Autore: Admin

Dalle Applicazioni di e-commerce alla crittografia

La prima parte del lavoro svolto è un esempio di progettazione di un sito web di ecommerce con la relativa documentazione allegata. Alla fine della documentazione si fa riferimento al problema della sicurezza presentando un attacco di tipo SQL injection.

Materie trattate: Informatica, Matematica, Storia, Diritto

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Potenza: un cannone di 200kg deve essere in grado di sparare 5 colpi…

{etRating 2}Un cannone di 200kg deve essere in grado di sparare 5 colpi, del peso di 10kg ciascuno, alla velocità di 30m/s, nel giro di 4 secondi.

Si calcoli

1)La minima potenza del cannone per poter effettuare tale operazione

2)La velocità del cannone all’indietro, dopo una sequenza di 5 spari, ipotizzando che si trovi su un piano liscio

 

1)Il cannone, sparando le pallottole, conferisce loro una certa quantità di energia, in questo caso cinetica. Questa energia è a suo discapito, e sopratutto deve essere fornita nell’intervallo di tempo stabilito

L’energia cinetica di una pallottola è

$E_(colp)=1/2mv^2=1/2*10kg*900m^2/s^2=4500J$

I colpi da sparare sono 5, pertanto l’energia totale da conferire loro sarà

$E_(5colp)=5*4500J=22500J$

Ora sappiamo che l’arnese deve fornire quest’energia. Cooscendo l’arco di tempo in cui deve fornirla, ci ricolleghiamo direttamente alla potenza,definita come

$P=L/t$

Ma nel nostro caso il lavoro del cannone è uguale all’energia acquisita dai colpi, per il teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica).

Perciò

$P=22500/4 W=5650 W$

2) La quantità di moto si conserva, e dato che quella iniziale è nulla, anche quella finale sarà tale.

Ciò equivale a dire che la quantità di moto totale nella direzione dei proiettili, è uguale a quella del cannone che si dirige dalla parte opposta per il rinculo.

Perciò

$m_(can.)*v_(can.)=5*m_(colp)*v_(colp)$

$v_(can.)=(5*10*30)/200 m/s$

$v_(can.)=7.5m/s$

 

FINE

 

Un corpo è in moto su un piano ruvido, a una velocità $v_1$. Dopo un percorso di lunghezza $d$..

{etRating 2}

Un corpo è in moto su un piano ruvido, a una velocità $v_1$. Dopo un percorso di lunghezza $d$ il corpo si arresta.

Supponendo che $d$ e $v$ siano note, si trovi

1)Il tempo impiegato dal corpo per arrestarsi. 

2)Il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano

1)

Per trovare il tempo del moto, ricorriamo alle leggi della cinematica. In particolare, dobbiamo trovare una legge del moto che mette in relazione velocità e spazio, ma questa non esiste.

Occorre trovare anzittutto l’accelerazione (decelerazione, in realtà).

Ricorriamo a

$v_1^2=2ad$ omettendo la velocità finale, che è zero.

L’accelerazione è dunque ricavabile

$a=v_1^2/(2d)$

Il tempo è altresì esprimibile usando la legge

$v_f=v_1-at$ ma la velocità finale è nulla, quindi

$v_1=at$

E ricordando l’equazione precedente con l’accelerazione in funzione della velocità e dello spazio

$v_1=v_1^2/(2d)*t$

$t=(2d)/v_1$

2)

L’attrito è da considerarsi una forza che causa una decelerazione secondo la legge di Newton

Pertanto risulta essere

$vecF_a=mveca$

Ma è anche

$F_a=mg*k$ dove $k$ è il coefficiente d’attrito dinamico.

Confrontando le due equazioni

$mgk=ma$

Si noti che la massa è ininfluente sul risultato

$gk=a$

$k=a/g$

$g$ è nota, e anche $veca$ perchè la abbiamo ricavata nel punto 1)

La questione poteve essere semplificata ulteriormente usando il teorema dell’energia cinetica,che ci avrebbe portato a

$F_a*d=1/2mv_1^2$

$mgk*d=1/2mv_1^2$

$k=(v_1^2/2)/(gd)$

 

FINE

$(tan^2x+1)/(tanx)=(cot^2x+1)/(cotx)$

Si mostri la validità della seguente identità

$(tan^2x+1)/(tanx)=(cot^2x+1)/(cotx)$

E’ chiaro che possiamo trasformare il primo membro passando a $cotx$ oppure il secondo membro passando a $tanx$, indifferentemente.

Trasformiamo tutto il primo in $cotx$, ricordando che

$cotx=1/(tanx)$

$(tan^2x+1)/(tanx)=(1/(cot^2x)+1)/(1/(cotx))$

Svolgendo la somma al numeratore

$(1/(cot^2x)+1)/(1/(cotx))=((1+cot^2x)/(cot^2x))/(1/(cotx))=(1+cot^2x)/(cotx)$

Nell’ultimo passaggio si è semplificato $cotx$.

Si è mostrato dunque che il primo membro equivale al secondo.

 

In realtà potevamo fare più in fretta osservando che

$(tan^2x+1)/(tanx)=(tan^2x)/(tanx)+1/(tanx)=tanx+1/(tanx)=1/(cotx)+cotx$

Per poi sommare facendo il massimo comun denominatore, e ottenere il secondo membro.

FINE

Quantità di moto: su una pista di ghiaccio una ragazza di 50kg lancia un peso..

{EtRating 2} 

Su una pista di ghiaccio, una ragazzadi 50 Kg lancia in avanti un peso di 10 Kg alla velocità di 5 m/s.

Sapendo che il coefficiente di attrito tra la ragazza e il ghiaccio sia di $k=0,1$, si calcoli

1)La velocità iniziale della ragazza, che indietreggia

2)Quanto spazio percorre la ragazza prima di fermarsi

 3)Il tempo in cui la ragazza è in movimento

1)

Siamo su un piano non liscio, però possiamo servirci della conservazione della quantità di moto per calcolare la velocità della ragazza subito dopo il lancio, dopodichè la sua velocità andrà scemando per l’effetto dell’attrito.

La quantità di moto prima del lancio è zero, e così deve essere subito dopo (la direzione della ragazza la prendiamo come positiva)

$0=q_(rag)-q_(peso)$

$q_(rag)=q_(peso)$

$(mv)_(rag)=(mv)_(peso)$

$50kg*v_(rag)=10kg*5m/s$

Risolvendo rispetto a $v_(rag)$

$v_(rag)=1m/s$

 

2),3)Useremo la dinamica e la cinematica per risolvere i quesiti 3 e 2, malgrado le considerazioni energetiche siano più agevoli.

Calcoliamo la forza d’attrito

$F_a=mg*k$

$F_a=50kg*10m/s^2*0.1$ (si è arrotondata l’accelerazione di gravità)

$F_a=50N$

Questa forza, applicata alla ragazza, provoca una decelerazione secondo la nota legge

$vecF=mveca$

Quindi

$vecF_a=mveca$

$a=(50N)/(50kg)$

$1m/s^2$

Il tempo lo troviamo con la legge della cinematica

$v=v_o-at$ ponendo la velocità finale $v=0$ e giustificando il "meno" davanti al termine $at$ con il fatto che l’accelerazione ha direzione opposta alla velocità.

$v_0=at$

$t=(v_o)/a$

$t=1sec$

Lo spazio lo troviamo sapendo che

$x=-1/2at^2+v_0t$

$x=1/2m$

FINE

$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Si dimostri l’identità seguente

$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Appare più agevole ricondurre il primo membro al secondo, piuttosto che il contrario, dato che al secondo membro vi è un solo addendo

Dobbiamo riflettere sulle parentesi.

Osserviamo che

$1+tan^2x=1+(sin^2x)/(cos^2x)$

Svolgendo la somma

$(cos^2x+sin^2x)/(cos^2x)$

Però

$sin^2x+cos^2x=1$

quindi l’espressione iniziale diventa

$1/(cos^2x)$

In modo analogo, si mostra che vale anche l’identità

$1+cot^2x=1/(sin^2x)$

La semplice dimostrazione di quest’ultima la lasciamo al lettore.

 

L’espressione iniziale

$sin^2x(1+tan^2x)+cos^2x(1+cot^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

diviene dunque

$sin^2x(1/(cos^2x))+cos^2x(1/(sin^2x))=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

ovvero

$(sin^2x)/(cos^2)+(cos^2x)/(sin^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Toccando sempre e solo il primo membro

$tan^2x+cot^2x=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

$tan^2x+1/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

Sommando

$(tan^4x+1)/(tan^2x)=(tan^4x+1)/(tan^2x)$

L’identità è pertanto dimostrata.

 

FINE

Limite $lim_(x to pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-sinx)$

Si calcoli il seguente limite

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-sinx)$

La forma è indeterminata, infatti sostituendo il valore di $pi/2$ otteniamo

$f(pi/4)=(sin(pi/4)-cos(pi/2))/(1-sin(pi/2))=(sqrt2/2-sqrt2/2)/(1-1)=0/0$

Per condurre la forma da indeterminata a determinata, occorre fare alcune modifiche.

Un'idea è quella di portare tutte le funzioni trigonometriche allo stesso argomento (arco) $x/2$

Sapendo che $sinx=2sin(x/2)cos(x/2)$

scriviamo

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(1-2sin(x/2)cos(x/2))$

Ora possiamo chiamare in soccorso l'identità fondamentale

$1=cos^2alpha+sin^2alpha$ notando che c'è un $1$ al denominatore. Proviamo a sostituire

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(cos^2(x/2)+sin^2(x/2)-2sin(x/2)cos(x/2))$

E' chiaramente visibile un quadrato binomio al denominatore

$lim_(xto pi/2)(sin(x/2)-cos(x/2))/(sin(x/2)-cos(x/2))^2$

Semplificando

$lim_(xto pi/2)1/(sin(x/2)-cos(x/2)$

A questo punto possiamo procedere con la sostituzione, tenendo conto che stiamo lavorando con $x/2$ e quindi sapendo che se

$x-> pi/2$

allora

$x/2->pi/4$

Sostituendo vediamo che il limite cercato corrisponde a $oo$ dal momento che il numeratore c'è un numero, mentre al denominatore c'è un valore che di assotiglia sempre più tendendo a zero.

In particolare, abbiamo un $+oo$ se il valore tende a $pi/2$ da destra, dato che in questo caso il seno è sempre un po' più grande del coseno e la differenza

$sin(x/2)-cos(x/2)$

è un numero piccolissimo, ma positivo.

Viceversa, se $x$ tende tende a $pi/2$ da sinistra, la differenza di sopra darà un valore piccolo è negativo, di fatto il rapporto genererebbe un $-oo$

FINE

$4a^2+4a+1-b^4$

Si scomponga la seguente espressione

$4a^2+4a+1-b^4$

Le operazione he potremmo svolgere sono molteplici: possiamo eseguire raccoglimenti, differenze tra quadrati ($4a^2$, $1$, $b^4$) ma la via più agevole consiste nel riconoscere il quadrato binomio rappresentato dai primi tre addendi.

$(2a)^2+2*2a+1^2-b^4$

$(2a+1)^2-b^4$

A questo punto, non abbiamo finito, perchè è eseguibile un'ulteriore scomposizione,ovvero una differenza tra quadrati.

Avremo

$[(2a+1)-b^2][(2a+1)+b^2]$

Togliendo le parentesi inutili

$(2a+1-b^2)(2a+1+b^2)$

Si è trasformata l'espressione iniziale in un prodotto tra due parentesi, di fatto è inutile scomporre gli addendi della prima parentesi

$1-b^2$

con la differenza tra due quadrati.

FINE

Dall’infinitamente grande all’infinitamente piccolo

PERCORSO INTERDISCIPLINARE SULLE MATERIE D’ESAME

Materie interessate: SCIENZE DELLA TERRA, ITALIANO, MATEMATICA, FILOSOFIA, BIOLOGIA, FISICA, STORIA, INGLESE

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https://www.matematicamente.it/tesine/Valentina_Freddi-Dall_infinitamente_grande_all_infinitamente_piccolo.part01.zip

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La seduzione. una possibile costante della cultura occidentale.

La tesina tende a dimostrare attraverso la disamina di alcune opere letterarie, artistiche e filosofiche, dagli antichi greci fino alla contemporaneità, l’importanza non marginale della seduzione nelle espressioni alte della cultura..

Materie trattate: Greco, Latino, Filosofia, Italiano, Arte

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La ricerca di verità e di senso

E’ un lavoro nato da una ricerca personale. Mi sono soffermata su diversi argomenti del programma svolto in classe, ma ho incluso anche degli approfondimenti personali. Mi sono soffermata sopratutto su fisica (teorie e scoperte sull’origine dell’universo, le 4 interazioni fondamentali, l’entropia) e su biologia (l’origine della vita, la collaborazione tra DNA e RNA ecc.).

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Il Leviatano che inghiotte l’uomo

La tesina ruota attorno ad un romanzo che ho letto per la prima volta due anni fa, e che mi ha subito colpito: "1984", di George Orwell. I nuclei chiave dell’intera vicenda sono la dittatura particolarissima del Grande Fratello e l’umano dissenso di Winston Smith. L’intreccio fra i due, che tanto mi ha catturato durante la lettura, fornisce la matrice del mio approfondimento.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Laura_Conti-1984_IL_LEVIATANO_CHE_INGHIOTTE_L_UOMO.doc
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La crisi dell’individuo nel ‘900

Premessa sulla degenerazione dei valori nel XXI secolo. l’urlo che anticipa il secolo, Munch. cause da cercare nella perdita di valori all’inizio del 900: morte di Dio di Nietzsche, esistenzialismo ateo di Sartre. teatro dell’assurdo di Beckett e disumani.

Materie trattate: arte, filosofia, inglese, italiano e storia

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Il Paradosso – oltre l’opinione comune

Nel corso della storia, i paradossi sono stati utilizzati nei modi più svariati. Aristotele e Russel li hanno temuti come la natura aborrisce il vuoto, cercando di proporne soluzioni più o meno soddisfacenti e utili. Zenone e Hegel hanno abbracciato le.

Materie trattate: Filosofia, Fisica, Astronomia, Matematica, Storia dell’Arte, Letteratura italiana, Letteratura inglese, Letteratura latina, Storia.

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Dalla natura come risorsa alla natura come valore

LA TESINA SI PROPONE COME PERCORSO INTERDISCIPLINARE DEL CONCETTO DI NATURA TRA PASSATO E PRESENTE: MADRE BENEFICA E MATRIGNA; RISORSA PER LA SOPRAVVIVENZA DEGLI UOMINI CHE CI CHIEDE DI ESSERE ASSUNTA COME VALORE DA SALVAGUARDARE.

Materie trattate: ITALIANO, GEOGRAFIA,INGLESE, FRANCESE, ECONOMIA E FILOSOFIA (PEDAGOGIA)

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https://www.matematicamente.it/tesine/Elisa_Razzoli-DALLA_NATURA_COME_RISORSA_ALLA_NATURA_COME_VALORE.part01.doc
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Il Bene, il male e l’infinita ricerca di Dio

Dalla concezione agostiniana del male al pessimismo di pascoli, dalla religiosità visionaria di Blake ai fenomeni magnetici. Addentrandosi nel mondo dei frattali, sfiorando così, la concezione di un Dio Matematico. Senza la pretesa di affrontare gli argomenti in maniera esaustiva, concentrando l’attenzione sull’interfaccia grafica e la multimedialità, il percorso mette in contrapposizione il pensiero cristiano, espresso dall’arcivescovo metropolita di Benevento, e quello ateo dello scrittore Edoardo Bonincelli. È allegata un’ampia descrizione con note informative per la visualizzazione dell’elaborato: "Descrizione e note informative.pdf".

Materie interessate: letteratura latina, letteratura italiana, filosofia, storia, letteratura inglese, matematica, fisica, geografia astronomica e storia dell’arte.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Domenico_Tangredi-Il_bene_il_male_e_l_infinita_ricerca_di_Dio.zip

La perdita delle precedenti certezze: la teoria della relatività

Il mio percorso prende in esame la perdita delle precedenti certezze in tutti gli ambiti compreso quello fisico-scientifico prendendo come elemneto di partenza la teoria della relatività.

Materie trattate: fisica/italiano/filosofia/arte/astronomia/latino/inglese

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https://www.matematicamente.it/tesine/Simone_Giani-La_perdita_delle_precedenti_certezze_la_teoria_della_relativitA_.zip

${(2x + y + 3z = 12),(4y – z = -7),(5x + 8z = 34):}$

Risolvere il seguente sistema lineare di tre equazione in tre incognite

 

$\{(2x + y + 3z = 12),(4y – z = -7),(5x + 8z = 34):}$

 

Ricavando $z$ in funzione di $y$ dalla seconda equazione, e sostituendo tale valore nelle altre equazioni, si ottiene

 

 

$\{(z = 4y + 7),(2x + 13y = -9),(5x +32y = -22):}$

 

Ricavando $x$ dalla seconda equazione si ottiene $x = \frac{-13y -9}{2}$, e sostituendotale valore nella terza equazione

 

$\{(z = 4y+7),(x = \frac{-13y -9}{2}),(\frac{-65y – 45}{2} + 32y = -22):} \quad \{(z = 4y+7),(x = \frac{-13y -9}{2}),(-65y – 45 + 64y = -44):} \quad \{(z = 4y+7),(x = \frac{-13y -9}{2}),(-y = 1):} \quad \{(z = -4+7),(x = \frac{13 -9}{2}),(y = -1):}$

 

Pertanto la soluzione del sistema è

 

$\{(x=2),(y=-1),(z=3):}$ 

 

FINE

 

 

Elementi di analisi numerica

La tesina tratta brevemente l’analisi numerica. In particolare si descrivono alcuni metodi di determinazione delle radici di un’equazione e alcuni metodi per il calcolo numerico dell’integrale definito. Il lavoro si compone di una parte testuale, una presentazione multimediale e tre software a scopo dimostrativo da me realizzati per integrare le argomentazioni.

Materie trattate: Matematica, Informatica, Fisica (accenni), Filosofia (accenni)

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https://www.matematicamente.it/tesine/Matteo_Daddi-Elementi_di_analisi_numerica.zip

Escher: sintesi di arte e principi matematici

Studio del percorso artistico di Escher dall’abbandono della penisola italiana. Influenza dei mosaici dell’Alhambra e degli studi in ambito della matematica e cristallografia coeve. Rappresentazione dell’infinito attraverso ripetizione periodica di celle elementari, motivi decrescenti, ecc… Fino alla rappresentazione di mondi simultanei (coscienza dell’esistenza di infiniti differenti punti di vista).

Materie trattate: arte e matematica in modo preponderante. Presente collegamento con inglese argomentato nel testo della tesina. Per una visione complessiva dei collegamenti effettuati ho inserito una mappa concettuale esemplificativa.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Eliana_Tadini-Escher_sintesi_di_arte_e_principi_matematici.part01.zip
https://www.matematicamente.it/tesine/Eliana_Tadini-Escher_sintesi_di_arte_e_principi_matematici.part02.zip

Comunicare via radio

Al termine del mio percorso scolastico, ho pensato di approfondire il tema della radio quale mezzo di comunicazione perchè ritengo che la sua nascita sia stata un evento epocale del secolo scorso, un traguardo importante che ha inciso in modo profondo sulla storia dell’uomo, facendole subire una radicale trasformazione in ambito sociale. La radio, per prima, ha "fatto sentire" e apprendere l’italiano a chi, fino ad allora, non sapendo né leggere né scrivere, non lo conosceva. Attraverso la radio si è avviata così la grande comunicazione a distanza di eventi, cultura, informazioni e l’uomo è potuto passare dal suo piccolo mondo ad una comunicazione globale, alla portata di tutti.

Materie trattate: Fisica, astronomia, storia, italiano, storia dell’arte, filosofia, latino, francese.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Lucia_Casadei-Comunicare_via_radio.zip

Sezione Aurea: Armonia o icona omnisensoriale dell’universo?

La sezione aurea è un numero che fin dall’antichità fu studiata da molte menti matematiche ed è considerata come massimo canone armonico in molti rami dello scibile.

Materie trattate: Matematica, Filosofia, Storia, Italiano, Latino, Scienze, Storia dell’Arte.

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I diritti umani

Il filo logico della tesina prende forma partendo dalla base di un’esperienza personale riguardante una visita al campo di concentramento di Auschwitz. La tesina attraversa varie discipline sia umanistiche che tecniche partendo dal genocidio degli ebrei per arrivare, infine, a materie specifiche del corso programmatori, quali informatica, matematica ed economia aziendale.

Materie trattate: Storia, Letteratura, Diritto, Inglese, Scienza delle finanze, Economia Aziendale, Informatica, Matematica.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Marina_Alvente-I_diritti_umani.zip

Il “giovedì nero” alla luce delle nuove tecniche matematiche di analisi del trend

Trattasi di un’analisi approfondita della Grande Crisi che colpì in pieno gli USA degli "anni ruggenti" con l’ausilio, fra l’altro, di alcune tecniche dell’analisi degli andamenti tuttora utilizzate dagli economisti. Una di esse, nella fattispecie, è un.

Materie trattate: Storia, Filosofia, Matematica.

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https://www.matematicamente.it/tesine/Andrea_Giannuzzi-Il_giovedA_nero_alla_luce_delle_nuove_tecniche_matematiche_di_analisi_del_trend.zip

Modello previsionale per la Lobesia Botrana

La tesina presenta il modello previsionale a ritardo variabile per il fitofago piu dannoso della coltura della vite; vengono inoltre presentati i dati biologici della Lobesia e le caratteristiche generali dei modelli previsionali basati su elementi matematici.

Materie trattate: Matematica, Biologia applicata, Ecologia applicata, Agroecologia.

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E-government: Federalismo informatico e rinnovamento delle istituzioni

Inizialmente vengono descritti sinteticamente gli obiettivi e le linee strategiche da adottare per il raggiungimento del sistema nazionale di e-government. In seguito si espone il Federalismo informatico e il rinnovamento delle istituzioni: e-gover.

Materie trattate: Informatica, Diritto, Economia Aziendale, Scienze delle Finanze e Inglese

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https://www.matematicamente.it/tesine/Giorgio_Baccino-E-government_federalismo_informatico_e_rinnovamento_delle_istituzioni.zip

Studiare il carattere della seguene serie $sum_{n=1}^{+infty} frac{cos(n frac{pi}{2})}{n}$

Studiare il carattere della seguene serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n \frac{\pi}{2})}{n}$

 

Osservando che

 

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n \frac{\pi}{2})}{n} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{6} + \frac{1}{8} – \frac{1}{10} + \ldots$

 

si nota che la serie iniziale equivale a

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n}$

 

Le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, dato che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n} = 0$

 

$\frac{1}{2n} > \frac{1}{2(n+1)}$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

pertanto la serie converge.

 

FINE

 

 

Studiare il carattere della seguente serie$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 

La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti

 

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \frac{(-1)^n}{n} = 0 + 0 = 0$

 

Si considerino separatamente le seguenti due serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$ (1)

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ (2)

 

Si nota che (1) è una serie a termini di segno variabile. Per studiare la convergenza assoluta di tale serie occorre considerare

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{\sin(n)}{n^2}| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$ (3)

 

Dato che $|\sin(n)| < 1$ $\forall n \in \mathbb{N}$, allora (3) è maggiorata da

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

 

che è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, e quindi convergente. Di conseguenza (3) converge per il criterio del confronto, pertanto (1) converge assolutamente, quindi anche semplcimente. Si consideri ora

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$

 

Questa è una serie a termini di segno alterni che converge per il criterio di Leibniz, visto che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

 

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

Dato che (1) e (2) converge, allora converge anche

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$

 

e risulta

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 

pertanto anche la serie iniziale converge.

 

FINE

 

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{(-1)^n}{sqrt{n}}$ stabilire se converge assolutamente e/o semplic

Stabilire se la seguente serie a termini di segno variabile converge assolutamente e/o semplicemente
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
 

La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che
$\lim_{n \to +\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
Per studiare la convergenza assoluta, si deve considerare la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}| = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{|(-1)^n|}{|\sqrt{n}|} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
che è una serie armonica con esponente minore di uno, e diverge, pertanto la serie proposta non converge assolutamente. Visto la presenza del termine $(-1)^n$, e considerando che $\sqrt{n} > 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, la serie è a termini di segno alterno.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ (1)
$\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ (2)
Da (1) e da (2) si nota che le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, pertanto la serie iniziale converge semplicemente.
FINE

Hawaii: studio di fattibilità di una struttura alberghiera

studio di fattibilità per costituire una nuova impresa alberghiera alle Hawaii, la storia, le risorse economiche, naturali e turistiche (in bilingue)

Materie trattate: tecnica turistica, matematica, storia dell’architettura, geografia, tecnica della comunicazione, inglese, francese, storia

Scarica la tesina: https://www.matematicamente.it/tesine/Alex_Manuel_Posillipo-Hawaii.zip

Il Gioco, tra regole e trasgressione: l’allegoria della vita

Il lavoro è stato svolto con la consapevolezza che il gioco è fondamentale nella vita di un individuo e non solo un mero divertimento. E’ una vera e propria metafora della vita, dove le regole sono fondamentali per assicurarne il corretto svolgimento. La tesina sviluppa e approfondisce l’argomento nei tre campi principali: quello scientifico, artistico e letterario.

Materie trattate:
a. Campo letterario: narrativa, filosofia, letteratura italiana
b. Campo artistico: presentazione delle opere che trattano il tema del gioco e illusioni ottiche
c. Campo scientifico: matematica, biologia, geografia astronomica

Scarica la tesina: https://www.matematicamente.it/tesine/Clarissa_Colasanti-Il_Gioco_tra_regole_e_trasgressione_l_allegoria_della_vita.zip

La criminalità organizzata in Italia

Parla della criminalità organizzata in Italia dalla nascita, la lotta alla criminalità organizzata e vari collegamenti inerenti all’argomento..

Materie trattate: Attualità, italiano, storia e arte.

Scarica la tesina

https://www.matematicamente.it//tesine/tesine-2010/puddu-criminalita-organizzata.pdf

1. Cos’è la mafia? pag. 5
2. Cosa nostra pag. 6
3. La Camorra pag. 7
4. ‘Ndrangheta pag. 7
5. Sacra Corona Unita pag. 8
6. La Stidda pag. 8
7. Le stragi causate dalla mafia pag. 9
8. Alcuni dati offerti dal ministero dell’interno nel 2005 pag. 9
9. Giovanni Falcone pag. 12
10. Paolo Borsellino pag. 12
11. Quindicesimo anniversario della morte dei magistrati Giovanni Falcone e Paolo Borsellino
12. Cos’è l’omertà? pag. 14
13. La Direzione Investigativa Antimafia (DIA) pag. 14
14. Direzione Nazionale Antimafia (DNA) pag. 14
15. L’Arma dei Carabinieri e la Polizia di Stato pag. 15
16. Il romanzo poliziesco pag. 15
17. Andrea Camilleri pag. 16
18. Le pecore e il pastore di Andrea Camilleri pag. 17
19. L’invasione dell’Italia pag. 19
20. Il crollo del regime fascista pag. 19
21. L’armistizio pag. 20
22. La repubblica di Salò pag. 20
23. La resistenza pag. 20
24. La liberazione pag. 20
25. I problemi del secondo dopo guerra pag. 21
26. Il referendum istituzionale pag. 21
27. La costituzione repubblicana pag. 22
28. La ricostruzione pag. 22
29. Il miracolo economico pag. 23
30. L’aumento del livello di vita pag. 23
31. L’Italia dagli Settanta ad oggi pag. 23
32. Renato Guttuso pag. 24
33. La Crocifissione pag. 25

Il colore: espressione del proprio io

Con questa tesina ho voluto rappresentare me stessa!

Materie trattate: Storia dell’arte, Letteratura italiana, Geografia astronomica, Letteratura inglese, Letteratura francese, Filosofia, Storia

STORIA DELL’ARTE L’Impressionismo: Eduard Manet, “Il Bar delle Folies-Bergeres” Il Cubismo : Pablo Picasso, “Guernica”

LETTERATURA ITALIANA Il movimento Crepuscolare: Guido Gozzano, “La Signorina Felicita ovvero la Felicità” La letteratura fra le due guerre: Eugenio Montale, ” I Limoni”

GEOGRAFIA ASTRONOMICA L’Arcobaleno L’eclissi

ENGLISH LITERATURE Francis Scott Fitzgerald: The Great Gatsby Thomas Stearns Eliot: The Waste Land Joseph Conrad: Heart of Darkness Edward Morgan Forster : A Passage to India

LITTERATURE FRANÇAISE Charles Baudelaire: Les Fleurs du Mal; Les Paradis Artificiels FILOSOFIA Freud e il sogno come vortice di colori

STORIA L’Italia in Nero fascista, Il Rosso comunista

STORIA DELL’ARTE L’Impressionismo : Eduard Manet, “Il Bar delle Folies-Bergeres” Il Cubismo: Pablo Picasso, “Guernica”

 

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