Prendiamo in considerazione delle distribuzioni di carica con forma particolare, e consideriamo una distribuzione sferica omogenea.

Ipotizziamo, per semplicità, che la distribuzione sferica, di raggio R, si trovi nel vuoto. Esaminiamo tre casi: consideriamo un punto P, e vediamo come cambia il campo elettrico in quel punto se esso si trova all’interno della sfera, sulla superficie sferica, o all’esterno di essa.

 

P esterno alla sfera

Consideriamo una sfera conduttrice in cui le cariche sono distribuite in modo uniforme sulla superficie. All’interno della sfera il campo elettrico è nullo, quindi calcoliamo il campo elettrico in un punto che si trova esternamente ad essa.

Scegliamo, quindi, il punto P esterno alla sfera, ad una distanza r dal centro O di essa. In ogni punto esterno alla sfera, e quindi anche in P, il vettore campo elettrico ha direzione radiale (il suo verso è dato dal segno della carica sulla superficie sferica); per determinare, quindi, il campo elettrico nel punto P è conveniente scegliere una superficie gaussiana sferica di centro O e raggio r, passante quindi per P.

 

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Campo elettrico in un punto P esterno alla distribuzione sferica.

 

In ogni punto della superficie gaussiana creata, il vettore superficie ha direzione perpendicolare all superficie, e verso uscente da essa; di conseguenza, il vettore superficie e il vettore campo elettrico nel punto P sono paralleli, cioè l’angolo formato da essi è di 0°.

Per il teorema di Gauss, quindi, il flusso del campo elettrico nella superficie gaussiana chiusa di raggio r è dato da:

$ Φ_(vec S) (vec E) = frac(Q_(Tot))(ε_0)$

Dalla definizione, inoltre, il flusso del campo elettrico in P è pari al prodotto ES:

$ Φ_(vec S) (vec E) = vec E * vec S = E * S * cos 0° = E * S $

Uguagliando le due espressioni possiamo ricavare il valore del campo elettrico nel punto P; ricordiamo che la superficie sferica è pari a  $4πr^2$;

$ E * S = frac(Q_(Tot))(ε_0)      to      E = frac(Q_(Tot))(ε_0 * 4πr^2)$

 

P interno alla sfera

Consideriamo una carica Q distribuita in modo uniforme all’interno di una sfera di raggio R; il vettore campo elettrico sul punto P, interno alla sfera, posto a distanza r dal centro O, ha direzione radiale, e verso uscente se la carica è positiva, altrimenti verso entrante.

Scegliamo una superficie gaussiana sferica centrata in O e di raggio r, pari alla distanza di P da O (r>R).

 

campo-elettrico
Campo elettrico in un punto P interno alla distribuzione sferica.

 

Il campo elettrico all’interno della sfera è direttamente proporzionale alla distanza del punto P dal centro della sfera; il modulo del vettore campo elettrico sul punto P è dato dalla seguente formula:

$E = frac(Q_(Tot) * r)(ε_0 * 4πR^3)$

 

P sulla superficie della sfera

In questo caso non occorre servirsi di un’ulteriore superficie gaussiana, perché possiamo calcolare il campo elettrico semplicemente considerando la superficie sferica che origina la carica.

 

campo-elettrico
Campo elettrico in un punto P sulla superficie della distribuzione sferica.

 

In questo caso, quindi, con ragionamenti analoghi ai precedenti, possiamo ricavare il modulo del vettore campo elettrico dalla seguente uguaglianza:

$ E * S = frac(Q_(Tot))(ε_0)$

La superficie S che dobbiamo considerare, però, è quella della sfera di raggio R, e vale pertanto  $S=4πR^2$.

Il modulo del vettore campo elettrico vale quindi:

$E = frac(Q_(Tot))(ε_0 * 4πR^2)$

Osserviamo che il modulo del vettore campo elettrico è uguale a quello di una carica puntiforme; ciò significa che la carica distribuita in modo omogeneo sulla superficie sferica da lo stesso effetto di una carica puntiforme concentrata tutta nel centro della sfera.

 

Sfera solida uniformemente carica

Consideriamo ora una sfera solida di raggio R, con densità di carica uniforme ρ; calcoliamo il campo elettrico all’interno e all’esterno della sfera.

All’esterno della sfera si procede scegliendo una superficie gaussiana costituita da una sfera cava di raggio r; procedendo come sopra, si trova il valore del campo elettrico in un punto esterno alla sfera. In questo caso, però, conosciamo anche la densità volumica di carica, e possiamo esprimere la carica Q in funzione della densità.

La formula che si ottiene è la seguente:

$E = frac(ρ * R^3)(3 ε_0 r^2)$

Anche nel caso di un punto interno alla sfera si sceglie una superficie gaussiana costituita da una sfera cava di raggio r, e si calcola il campo elettrico relativo a tale superficie.

Si ricava, poi, il valore del campo elettrico in funzione della densità di carica:

$E = frac(ρ * r)(3 ε_0 )$

 

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