La gravitazione - Matematicamente

Sappiamo che i pianeti, ruotando attorno al Sole, non percorrono traiettorie rettilinee, ma percorrono delle orbite.

Viene spontaneo chiedersi, quindi, cos’ è che permette ai pianeti di rimanere lungo tale traiettoria, e di non uscirne fuori. Si deduce che sui pianeti agisca una forza che permette loro di mantenere tale moto.

Isaac Newton ipotizzò che questa forza fosse la stessa che è responsabile della caduta di una mela a Terra e che, in generale, attrae gli oggetti sulla superficie terrestre. Tale forza non è una caratteristica propria del pianeta Terra, ma si tratta di una forza attrattiva che si esercita tra due masse qualunque, che si trovano ad una certa distanza l’una dall’altra.

Egli riuscì a dimostrare che questa forza, che prende il nome di forza gravitazionale, è direttamente proporzionale alle due masse in questione, e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza; Newton espose tale concetto nella legge di gravitazione universale:

$ F_(1,2) = F_(2,1) = G * frac(m_1 * m_2)(r^2) $

dove $m_1$ e $m_2$ sono le masse dei corpi in questione, r è la distanza che li separa, $F_(1,2)$ e $F_(2,1)$ sono le forze attrattive che i corpi esercitano l’uno sull’altro.

Nella formula compare inoltre una costante G, che prende il nome di costante di gravitazione universale, e vale:

$G = 6,67 * 10^-11 * frac(N*m^2)(kg^2)$

Dalla legge di gravitazione universale notiamo che, tenendo fisse le masse, se la distanza tra i corpi diminuisce, la forza attrattiva che vi è tra essi aumenta; allo stesso modo, se la distanza tra i corpi è fissa, la forza aumenta se aumentano le masse (o anche semplicemente una massa).

Da notare che la legge di gravitazione universale permette di ricavare l’accelerazione di gravità presente sui pianeti.

Infatti, possiamo considerare la forza peso come caso speciale di forza attrattiva di due corpi: uno quello della Terra, e l’altro quello del nostro oggetto, ad esempio una mela.

La forza attrattiva tra essi è la seguente:

$F_P = G * frac(m * M_T)(R_T ^2) = m * (frac(G*M_T)(R_T ^2)) $

Sappiamo, dal secondo principio della dinamica, che una forza può essere espressa come il prodotto della massa del corpo su cui agisce per l’accelerazione che essa imprime a tale corpo ($F = m*a$); in particolare, nel caso della forza-peso l’accelerazione in questione è g, l’accelerazione di gravità: $F = m*g$.

Uguagliando le due scritture precedenti, abbiamo la seguente relazione:

$ g = frac(G*M_T)(R_T ^2)$

Conoscendo, quindi, il valore della costante G, la massa e il raggio terrestri, è possibile risalire al valore di g.

Notiamo che il valore di g è indipendente dalla massa del corpo che stiamo considerando; di conseguenza, anche se all’apparenza può sembrare strano, un blocchetto di cemento cade con la stessa accelerazione di una pallina di carta, se essi partono dalla stessa distanza rispetto al centro della Terra.

Da notare, poi, che non tutti i punti della superficie terrestre si trovano alla stessa distanza dal centro; ciò significa che in cima ad una montagna avremmo un’accelerazione di gravità leggermente minore rispetto ad una posizione al livello del mare.

Esercizio

Consideriamo due corpi di massa m1 = 140 kg, e m2 ignota. Sappiamo che i corpi stanno per scontrarsi, e quando si trovano alla distanza di 1,00m l’uno dall’altro, la forza di attrazione gravitazionale che vi è tra essi vale 1,71 μN. Calcoliamo la massa del secondo corpo.

Per determinare la massa m2 del secondo corpo possiamo applicare la legge di gravitazione universale, e ricavare da essa la formula inversa:

$ F = G * frac(m_1 * m_2)(r^2) to m_2 = frac(F*r^2)(G*m_1) $

Ricordiamoci, prima di sostituire i dati numerici, di esprimere le grandezze nelle giuste unità di misura; esprimiamo, quindi, la forza in Newton:

$ 1,71 μN = 1,71 *10^-6 N$

Possiamo ora determinare il valore di $m_2$:

$ m_2 = frac(F*r^2)(G*m_1) = frac(1,71 * 10^-6 N * (1,00 m)^2)(6,67 * 10^-11 * frac(N*m^2)(kg^2) * 140 kg) = 0,00183 * 10^5 kg = 183 kg $