L'angolo solido e le grandezze fotometriche

L’angolo solido

Consideriamo una sorgente luminosa che emana un fascio di luce, e ipotizziamo che tale sorgente si trovi all’interno di una superficie sferica. Proiettando il fascio di luce sulla superficie sferica, possiamo definire angolo solido la parte del fascio di luce che è contenuta all’interno della sfera:

angolo-solido

L’angolo solido si può ottenere considerando una sfera di raggio r; indicando con A l’area della regione della sfera intercettata dal fascio luminoso, l’angolo solido si ottiene dalla seguente formula:

$Ω = frac(A)(r^2)$

La sua unità di misura è detta steradiante.

La conoscenza dell’angolo solido ci permette di introdurre una nuova grandezza, l’intensità di radiazione. Come nel caso dell’intensità sonora, anche l’intensità di radiazione esprime la quantità di energia che attraversa una superficie in un determinato intervallo di tempo.

In questo caso, il valore dell’intensità di radiazione è dato dal rapporto tra l’energia trasportata dal fascio luminoso sul prodotto dell’angolo solido per l’intervallo di tempo:

$I = frac(E)(Ω * ∆t) $

Anche in questo caso, l’intensità dipende dalla lontananza della sorgente dalla superficie investita. Nel caso della luce, infatti, poiché lo spazio non è vuoto, una parte della luce emessa viene assorbita; di conseguenza, solo se la superficie è molto vicina alla sorgente il valore dell’intensità sarà accurato.

Le grandezze fotometriche

Le grandezze fotometriche si distinguono da quelle esaminate finora (dette radioelettriche), perché queste permettono di capire gli effetti della luce per come viene percepita dall’occhio umano, e di conseguenza sono grandezze soggettive.

Una di queste è l’intensità luminosa, che esprime quanto una determinata sorgente appare brillante dall’occhio che la percepisce. L’unità di misura dell’intensità luminosa è, nel sistema internazionale, la candela. Possiamo definire la candela, quindi, come l’intensità luminosa di una sorgente che emette dei raggi luminosi con intensità di radiazione pari a $1/683 W/sr $, e con una frequenza di $540 ∙10^12 Hz $.

Un’altra grandezza fotometrica è il flusso luminoso, definito come la quantità di luce che viene emessa da una sorgente in un secondo. La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è il lumen. Se la sorgente luminosa che stiamo considerando possiede un’intensità luminosa di 1 cd, e essa irradia in tutte le direzioni (cioè suo angolo solido misura 4π sr), il flusso luminoso corrispondente è di 1 lm.

Dal flusso luminoso, indicato con fi, è possibile definire un’altra grandezza fotometrica, l’illuminamento; l’illuminamento, infatti, è dato dal rapporto tra il flusso luminoso e l’area della superficie che viene colpita dal fascio di luce:

$E_L = frac(Φ_L)(A)$

Questa grandezza viene espressa nel S.I. con il lux (lx).

Esercizio

Il Sole emette luce colpendo la superficie terrestre con un irradiamento pari a $1,35 kW/m^2 $, misurato su una superficie perpendicolare alla direzione della luce, e considerando la distanza media Terra-Sole, che vale circa $0,1496 ∙10^12m$. Calcolare:

L’energia irradiata dal Sole in un secondo in un angolo solido completo;

la corrispondente intensità di radiazione in un secondo.

Per risolvere il promo punto, possiamo ricavare il valore dell’energia trasferita dal sole dalla formula dell’irradiamento:

$ E_e = frac(E)(A*∆t) to E = E_e * A * ∆t$

L’unico dato incognito che troviamo nella formula è l’area della parte compita dai raggi luminosi; conoscendo, però, l’angolo solido descritto dai raggi luminosi, possiamo ricavare il valore dell’area:

$Ω = frac(A)(r^2) to A = Ω * r^2$

Sostituiamo il valore trovato nella formula precedente:

$E = E_e * A * ∆t = E_e * Ω * r^2 * ∆t $

Ora nella formula compaiono tutti termini noti, e possiamo procedere sostituendo i valori numerici per determinare l’energia irradiata:

$E = 1,35 * 10^3 * 4π * (0,1496 * 10^12)^2 * 1 = 0,38 * 10^27 = 3,8 * 10^26 J$

Passiamo ora al secondo punto del problema; ricordiamo che l’intensità i radiazione si ottiene dal rapporto tra l’energia irradiata e il prodotto dell’angolo solido per l’intervallo di tempo:

$I = frac(E)(Ω * ∆t) $

in questo caso, siamo a conoscenza di tutti i dati necessari, e possiamo determinare immediatamente il valore dell’intensità di radiazione:

$ I = frac(3,8 * 10^26)(4π * 1) = 0,302 * 10^26 W/sr = 3,02 * 10^25 W/sr$