Il flusso del campo magnetico

Come nel caso del campo elettrico, anche per il campo magnetico si può parlare di flusso attraverso una superficie piana.

Il flusso del campo magnetico si esprime come prodotto scalare tra il vettore campo magnetico e il vettore superficie:

$Φ(vec B) = vec B * vec S = B * S * cos α$

Anche in questo caso alfa indica l’angolo compreso tra i vettori campo elettrico e superficie.

Possiamo facilmente immaginare, quindi, che il flusso del campo magnetico è massimo quando il campo magnetico è parallelo al vettore superficie, quindi quando il campo magnetico è perpendicolare alla superficie stessa; mentre il flusso è nullo quando il campo magnetico è perpendicolare al vettore superficie, cioè quando il campo magnetico è parallelo alla superficie.

Il flusso del campo magnetico si misura in $T ∙ m^2$, che nel sistema internazionale si indica con il weber (Wb).

Notiamo che nel caso di superfici chiuse il vettore S è, per definizione, uscente dalla superficie, mentre per una superficie piana qualunque il verso si S è arbitrario. Possiamo definire, quindi, la faccia positiva come quella rivolta nello stesso verso di S, mentre l’altra sarà la faccia negativa.

In base al verso delle linee di campo del campo magnetico rispetto alla superficie, possiamo determinare se il flusso del campo magnetico sarà positivo o negativo.

Ricordiamo che per angoli acuti, il coseno assume valori positivi, mentre per angoli ottusi si hanno valori negativi.

Di conseguenza, se le linee del campo magnetico escono dalla faccia positiva della superficie, l’angolo che si forma tra il vettore superficie e il vettore campo magnetico è acuto, e di conseguenza si avrà un valore positivo del flusso;

al contrario, se le linee del campo magnetico entrano nella faccia positiva, l’angolo che si forma tra il vettore superficie e il vettore campo magnetico è ottuso, e di quindi si avrà un valore negativo del flusso.

flusso-campo-magnetico — Flusso del campo magnetico e linee di campo che attraversano la superficie.

Anche in questo caso, se la superficie in questione non è piana, ma ha una forma non regolare, è possibile calcolare il flusso del campo magnetico attraverso di essa.

Si procede dividendo la superficie in n parti, piccola a sufficienza in modo tale che ciascuna di esse possa essere considerata una superficie piana.

Successivamente, si calcola il flusso del campo magnetico attraverso ciascuna di queste superfici, e si sommano i valori ottenuti; il flusso del campo magnetico totale, quindi, può essere espresso dalla seguente formula:

$Φ(vec B)_(Tot) = \sum_{i=1}^n Φ(vec B)_i = \sum_{i=1}^n vec B_i * ∆vec S_i = \sum_{i=1}^n B_i * ∆S_i * cos α_i$

Il teorema di Gauss per il campo magnetico

Anche per il campo magnetico vale un teorema di Gauss molto simile a quello per il campo elettrico: in questo caso, si può affermare che il campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale a zero.

Questo teorema può essere spiegato perché una delle principali caratteristiche dei magneti è il fatto che ogni magnete possiede un polo sud e un polo nord, ed essi non possono essere separati. Di conseguenza, all’interno di qualsiasi superficie chiusa, in presenza di magneti, saranno sempre presenti nella stessa quantità poli nord e poli sud magnetici.

A differenza del caso del campo elettrico, inoltre, per il campo magnetico le linee di campo sono linee chiuse, oppure linee che si estendono all’infinito, e non linee che hanno un inizio e una fine ben precisi. Accade, quindi, che per una superficie chiusa, ad ogni linea entrante ne corrisponde una uscente; questo spiega perché il flusso del campo magnetico è nullo per una superficie chiusa.

La circuitazione del campo magnetico

Anche nel caso del campo magnetico abbiamo una definizione di circuitazione molto simile a quella del campo elettrico.

Considerando un percorso chiuso orientato, e indicando con ∆li ogni suddivisione del percorso abbastanza piccola da poter essere considerata rettilinea, si definisce la circuitazione del vettore B lungo tale percorso nel seguente modo:

$ Γ_L (vec B) = \sum_{i=1}^n vec B_i * ∆vec l_i = \sum_{i=1}^n B_i * ∆l_i * cos α_i$