Il flusso del campo elettrico

Per capire il concetto di campo elettrico dobbiamo introdurre quello di campo vettoriale.

Un campo vettoriale è una legge matematica che associa ad ogni punto del piano, o dello spazio, un vettore.

Sappiamo che la presenza di una carica elettrica nello spazio genera un campo elettrico; ciò significa che in ogni punto dello spazio è possibile individuare un vettore campo elettrico che esprima l’intensità del campo in quel punto.

Se nello spazio fossero presenti un numero n di cariche elettriche, il campo elettrico risultante sarà quello generato dalla somma dei campi elettrici generati da ciascuna carica. Supponiamo che tale campo elettrico sia uniforme, cioè che il vettore campo elettrico sia lo stesso in ogni punto per modulo, direzione e verso.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie

Se consideriamo una superficie piana di area S, possiamo introdurre una nuova grandezza scalare, il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S:

$Φ_(vec S) (vecE) = vec E * vec S $

Il vettore S è un vettore superficie: la sua direzione è perpendicolare alla superficie considerata, il suo verso è, per convenzione, uscente dalla superficie (nel caso di una superficie chiusa), mentre il suo modulo è pari all’area della superficie stessa.

Dalla definizione, essendo il flusso del campo vettoriale un prodotto scalare, possiamo individuare situazioni particolari in cui il flusso è massimo o minimo.

Svolgendo il prodotto scalare, otteniamo la seguente formula:

$Φ_(vec S) (vecE) = vec E * vec S = E * S * cos α $

dove α indica l’angolo formato dal vettore campo elettrico e il vettore superficie.

flusso-del-campo-magnetico — Il vettore normale della superficie considerata può formare un angolo nullo con il campo magnetico o un angolo $\alpha$

Di conseguenza, possiamo affermare che il flusso del campo elettrico è massimo quando l’angolo è di 0° o di 180°; in questo caso il vettore campo elettrico e il vettore superficie sono paralleli (in questo caso, la superficie è perpendicolare alle linee di campo).

Il flusso del campo, invece, è nullo quando il vettore campo elettrico è perpendicolare alle linee di campo; in questo caso, le linee di campo sono parallele e radenti alla superficie.

Possiamo estendere il concetto di flusso del campo elettrico anche a superfici che non sono piane; si procede suddividendo la superficie in n parti, costruendo un reticolo, in modo che ciascun quadratino del reticolo rappresenti una piccola superficie piana, che rispetti le condizioni della definizione di flusso.

Su ognuna di esse si calcola il flusso del campo elettrico, e la somma dei flussi calcolati su ciascuna superficie fornisce il valore del flusso sull’intera distribuzione.

Se indichiamo con $E_i$ il campo elettrico relativo alla superficie i-esima $∆S_i$ , il flusso complessivo del campo elettrico attraverso la superficie S è dato dalla seguente formula:

$Φ_(vec S) (vecE) = \sum_{i=1}^n Φ_i (vecE) = \sum_{i=1}^n (vec E_i * ∆vec S_i) $

Il teorema di Gauss

Il teorema di Gauss per il campo elettrico afferma che il flusso del campo elettrico su una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica totale che si trova all’interno della superficie.

In questo caso, il flusso del campo elettrico è descritto dalla seguente relazione:

$ Φ_Ω (vec E) = frac(Q_(Tot))(ε) $

Dove Ω indica la superficie chiusa, mentre ε e una costante, la costante dielettrica del mezzo.

Notiamo che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è indipendente dalla grandezza e dalla forma della superficie, e dal numero delle cariche presenti all’interno di essa.

La dimostrazione di questo teorema prevede alcune considerazioni particolari; si suppone che la superficie considerata sia sferica, di raggio r, e che la carica generatrice sia una sola, posizionate nel centro della sfera.

Si suddivide la sfera in un reticolo, e si indica ciascuna superficie individuata con $∆S_i$ ; tutti i vettori superficie sono uscenti dalla sfera, e hanno direzione radiale; in ogni punto della sfera il vettore campo elettrico è uscente dalla sfera, e ha anch’esso direzione radiale.

teorema-di-Gauss — Dimostrazione del teorema di Gauss utilizzando una sfera come superficie chiusa.

Si procede determinando il flusso del campo vettoriale in ogni superficie infinitesima, che sappiamo essere:

$Φ_i (vecE) = vec E_i * ∆vec S_i = E_i * ∆S_i $

Sappiamo anche che il modulo del vettore campo elettrico è dato dal rapporto della forza elettrica sulla carica di prova; esso, quindi, può essere scritto come:

$ E_i = frac(1)(4πε) * frac(Q)(r^2) $

dove ε è la costante dielettrica del mezzo. I vettori campo elettrico, quindi, hanno tutti lo stesso modulo, in quanto la superficie è equidistante in ogni punto dalla carica generatrice.

Possiamo quindi determinare il flusso del campo elettrico totale come somma dei flussi nelle singole superfici:

$ Φ_Ω (vec E) = E_1 * ∆S_1 + …. + E_n * ∆S_n = $

$E * (∆S_1 + ….. + ∆S_n) = E * S_Ω$

La somma di tutte le superfici che costituiscono il reticolo da la superficie totale della sfera, che sappiamo essere $4πr^2$.

La formula del teorema di Gauss è quindi dimostrata:

$ Φ_Ω (vec E) =E * S_Ω = frac(1)(4πε) * frac(Q)(r^2) * 4πr^2 = frac(Q)(ε)$