Campi elettrici con particolari simmetrie

Vediamo alcuni esempi di particolari campi elettrici che presentano delle simmetrie.

La distribuzione piana infinita di carica

Ipotizziamo di poter creare un piano infinito, che presenti una carica uniforme in ogni suo punto; se il piano è immerso in un mezzo con costante dielettrica ε, possiamo dimostrare che il modulo del campo elettrico è dato dalla seguente formula:

$ E = frac(σ)(2ε)$

dove σ è la densità superficiale di carica, data dal rapporto tra la carica ∆Q e l’area ∆S sella superficie.

La direzione del vettore è perpendicolare al piano, mentre il verso dipende dal segno della carica: sarà entrante nel piano in caso di carica negativa, e uscente nel caso di carica positiva.

In tutti i punti esterni al piano ci carica, quindi, il vettore campo elettrico è perpendicolare al piano, ed è lo stesso in tutti i punti che hanno stessa distanza dal piano.

Notiamo, inoltre, che il verso del vettore cambia in base alla parte in cui ci troviamo rispetto al piano; possiamo dire, quindi, che se due punti si trovano alla stessa distanza dal piano, ma in parti opposte rispetto ad esso, i vettori campo elettrico in quei punti hanno stesso modulo e stessa direzione, ma versi opposti.

Anche le linee di campo hanno direzione ortogonale al piano, parallele tra loro ed equidistanziate; in questo caso, quindi, la densità delle linee di campo è costante, a conferma del fatto che il modulo del campo elettrico non varia.

Dimostrazione

La dimostrazione della formula che descrive il modulo del campo elettrico può essere effettuata considerando un piano infinito di carica attraversato da una superficie chiusa cilindrica.

La superficie cilindrica è una superficie chiusa, quindi il flusso del campo vettoriale attraverso essa è dato dal teorema di Gauss, e vale:

$Φ_Ω (vec E) = frac(Q_(Tot))(ε)$

Possiamo calcolare il flusso totale anche considerando i singoli flussi sulla superficie laterale del cilindro e sulle due basi. Nel primo caso abbiamo un flusso nullo, in quanto il vettore superficie e il vettore campo elettrico sono perpendicolari; nel secondo caso, invece, il flusso è dato dal prodotto E ∙ ∆S, dove ∆S indica l’area di base del cilindro.

Il flusso totale, quindi, è dato da:

$Φ_Ω (vec E) = E * ∆S + E * ∆S = 2E * ∆S $

Uguagliando le due espressioni del flusso del campo vettoriale, possiamo ricavare E:

$2E * ∆S = frac(Q_(Tot))(ε) to E = frac(Q_(Tot))(2∆Sε) = frac(Q_(Tot))(∆S) * frac(1)(2ε) = frac(σ)(2ε)$

Distribuzione lineare infinita di carica

Una distribuzione lineare infinita di carica è data da un filo infinito su cui si trovano delle cariche elettriche (supponiamo positive) distribuite uniformemente sulla lunghezza.

Consideriamo il vettore campo elettrico in un punto che si trova esternamente alla distribuzione, a distanza r da essa; in questo punto, il vettore ha direzione perpendicolare al filo, e verso dato dal segno della carica (in questo caso verso uscente).

Il modulo del vettore campo elettrico in quel punto è dato dalla formula:

$ E = frac(λ)(2πε_0r)$

dove $ε_0$ è la costante dielettrica del vuoto, mentre λ rappresenta la densità lineare di carica, data dal rapporto tra la carica ∆Q presente in una sezione di filo, e la lunghezza ∆l di tale sezione.

Esercizio

Consideriamo una porzione di un piano infinito uniformemente carico, avente una superficie di $4,0 m^2$; in tale porzione è contenuta una carica di 6,7 μC. Calcolare l’intensità del campo elettrico generato dal piano di carica.

Come sappiamo, il modulo del campo elettrico per una distribuzione piana infinita di carica è dato dal rapporto tra la densità superficiale σ e la quantità 2ε.

Possiamo per prima cosa ricavare il valore di σ dal rapporto tra la carica e la superficie interessata da essa:

$σ = frac(∆Q)(∆S) = frac(4,0 m^2)(6,7 μC) = frac(4,0 m^2)(6,7 * 10^(-6) C) = 0,6 * 10^(-6) m^2/C$

Poi possiamo procedere applicando la formula vista in precedenza, e calcoliamo il rapporto tra la densità superficiale di carica e 2ε, ricordando che il valore di ε è noto:

$ E = frac(σ)(2ε) = frac(1,675 * 10^(-6) m^2/c)(2 * 8,85 * 10^(-12) C^2/(N*m^2)) = 0,0946 * 10^6 N/C = 9,5 * 10^4 N/C$