Il momento di inerzia

Momento angolare di un corpo rigido

Il concetto di momento di inerzia ci permette di esprimere il modulo del momento angolare con una formulazione alternativa.

Consideriamo un corpo rigido costituito da moltissime particelle, che indichiamo come n masse puntiformi. Il corpo rigido ruota attorno ad un centro fisso O; chiamiamo con $r_1$, $r_2$, …, $r_n$ le distanze da tale centro di rotazione delle varie masse puntiformi.

Consideriamo il caso in cui il corpo rigido ruoti su un piano; i vettori dei momenti angolari hanno tutti la stessa direzione, perpendicolare al piano, e lo stesso verso, uscente dal piano.

Per calcolare il momento angolare totale, quindi, basterà semplicemente sommare i moduli dei singoli momenti angolari; questo, infatti, si ottiene come somma vettoriale dei singoli momenti.

$ vec L_(Tot) = vec L_1 + vec L_2 + … + vec L_n to |vec L_(Tot)| =| vec L_1| + |vec L_2| + … + |vec L_n| $

Possiamo esprimere il modulo del momento angolare come il prodotto vettoriale del vettore posizione e del vettore quantità di moto; in questo caso, l’angolo tra essi è di 90°:

$ L_(Tot) = p_1*r_1 + p_2*r_2 + … + p_n*r_n $

Esprimiamo, poi, la quantità di moto come prodotto della massa per la velocità di rotazione:

$ L_(Tot) = p_1*r_1 + p_2*r_2 + … + p_n*r_n = m_1*v_1*r_1 + m_2*v_2*r_2 + … + m_n*v_n*r_n $

E’ possibile esprimere la velocità di un corpo in rotazione come il prodotto del raggio per la velocità angolare:

$ L_(Tot) = m_1 * (\omega * r_1) * r_1 + m_2 * (\omega * r_2) * r_2 + … + m_n * (\omega * r_n) * r_n $

$ = ( m_1 * r_1 ^2 + m_2 * r_2 ^2 + … + m_n * r_n ^2 ) * \omega $

Possiamo quindi esprimere il momento angolare di un corpo rigido come il prodotto della velocità angolare con cui sta ruotando per la somma dei prodotti delle masse dei singoli punti materiali per il quadrato della loro distanza dal centro di rotazione. Questa nuova quantità, che troviamo tra parentesi, prende il nome di momento di inerzia:

$ L_(Tot) = I * \omega = ( m_1 * r_1 ^2 + m_2 * r_2 ^2 + … + m_n * r_n ^2 ) * \omega $

Possiamo calcolare il momento di inerzia anche per un corpo solido; poiché esso è costituito da un’insieme praticamente infinito di punti materiali, per calcolare il momento d’inerzia si fa tendere n all’infinito.

Questa nuova definizione ci permette di analizzare e spiegare alcune situazioni che si possono presentare anche nella vita di tutti i giorni. Consideriamo, per esempio, una pattinatrice che ruota su se stessa, compiendo diversi giri al minuto.

La prima volta la pattinatrice ruota con le braccia aperte, la seconda con le braccia piegate sul petto. Si può notare che nel primo caso, la pattinatrice ruota con una velocità minore rispetto a quando porta le braccia al petto.

Questo fatto può essere spiegato perché, se consideriamo trascurabili gli attriti esterni, il momento angolare Iω si conserva; infatti, il momento torcente totale delle forze esterne che agiscono sul corpo è nullo.

Supponiamo che nel primo caso la pattinatrice abbia momento angolare L = Iω. Nel secondo caso I diminuisce, perché diminuiscono le distanze dei punti del corpo dall’asse di rotazione; di conseguenza, si ha un aumento di ω, in quanto il modulo di L deve rimanere invariato; quindi la ragazza nel secondo caso si muove con una velocità angolare maggiore.

Energia cinetica e accelerazione angolare

Anche un corpo che ruota attorno ad un asse fissato possiede una determinata energia cinetica; questa può essere espressa per mezzo del momento d’inerzia. Infatti, indipendentemente dal numero di punti che costituiscono il corpo stesso, la sua energia cinetica è data dalla metà del prodotto del momento d’inerzia per il quadrato della velocità angolare:

$ k = 1/2 * I * \omega ^2 $

Inoltre, dalla definizione di variazione del momento angolare (come prodotto del momento torcente di una forza per l’intervallo di tempo in cui essa agisce) e dalla definizione del momento angolare come prodotto del momento d’inerzia per la variazione di velocità angolare, possiamo ricavare la seguente scrittura:

$ ∆L = I * ∆\omega = M * ∆t to M = I * frac (∆\omega)(∆t) $

Nella formula precedente appare il rapporto tra una velocità e un intervallo di tempo; sappiamo che tale grandezza esprime la rapidità con cui varia la velocità in questione nell’intervallo di tempo, come nel caso di un moto piano. Questo rapporto prende il nome di accelerazione angolare:

$ \alpha = frac (∆\omega)(∆t) $

La formula che abbiamo ricavato in precedenza, $M = I * \alpha $ , può essere paragonata alla formula $F = m*a$ che descrive la forza che agisce su un corpo, provocandone un’accelerazione, nel caso di un moto di traslazione.