entrate in gioco anche altre forze, come la forza di attrito data dal contatto della biglia con la superficie del quaderno.

Ipotizziamo che la superficie della sfera e quella del quaderno siano talmente tanto lisce che l’attrito presente possa essere trascurato; esaminiamo le forze che si generano.

Il piano inclinato

Come nel caso della biglia che si trova in piano, anche sul piano inclinato essa è sottoposta alla forza-peso; questa forza è rivolta verso il basso, ma per analizzare la situazione è conveniente scomporre il vettore forza-peso nelle sue componenti, quella parallela al piano ($F_(//)$), e quella ortogonale al piano ($F_⊥$).

La componente parallela ha, come suggerisce il nome stesso, direzione parallela alla superficie del piano, e verso diretto lungo la discesa; tale forza è responsabile del movimento della pallina lungo il piano.

La componente ortogonale, invece, ha direzione perpendicolare al piano, e verso diretto all’interno della superficie. Tale forza è equilibrata dalla forza vincolare della superficie, che invece è rivolta verso l’esterno.

forza-peso-piano-inclinato — Scomposizione della forza-peso in componente parallela e componente perpendicolare rispetto la superficie del piano inclinato.

In particolare, se indichiamo con $h$ l’altezza del piano inclinato, con $l$ la sua lunghezza (cioè l’ipotenusa) e con $\alpha$ l’angolo che il piano forza con il suolo, la il modulo della componente parallela è dato dal prodotto del modulo della forza-peso per il seno dell’angolo $\alpha$:

$ |vec F_(//) |=| vec F_P | * sin (\alpha) $

Possiamo, poi, esprimere il seno dell’angolo come rapporto dell’altezza del piano (cateto) per la sua lunghezza (ipotenusa); quindi abbiamo:

Notiamo che, poiché la forza-peso di un corpo è data dal prodotto della sua massa per la sua accelerazione, la componente parallela della forza è direttamente proporzionale alla massa del corpo.

$ F_(//) = m * g * frac (h)(l) $

Dato che la massa dell’oggetto che si trova sul piano inclinato è sempre la stessa, la forza che agirà sul corpo sarà una forza costante; ciò significa che tale forza produrrà un’accelerazione costante sul corpo, che si muoverà quindi di moto uniformemente accelerato. I vettori forza e accelerazione, poi, hanno la stessa direzione, diretta lungo il piano inclinato.

Dal secondo principio della dinamica ($F = m*a$) possiamo determinare il valore dell’accelerazione su un piano inclinato:

$ F_(//) = m * a to a = frac (F_(//))(m) = F_// * frac (1)(m) = m * g * frac (h)(l) * frac (1)(m) = g * frac (h)(l) $

Dato che l’accelerazione del corpo dipende dal rapporto $frac (h)(l)$, possiamo notare che se tale rapporto è prossimo a 1; cioè se l’inclinazione del piano è molto elevata, l’accelerazione del corpo è circa quella di gravità, quindi il suo moto può essere considerato come il moto in caduta libera.

La presenza dell’attrito

Nel caso in cui il piano inclinato è costituito da una superficie ruvida, dobbiamo considerare la presenza dell’attrito che si genera tra il corpo e la superficie.

Finché il corpo rimane fermo, in equilibrio sul piano, su di esso agisce, oltre la forza peso con le sue componenti, e la reazione vincolare, anche la forza di attrito statico ($F_s$). Tale forza ha direzione parallela al piano, e verso opposto a quello della componente parallela della forza-peso; inoltre, tale forza non è costante, ma varia in base al valore della forza peso che sta bilanciando.

La forza di attrito statico può bilanciare la forza-peso fino ad un certo punto, raggiungendo il suo valore massimo in modulo; successivamente l’equilibrio verrà perso, e il corpo comincerà a muoversi.

Quando il corpo è in movimento, continuerà ad agire su di esso una forza di attrito, detta forza di attrito dinamico ($F_d$). Tale forza, diretta parallelamente al piano, e opposta alla componente parallela, ostacolerà la discesa del corpo, rallentando la sua caduta.