L'energia potenziale elettrica

Abbiamo visto che la forza di attrazione gravitazionale è una forza conservativa, e in quanto tale gode di alcune proprietà: il lavoro compiuto dalla forza è indipendente dal cammino scelto, ma dipende solo dalle posizioni iniziale e finale; vale la conservazione dell’energia meccanica in seguito all’applicazione della forza; tramite essa può essere descritta la grandezza energia potenziale.

Ricordiamo che l’energia potenziale gravitazionale, pari a U=mgh, dipende dalla scelta arbitraria del livello zero di energia potenziale; tuttavia, la differenza di potenziale è indipendente da tale scelta.

La differenza di energia potenziale è strettamente collegata al lavoro compiuto dalla forza; in particolare, se un corpo passa dalla posizione A alla posizione B, il lavoro compiuto da una forza conservativa in tale passaggio è dato da:

$ W_(A to B) = -∆U$

La forza di Coulomb, abbiamo visto, è per molti aspetti simile alla forza di Newton, se pur con qualche differenza. Tuttavia, la stessa forma matematica delle due forze fa si che esse abbiamo anche le stesse proprietà; in particolare possiamo affermare che entrambe le forze sono conservative.

Possiamo, quindi, definire anche per la forza elettrica un’energia potenziale elettrica.

In questo caso, definiamo l’energia potenziale elettrica come l’opposto del lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per portare una carica Q da una posizione iniziale A ad una posizione finale B.

Ricordiamo che nel caso della forza gravitazionale, l’energia potenziale è data dalla seguente formula:

$ U = – G * frac(m_1 * m_2)(r) + k$

dove k è una costante, e dipende dalla scelta che si effettua per il livello zero di energia potenziale.

In analogia con la forza di Newton ,quindi, possiamo ricavare, dall’espressione delle relative forze, una formula anche per l’energia potenziale elettrica; definiamo, quindi U in questo modo:

$ U = frac(1)(4πε_0) * frac(Q_1 * Q_2)(r) + k$

Per convenzione, poi, si sceglie di porre il livello zero di energia potenziale quello in cui le cariche si trovano a distanza infinita; di conseguenza si ottiene un valore di k pari a zero.

Notiamo che, a differenza dell’energia potenziale gravitazionale, l’energia potenziale elettrica è stata definita con segno positivo. Infatti, per convenzione, si scrivono le forze di tipo attrattivo con segno meno, mentre quelle di tipo repulsivo con segno più. Per questo, la formula della forza di Coulomb è stata scritta con segno positivo.

Energia potenziale elettrica nel caso di un sistema formato da più cariche

Nel caso in cui sono presenti nello spazio più cariche puntiformi, l’energia potenziale totale del sistema si ottiene considerando le energie potenziali di tutte le coppie di cariche considerate singolarmente, prese in tutti i modi possibili, e sommandole tra loro.

Consideriamo un sistema formato da tre cariche $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$; chiamiamo $U_(1,2)$ , $U_(1,3)$ e $U_(1,4)$ rispettivamente le energie potenziali che riguardano le coppie di cariche $[Q_1 , Q_2]$, $[Q_1 , Q_3]$ e $[Q_2 , Q_3]$.

Per determinare l’energia potenziale complessiva si procede immaginando di allontanare all’infinito le cariche una alla volta.

Cominciamo, ad esempio, dalla carica $Q_1$; se essa viene allontanata dalle altre fino a raggiungere distanza infinita, il lavoro compiuto dalla forza elettrica dovuta alle cariche $Q_2$ e $Q_3$ in tale spostamento è dato dalla somma dei lavori che sarebbero compiuti dalle cariche $Q_2$ e $Q_3$ se esse si trovassero sole con $Q_1$; il lavoro complessivo vale quindi:

$ W_1 = U_(1,2) + U_(1,3)$

Supponiamo, ora, di allontanare anche una delle altre cariche rimaste, ad esempio $Q_2$; il lavoro che la forza elettrica dovuta alla presenza di $Q_3$ compie quando $Q_2$ è portata a distanza infinita da essa è dato da:

$ W_2 = U_(2,3)$

L’unica carica che rimane ora è $Q_3$, che però già si trova a distanza infinita dalle altre; di conseguenza, il lavoro totale che è stato svolto durante questi passaggi è dato dalla somma di $W_1$ e $W_2$:

$W_(Tot) = W_1 + W_2 = U_(1,2) + U_(1,3) + U_(2,3) $

Il lavoro totale, quindi, corrisponde proprio alla somma delle energie potenziali di tutte le coppie di cariche presenti nel sistema.