Il momento angolare

Il momento angolare è una grandezza fisica vettoriale che serve per descrivere il moto di rotazione di un corpo attorno ad un centro fisso O.

Grazie al momento angolare, ad esempio, è possibile spiegare come mai i satelliti che ruotano attorno alla Terra possono continuare a compiere il loro moto senza rallentare mai; o perché una ruota che viene fatta girare tende a ruotare all’infinito, in assenza di attriti esterni.

Consideriamo una particella di massa m che si muove con moto rotazionale attorno ad un punto fisso O. Il momento angolare di tale corpo viene descritto come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del corpo r (cioè il vettore che unisce il punto O con il punto P in cui si trova il corpo in un determinato istante) e la quantità di moto p del corpo stesso:

$ vec L = vec r xx vec p $

Ricordiamo che il momento angolare, essendo dato dal prodotto vettoriale di due vettori, gode di alcune proprietà:

è un vettore che ha direzione perpendicolare al piano su cui giacciono i vettori posizione e quantità di moto;

ha verso dato dalla regola della mano destra: si pone il pollice lungo la direzione di r, e le altre dita lungo la direzione di p; il verso del vettore momento angolare è quello uscente dal palmo della mano;

il suo modulo può essere ottenuto come prodotto dei moduli dei vettori posizione e quantità di moto moltiplicati per i seno dell’angolo tra essi compreso:

$ L = r * p * sin \theta $

Nel caso in cui abbiamo a che fare con un sistema fisico, dobbiamo considerare il momento angolare di tutti i corpi che costituiscono tale sistema; possiamo farlo sommando vettorialmente i momenti angolari rispetto allo stesso punto O dei singoli corpi che costituiscono il sistema.

La conservazione del momento angolare

In alcuni casi il momento angolare di un sistema di corpi si conserva nel tempo; affinché ciò avvenga, è necessario che il momento torcente totale delle forze esterne che agiscono sul corpo sia nullo.

Ricordiamo che il momento torcente di una forza, o semplicemente momento di una forza, è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del corpo e la forza F che agisce su di esso. Il suo modulo, inoltre, è dato dal prodotto della forza per il braccio.

Nel caso di un satellite che orbita attorno alla Terra, la forza che lo tiene in movimento è centripeta; essa, quindi, è diretta verso il centro della circonferenza. Poiché il braccio di una forza è definito come il vettore componente del vettore posizione r, perpendicolare alla forza stessa, in questo caso in braccio rispetto al centro di rotazione risulta nullo. Di conseguenza, è nullo anche il suo momento torcente.

Possiamo esprimere la variazione del momento angolare di un sistema su cui agisce un momento torcente M per un intervallo di tempo ∆t come il prodotto del momento per la variazione di tempo:

$ ∆vec L = vec M * ∆t $

Esercizio

Consideriamo una giostra composta da un braccio lungo 3,0 m, che ruota attorno ad un centro O. Alle estremità della giostra vi sono due bambini, che pesano rispettivamente 30 kg e 45 kg. La giostra ruota ad una velocità di 2,5 m/s; calcolare l’intensità del momento angolare del sistema rispetto al centro di rotazione O.

esercizio-giostra

Dalle formule viste precedentemente, sappiamo la definizione di momento angolare; essendo un prodotto vettoriale del vettore posizione e del vettore quantità di moto, il suo modulo è dato da:

$ L = r * p * sin \theta $

r rappresenta il vettore posizione dei due corpi; il suo modulo in questo caso vale 1,5 m, poiché i seggiolini sono equidistanti dal centro.

Calcoliamo la quantità di moto di ciascun bambino; sappiamo che la quantità di moto si calcola come prodotto della massa per la velocità, quindi abbiamo:

$ p_(Tot) = p_1 + p_2 = m_1*v + m_2*v = 30 * 2,5 + 45 * 2,5 = 75 + 112,5 = 187,5 kg * m/s $

Il vettore quantità di moto ha stessa direzione e stesso verso del vettore velocità; quindi, in questo caso, l’angolo compreso tra il vettore posizione e il vettore velocità è di 90°; il suo seno vale dunque 1.

Possiamo ora calcolare l’intensità del momento angolare del sistema:

$ L = r * p_(Tot) * sin \teta = 1,5 * 187,5 * sin 90° = 281,25 kg * m^2/s $