Scheda che illustra il concetto di partizione di un insieme con le relative proprietà, ed esempi.
La partizione di un insieme
Sia \( A \) un insieme, e sia \( \wp(A) \) l’insieme delle parti di \( A \). Da \( \wp (A) \) si possono scegliere determinati sottoinsiemi di \( A \) che, se rispettano determinate condizioni, costituiscono una cosiddetta partizione di \( A \).
Definizione di partizione
Siano \( A \) un insieme e \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) \( n \) suoi sottoinsiemi. Si dice che \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) costituiscono una partizione di \( A \) se e solo se soddisfano le seguenti condizioni:
- Nessuno, fra \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) è uguale all’insieme vuoto \( \varnothing \);
- Scelti a caso due insiemi fra \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) , essi sono disgiunti, ovvero la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto;
- L’unione di \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) è uguale ad \( A \), ovvero \( B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = A \)
Definizione
I sottoinsiemi \( B_1, B_2, \ldots, B_n \) che formano una partizione vengono detti classi della partizione.
Rappresentazioni di una partizione di \(A\)
- Tramite i diagrammi di Eulero-Venn
Se si rappresenta l’insieme \( A \) attraverso un diagramma di Eulero-Venn, rappresentare una sua partizione significa dividere \( A \) stesso in sottoinsiemi, in ognuno dei quali ci sia almeno un elemento, in modo tale da ricoprire tutto l’insieme \( A \) senza intersezioni fra i vari sottoinsiemi.
Esempio 1
Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \) una partizione di \( A \) è:
- Per elencazione
Si elencano uno per uno tutti i sottoinsiemi di \( A \) che costituiscono la partizione
Esempio 2
Se \( A=\{1,2,3,4,5\} \) una partizione di \( A \) è \( \{\{1\};\{2\};\{3;5\};\{4\}\} \)
Osservazione
Esiste più di una partizione per uno stesso insieme \( A \): si possono infatti scegliere in diversi modi i sottoinsiemi che la formano.
Esempio 3
Se \( A =\{1,2,3,4,5\} \) una partizione per \( A \) è
ma un’altra partizione è:
Osservazione
Ciò che costituisce una partizione di un insieme \( A \) sono dei suoi sottoinsiemi: di conseguenza, una qualsiasi partizione di \( A \) è un sottoinsieme del suo insieme delle parti \( \wp(A) \); al contrario, non tutti i sottoinsiemi dell’insieme delle parti di \( A \) sono partizioni di \( A \) stesso.
Osservazione
Se \( A \) è un insieme non vuoto con almeno due elementi e \( B \) è un suo sottoinsieme proprio (ovvero distinto da \( A \) e da \( \varnothing \)) allora \( \{B;B^c\} \) costituisce una partizione di A: infatti
\( B \neq \varnothing \) e \( B^c \neq \varnothing \)
\( B \cup B^c = A \)
\( B \cap B^c = \varnothing \)
Osservazione
Se \( A \) è un insieme non vuoto, allora \( \{A\} \) è una sua partizione.
Esempi
- Preso l’insieme \( A =\{1,2,3\} \) tutte le sue possibili partizioni sono
\( \{A\} \)
\( \big\{\{1\},\{2\},\{3\}\big\} \)
\( \big\{\{1,2\},\{3\}\big\} \)
\( \big\{\{1,3\},\{2\}\big\} \)
\( \big\{\{2,3\},\{1\}\big\} \)
- Preso l’insieme \( A \) degli alunni di una scuola, una possibile partizione di \( A \) si ottiene suddividendo gli alunni in maschi e femmine (sempre che in questa scuola ci siano almeno un maschio e almeno una femmina!) oppure se ne ottiene un’altra suddividendoli in classi di appartenenza.
- Preso l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali, una possibile partizione di \( \mathbb{N} \) si ottiene suddividendo i numeri in pari e dispari, oppure un’altra suddividendoli in minori di 5000 e in maggiori o uguali a 5000, o un’altra ancora suddividendoli in primi e non primi.
- Preso l’insieme \( A=\{0,2,4,6,8,10\} \) una sua possibile partizione è:
Le classi che formano questa partizione sono
\( \{0,2,4\} \)
\( \{6\} \)
\( \{8,10\} \)
Essa è una partizione perché:
\( \{0,2,4\} \neq \varnothing \), \( \{6\} \neq \varnothing \), \( \{8,10\} \neq \varnothing \)
\( \{0,2,4\} \cap \{6\}=\{0,2,4\} \cap \{8,10\} = \{6\} \cap \{8,10\} = \varnothing \)
\( \{0,2,4\} \cup \{6\} \cup \{8,10\} = \{0,2,4,6,8,10\} = A \)
Materiale aggiuntivo
Videolezione: operazioni sugli insiemi