La circuitazione del campo elettrico

La circuitazione è un concetto matematico che riguarda un cammino lungo un percorso chiuso in un campo vettoriale.

Consideriamo, quindi, un percorso chiuso che si trova all’interno di un campo elettrico; quando si percorre una linea chiusa occorre innanzitutto stabilire un verso di percorrenza di esso.

Successivamente, si procede dividendo il percorso, che chiamiamo L, in n parti, in modo che ogni singola parte possa essere considerata un segmento di retta. Lungo ciascuna di queste parti calcoleremo il valore del campo elettrico.

Indichiamo, quindi, con $∆s_i$ il vettore spostamento che individua il tratto i-esimo, e indichiamo con $E_i$ il vettore campo elettrico presente nei punti di tale segmento.

circuitazione-campo-elettrico

Si definisce, quindi, circuitazione del campo elettrico lungo la superficie L la somma dei prodotti scalari, in ciascun tratto, dei vettori spostamento ∆si e dei vettori campo elettrico in quel punto:

$ Γ_L (vec E) = vec E_1 * ∆ vec S_1 + …. + vec E_n * ∆ vec S_n = \sum_{i=1}^n (vec E_i * ∆ vec S_i)$

Dalla definizione di circuitazione, e dal fatto che la forza elettrostatica è una forza conservativa, possiamo dedurre che la circuitazione del campo elettrico lungo un percorso chiuso è uguale a zero; ovvero, che il lavoro compiuto dalla forza elettrica lungo un cammino chiuso è nulla.

Procediamo moltiplicando la formula della circuitazione del campo elettrico per una carica di prova q:

$ q * Γ_L (vec E) = q * \sum_{i=1}^n (vec E_i * ∆ vec S_i) = \sum_{i=1}^n q*(vec E_i * ∆ vec S_i) $

$ = \sum_{i=1}^n (vec F_i * ∆ vec S_i) $

Notiamo che all’interno della sommatoria compare un prodotto scalare della forza per lo spostamento: tale prodotto scalare è proprio quello della definizione di lavoro nel caso di un campo di forze.

La circuitazione lungo un percorso chiuso, quindi, corrisponde proprio al lavoro svolto dalla forza lungo tale percorso, ma solo nel caso in cui ci troviamo in un campo di forze.

Nel caso di un campo elettrico, però, la circuitazione non rappresenta la stessa cosa, in quanto campo elettrico e forza sono dimensionalmente diversi.

Tuttavia, sappiamo che ogni carica elettrica che si trova all’interno di un campo elettrico possiede un’energia potenziale elettrostatica, definita proprio come il lavoro compiuto alla forza elettrica quando la carica situata in quel punto viene spostata da un punto iniziale ad un punto finale.

La circuitazione di un percorso chiuso semplice

Consideriamo un percorso chiuso molto semplice, come quello in figura:

circuitazione-del-campo-elettrico

Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza elettrica nei singoli tratti, relativo agli spostamenti di una carica q da A a B, da B c C e da C ad A: il lavoro in ciascun tratto si ottiene come opposto della differenza di energia potenziale nei singoli tratti:

$ W_(Tot) = W_(AtoB) + W_(BtoC) + W_(CtoA) = (U_A – U_B) + (U_B – U_C) + (U_C – U_A) = 0$

Se dividessimo per q il lavoro svolto percorrendo il cammino chiuso, riotterremmo la circuitazione del campo elettrico lungo tale percorso; essendo, però, il lavoro lungo il percorso chiuso uguale a zero, abbiamo che anche la circuitazione lungo un percorso chiuso è nulla.

Possiamo giungere allo stesso risultato notando che il prodotto scalare del vettore campo elettrico con il vettore spostamento non è altro che l’opposto della differenza di potenziale; questo fatto può essere dedotto dalla formula della differenza di potenziale come rapporto negativo tra il lavoro e la carica di prova:

$ ∆V = – frac(W_(AtoB))(q) = – frac(q * vec E * ∆vec S)(q) = – vec E * ∆ vec S$

Possiamo, quindi, sostituire questa formula all’interno della formula della circuitazione del campo elettrico, e quindi abbiamo:

$ Γ_L (vec E) = \sum_{i=1}^n (vec E_i * ∆ vec S_i) = \sum _{i=0}^n (- ∆V_i)$

Dato che in ogni tratto del percorso chiuso la differenza di potenziale è nulla, sarà nulla anche la differenza di potenziale lungo tutto il percorso.

Infatti, spostandoci lungo un percorso chiuso, dal punto iniziale al punto finale, dopo aver percorso tutta la lunghezza, si ritorna al punto di partenza; di conseguenza, la differenza di potenziale tra il punto iniziale e quello finale è necessariamente uguale a zero.