Qual è la forma dei flagellati? Che forma hanno i pianeti? E gli scheletri delle diatomee, e le bolle di sapone? Pare che la natura scelga sempre la forma che più le conviene, la forma ottimale.

Questo libro è la traduzione di The Parsimonius Universe (Springer, New York 1996) e di Kugel, Kreis und Seifenblasen (Birkhauser, Basilea, 1996), che a loro volta sono versioni rivedute e ampliate del trattato originale di W. H. Freeman: Mathematics and Optimal Form, 1984. Gli autori dipingono un quadro abbastanza completo delle forme ottimali che la natura sceglie, prendendo anzitutto in considerazione una serie di esempi di forme che si trovano più o meno comunemente.

Tutto si muove e si dispone secondo dei principi di minimo o massimo di carattere generale: è questo il principio di Maupertius, reinterpretato successivamente da Eulero, fondatore del Calcolo delle variazioni.

Tale principio risale alla metà del 1700 ma lo studio dei problemi di minimo e di massimo ha le sue origini nei greci, in Pitagora, Archimede, e molti altri: problemi spesso di natura puramente geometrica (problema di Didone) o di natura meccanica (Archimede); arriva ad Eulero e ai fratelli Bernoulli con la teoria delle connessioni minime è finalmente al primo accenno al Calcolo delle variazioni, seguito da una teoria energetica di carattere generale che mette dei fondamenti di tipo variazionale alla meccanica newtoniana.

Ma in tutto ciò c’è anche spazio per il divertimento: la matematica delle bolle di sapone, un divertimento per bambini e per matematici. Dal problema di Plateau, agli esperimenti fisici di Courant e Charles, alla teoria delle superfici minime, branca del Calcolo delle variazioni molto feconda ed ancora oggi molto studiata, vista la sua grande complessità matematica. Una serie molto ampia di immagini accompagna il lungo capitolo sulle superfici minime.

Finalmente si giunge ad un’applicazione molto importante del Calcolo delle variazioni che è l’impostazione variazionale dei principi di base della meccanica newtoniana, ovvero i fondamenti della meccanica razionale.

Gli autori sono quindi partiti da semplici osservazioni sulle forme preferite dalla natura, per poi estrapolare quali principi di economia ci siano sotto tali scelte, passando attraverso teorie che prendono spunto dalla geometria, dalla fisica e anche dal divertimento.

Il libro è scritto con chiarezza, molto ricco di esempi e ampiamente illustrato; a tratti è molto tecnico, di comprensione abbastanza impegnativa, ma complessivamente adatto ad una lettura non necessariamente specialistica.

Luca Lussardi

Derivabilità

Si data la funzione $f(x)$ definita da

$\sin (\frac{1}{x})$ se $x \ne 0$ e $0$ se $x=0$.

Discutere la derivabilità di $f$.

$f$ è continua anche in $x=0$ (altrove non vi sono problemi, per composizione di funzioni continue); infatti

$0 \le |x \sin(\frac{1}{x})| \leq |x|$

e dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che

$\lim_{x \to 0}x \sin (\frac{1}{x})=0$.

La derivata prima in $x=0$ non esiste (altrove, sempre per composizione, $f$ è derivabile); infatti

$\lim_{h \to 0}\frac{h \sin(\frac{1}{h})}{h}=\lim_{h \to 0}\sin(\frac{1}{h})$

non esiste. Dunque, la funzione data non è derivabile in $x=0$.

Retta tangente

Sia data la funzione

$f(x)=3x^3+2\log x$

Calcolare $g(4)$ essendo $g=g(x)$ la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(1,3)$.

Si ha

$f'(x)=9x^2+2/x$

da cui $f'(1)=11$. Quindi $g$ ha equazione

$y=g(x)=3+11(x-1)=11x-8$.

Dunque si ha $g(4)=-36$.

Derivata della funzione inversa

Si mostri che la funzione

$f(x)=3x+2+e^{4x}$

è invertibile su tutto $\RR$; denotando con $g$ la funzione inversa calcolare poi $\frac{3}{g'(3)}$.

La funzione data è definita e derivabile in tutto $\RR$; inoltre si ha

$f'(x)=3+4e^{4x}>0$

per ogni $x \in \RR$. Dunque $f$ strettamente monotona (crescente), quindi invertibile, e $f'(x)\ne 0$ per ogni $x \in \RR$. Ora si ha

$f(x)=3$ se e solo se $x=0

e dunque

$g'(3)=\frac{1}{f'(0)}=1/7$

da cui

$\frac{3}{g'(3)}=21$.

Esercizi di derivazione

Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni nel punto $x=0$:

1. $f(x)=cos(3x-2)$.

$f'(x)=-3\sin(3x)$ da cui $f'(0)=-3 \sin (-2)=3\sin 2$.

2. $f(x)=e^{2x^4-5x}$.

$f'(x)=e^{2x^4-5x}(8x^3-5)$ da cui $f'(0)=-5.

3. $f(x)=log(2+cos^3(4x))$.

$f'(x)=frac{1}{2+cos^3(4x)}3cos^2(4x)(-sin(4x))$ da cui $f'(0)=0$.

4. $f(x)=\frac{sin(4x)}{2x^2+e^{-3x}}$.

$f'(x)=\frac{cos(4x)4(2x^2+e^{-3x})-sin(4x)(4x-3e^{-3x})}{(2x^2+e^{-3x})^2}$ da cui $f'(0)=4$.