Autore: Admin

$ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)$

Si risolva

$ln(x+1)+ln(x-2)=2ln(x-1)-ln(x^2-1)$

Innanzitutto imponiamo che gli argomenti siano positivi, per l’esistenza del logaritmo

$x+1>0$

$x-2>0$

$x-1>0$

$x^2-1>0$

il risultato che soddisfa tutte le precedenti disequazioni è $x>2$

Ricordiamo alcune fondamentali proprietà dei logaritmi

$log_c(a)+log_c(b)=log_c(ab)$

$log_c(a)-log_c(b)=log_c(a/b)$

$nloga=log(a^n)$

Applicando la prima regola al primo membro, e la terza al primo termine del secondo membro, abbiamo

$ln((x+1)(x-2))=ln(x-1)^2-ln(x^2-1)$

applicando la seconda regola al secondo membro

$ln((x+1)(x-2))=ln((x-1)^2/(x^2-1))$

a questo punto, affinchè i logaritmi dei due membri siano uguali, anche i loro argomenti devono essere tali.

Pertanto

$(x+1)(x-2)=(x-1)^2/(x^2-1)$

che dopo qualche conto restituisce

$x^3-4x-1=0$

Questa equazione non è risolubile usando il classico Ruffini, poichè non è nullo nè $p(1)$ nè $p(-1)$

Ad ogni modo presenta tre soluzioni che riportiamo approssimate

$x_1=2,11…$

$x_2=-0,25…$

$x_3=-1,86…$ 

Solo $x_1$ è accettabile perchè risulta $x_1>2$

 

FINE

Studio di fasci di rette

Si studino i seguenti fasci di rette

$(k+1)x+(2k-1)y+k+2=0$

$(k-3)x-(2k-6)y+k=0$

Per prima cosa c'è da stabilire se si tratta di un fascio proprio o improprio.

Si ricorda che un fascio si dice proprio se le rette che lo compongono condividono il passaggio per un punto, chiamato centro del fascio.

Se il fascio è improprio, le rette sono parallele tra loro, condiviono quindi il coefficiente angolare, che è uguale per tutte.

Quindi, per stabilire la natura del fascio, occorre osservare se il coefficiente angolare (dato dal rapporto $-a/b$) dipende o meno dal parametro k: se dipende, allora non è fisso, ogni retta ha il proprio, quindi non sono parallele (fascio proprio). Se al contrario il valore del coefficiente è numerico, indipendente da k (quindi fisso), ne deduciamo appartiene a TUTTE le rette, che quindi sono parallele.

Il primo fascio risulta essere proprio perchè

$-a/b=(-(k+1))/(2k-1)=(-k-1)/(2k-1)$ dipende da k

il secondo

$-a/b=(-(k-3))/(2k-6)=(-(k-3))/(2(k-3))=-1/2$ NON dipende da k

Continuiamo a studiare il fascio proprio, svolgiamo le parentesi

$kx+x+2ky-y+k+2=0$

raccogliamo k

$k(x+2y+1)+x-y+2=0$

Se $k=0$ otteniamo la retta $x-y+2=0$

Al contrario, la retta tra parentesi $x+2y+1=0$ non potrà mai essere ottenuta: infatti dovrebbero annullarsi tutti i termini fuori dalla parentesi, ma il parametro k non può in alcun modo annullarli, come invece ha fatto con la parentesi (caso $k=0$).

Questa retta è chiamate "retta critica", è le rette che le sono molto vicine hanno un parametro k enorme.

In generale, si dice che quella retta ha k infinito $k=oo$ perchè per valori enormi, i termini fuori dalle parentesi sono in confronto piccoli, quasi insignificanti, ma non arrivano a essere nulli del tutto.

In conclusione, le rette

$x-y+2=0$

$x+2y+1$

sono dette "rette generatrici del fascio".

FINE

Variabili aleatorie – calcolo di leggi

Si consideri una variabile aleatoria $X$ uniformemente distribuita nell'intervallo $[5, 10]$. Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria $Y = \frac{1}{X}$.

 

La densità di probabilità di $X$ vale

 

$f_{X}(\xi) = \{(\frac{1}{5}, "se " 5 \le \xi \le 10),(0, "altrimenti"):}$ 

 

La densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(\eta) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{X}(\xi_i)}{|g'(\xi_i)|}$

 

dove $Y = g(X) = \frac{1}{X}$, $g(\xi_1) = g(\xi_2) = \ldots = g(\xi_m) = \eta$ e $g'(x) = \frac{d}{dx} g(x)$.

In questo caso risulta $\eta = \frac{1}{\xi}$, da cui $\xi = \frac{1}{\eta}$, per cui

 

$5 \le \xi \le 10 \implies \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}$

 

ed inoltre $g'(x) = – \frac{1}{x^2}$.

Se $\eta < \frac{1}{10} \quad \vee \quad \eta > \frac{1}{5}$ allora $f_{Y} (\eta) = 0$, dato che in tale intervallo la densità di probabilità di $X$ è nulla.

Se invece $\frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}$ risulta

 

$f_{Y}(\eta) = \frac{f_X(\frac{1}{\eta})}{|g'(\frac{1}{\eta})|} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{\frac{1}{\eta^2}}} = \frac{1}{5 \eta^2}$

 

Di conseguenza la densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{1}{5 \eta^2}, "se " \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}),(0, "altrimenti"):}$

 

Si vede che tale funzione è sempre non negativa per ogni $\eta \in \mathbb{R}$. inoltre

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} \frac{1}{5 \eta^2} d \eta = -\frac{1}{5} [\frac{1}{\eta}]_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{5} (5 – 10) = -\frac{1}{5} (-5) = 1$

FINE

Calcolo delle probabilità – evento complementare

Un dado viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 almeno una volta? Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90%?
Sia $A$ l'evento "nei tre lanci è uscito 6 almeno una volta". L'evento complementare, indicato con $\bar{A}$, rappresenta l'evento  "nei 3 lanci il 6 non è mai uscito". Risulta banalmente
 
$P(\bar{A}) = (\frac{5}{6})^3$
 
dato che i tre lanci sono eventi fra loro indipendenti. Ricordando che
 
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
 
la probabilità richiesta alla prima domanda vale
 
$P(A) = 1 – (\frac{5}{6})^3$
 
Ragionando analogamente, si deduce che la probabilità di ottenere 6 almeno una volta in $n$ lanci vale
 
$1 – (\frac{5}{6})^n$
 
Per risolvere la seconda domanda è necessario trovare il più piccolo intero positivo $n$ tale che
 
$1 – (\frac{5}{6})^n \ge \frac{9}{10}$
 
$(\frac{5}{6})^n \le \frac{1}{10}$ (1)
 
Applicando il logaritmo in base $\frac{5}{6}$ ad entrambi i membri, e ricordando che il logaritmo con base minore di $1$ è funzione monotona decrescente, la (1) diventa
 
$n \ge \log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10})$
 
Secondo le formule di cambiamento della base dei logaritmi
 
$\log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10}) = \frac{\ln(\frac{1}{10})}{\ln(\frac{5}{6})} \approx \frac{-2.3}{-0.18} \approx 12.8$
 
Pertanto il numero minimo $n$ di lanci affinché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90% è
 
$n = 13$
 
FINE

$cosx-sinx+1-sin2x=0$

Si risolva l’equazione

$cosx-sinx+1-sin2x=0$

Intanto è necessario portare il termine con argomento 2x a argomento x

sapendo che $sin2x=2sinxcosx$

L’equazione è perciò

$cosx-sinx+1-2sinxcosx=0$

A questo punto possiamo percorrere varie strade, ma una più di tutte è agevole in questo caso.

Trasformiamo il numero 1 con l’identità fondamentale

$cosx-sinx+cos^2x+sin^2x-2sinxcosx=0$

notiamo che gli ultimi tre termini rappresentano un quadrato binomio, perciò riscriviamo

$cosx-sinx+(cosx-sinx)^2=0$

raccolgo la parentesi

$(cosx-sinx)(1+cosx-sinx)=0$

Per la legge di annullamento del prodotto avremo

1)

$cosx-sinx=0$

soddisfatta per

$x=pi/4+kpi$

2)

$cosx-sinx+1=0$

soddisfatta per

$x=pi/2+2kpi$ e $pi+kpi$

$x=pi/2+2kpi$ e $pi+kpi$ e$x=pi/4+kpi$ sono dunque i risultati

FINE

Esercizio sulle densità di probabilità

Si consideri la funzione

$f_{X}(x) = \{(\gamma^2 – \frac{16}{9}x^2, "se " -\frac{3}{4} \gamma \le x < \frac{3}{4} \gamma),(0, "altrimenti"):}$

in cui $\gamma$ è un numero reale positivo.

a) Determinare il valore $\gamma$ per cui $f_{X}(x)$ rappresenta effettivamente una funzione di densità di probabilità.

b) Sia $X$ una variabile aleatoria con densità di probabilità $f_{X}(x)$. Calcolare il valor medio $m_{X}$ e la varianza
$\sigma_{X}^{2}$ di $X$.

$f_{X}(x)$ rappresenta una funzione di densità di probabilità se e solo se

 

$f_{X}(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$ (1)

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = 1$ (2)

Per $-\frac{3}{4} \gamma \le x < \frac{3}{4} \gamma$ risulta $\gamma^2 – \frac{16}{9}x^2 \ge 0$, quindi la (1) è sempre verificata per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$, pertanto non resta che studiare la condizione (2).

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = \int_{-\frac{3}{4}\gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} (\gamma^2 – \frac{16}{9}x^2) dx = \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \gamma^2 dx – \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \frac{16}{9} x^2 dx =$

$= \gamma^2 (\frac{3}{4} \gamma + \frac{3}{4} \gamma) – \frac{16}{9}\cdot \frac{1}{3} [x^3]_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} =\frac{3}{2} \gamma^3 – \frac{16}{27} (\frac{27}{64} \gamma^3 +\frac{27}{64} \gamma^3 ) =$

$= \frac{3}{2} \gamma^3 – \frac{16}{27} \cdot \frac{27}{32} \gamma^3= \frac{3}{2} \gamma^3 – \frac{1}{2} \gamma^3 = \gamma^3$

 Imponendo la condizione (2) si trova:

 $\gamma^3 = 1 \implies \gamma = 1$

Quindi

 $f_{X}(x) = \{(1 – \frac{16}{9}x^2, "se " -\frac{3}{4}  \le x < \frac{3}{4}),(0, "altrimenti"):}$

Se $X$ è una variabile aleatoria con questa densità di probabilità, la sua media vale

$m_{X} = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x – \frac{16}{9} x^3) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x dx -\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^3 dx =$

$= \frac{1}{2} (\frac{9}{16} – \frac{9}{16}) – \frac{16}{9} \cdot\frac{1}{4} (\frac{81}{256} – \frac{81}{256}) = 0$

Dunque $X$ è una variabile aleatoria a media nulla. Indicando con $E[\cdot]$ l'operatore valore atteso, la varianza di $X$ vale

$\sigma_{X}^{2} = E[(X – m_{X})^{2}] = E[X^2 – 2X m_{X} + m_{X}^2]$

Ricordando che $m_{X} = 0$ risulta

$\sigma_{X}^{2} = E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_{X}(x) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x^2 – \frac{16}{9} x^4 ) dx =$

$= \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x^2 dx – \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^4 dx = \frac{1}{3} (\frac{27}{64} + \frac{27}{64}) – \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \frac{243}{1024} + \frac{243}{1024} = $

$= \frac{9}{32} – \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{243}{512} = \frac{9}{32} – \frac{27}{160} = \frac{45}{160} – \frac{27}{160} = \frac{18}{160} = \frac{9}{80}$

Quindi $\sigma_{X}^{2} = \frac{9}{80}$.

Problema sulla parabola

Data la parabola di equazione $y=x^2-4$ trovare l’equazione della retta orizzontale che interseca la conica formando una corda di lunghezza $sqrt5$

Il ragionamento è questo:

anzitutto ricordiamo che una retta orizzontale generica è del tipo

$y=k$

Possiamo prenderne appunto una generica avente equazione parametrica (parametro k) e intersecarla con la parabola di equazione data.

${(y=k),(y=x^2-4):}$

procedendo per confronto otteniamo

$x^2-4=k$

ovvero

$x=+sqrt(k+4)$

$x=-sqrt(k+4)$

Queste due soluzioni sono le ascisse delle due intersezioni, che come si vede dipendo dal parametro k, in quando la retta scelta è appunto parametrica.

Per fissare il parametro, prendiamo i due punti e imponiamo che la loro distanza sia uguale a quella richiesta, $sqrt5$.

Essendo due punti che giacciono su una retta orizzontale, la loro distanza risulta essere la differenza delle ascisse (un disegno può aiutare a capire il perchè)

Perciò, la differenza tra l’ascissa maggiore e quella minore deve essere $sqrt5$

$sqrt(k+4)-(-sqrt(k+4))=sqrt5$

$2sqrt(k+4)=sqrt5$

Quadrando

$4(k+4)=5$

$4k+16=5$

$k=-11/4$

La retta richiesta ha equazione $y=-11/4$

FINE

$3^(x+2)-3^(1-x)-26=0$

Risolvere la seguente equazione

$3^(x+2)-3^(1-x)-26=0$

Applicando le note regole delle potenze, possiamo scrivere l'equazione in questo modo

$9*3^x-3*3^(-x)-26=0$

$9*3^x-3/3^x-26=0$

Poniamo $3^x=t$ ricordando $t>0$ e moltiplichiamo ambo i membri per t

$9t^2-3-26t=0$

$9t^2-26t-3=0$

Possiamo risolvere con la nota formula o con il metodo del trinomio particolare.

$9t^2-27t+t-3$

Raccolgo a fattor parziale

$9t(t-3)+1(t-3)$

$(t-3)(9t+1)=0$

Applicando la legge di annullamento del prodotto

$t-3=0$ $t=3$

$9t+1=0$ $t=-1/9$

La seconda soluzione è da escludere perchè $t>0$ la seconda è accettabile

Ricordiamo che $3^x=t$

quindi $3^x=3$ che ci restituisce

$x=1$

FINE

Cruciverba – Gennaio 2007

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Forze ed equilibrio

Le forze e l’equilibrio
   
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$lim_{n to +infty}n( n^(-1/n)-1)$

Calcolare     $\lim_{n \to +\infty}n( n^(-1/n)-1)$ 

Grazie alla nota identità  $x=e^(log x)$ (per $x>0$)

si ha

$n^(-1/n)=e^(log (n^(-1/n)))=e^((-log n)/n)$.

Sapendo che

$(log n)/n \to 0$ se $n \to +\infty$         (1)

riscrivo il termine generale come

$n( n^(-1/n)-1)=n(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)(-log n)/n=-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)$

Ricordando il limite notevole

$\lim_{x \to 0}(e^x-1)/x=1$

trovo, grazie a (1)

$\lim_{n \to +\infty}(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)=1$

da cui

$\lim_{n \to +\infty}n( n^(-1/n)-1)=\lim_{n \to +\infty}(-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n))=-\infty$.

FINE

$lim_{n to +infty}{sqrt{n+1}-sqrt{n}}/{n}$

Calcolare                $\lim_{n \to +\infty}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{n}$

 

Razionalizzando il numeratore:

 ${\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{n}=1/(n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}))$.

Dunque

$\lim_{n \to +\infty}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}/{n}= \lim_{n \to +\infty}1/(n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}))=0$.

FINE

Cruciverba – Dicembre 2006

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Sudoku 001 – Livello molto facile

Sudoku molto facile per solutori principianti

0 : 0

Usa i tasti freccia o il mouse per spostarti nello schema. I tasti da 1 a 9 per riempire una casella, il tasto 0, Canc oppure Spazio per cancellare.

Sudoku 001 – Livello difficile

Sudoku difficile per solutori abili

0 : 0

Usa i tasti freccia o il mouse per spostarti nello schema. I tasti da 1 a 9 per riempire una casella, il tasto 0, Canc oppure Spazio per cancellare.

Calore e temperatura

Calore e temperatura
   
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Oggi il nonno ha 15 volte l’età del nipote

Oggi il nonno ha 15 volte l'età del nipote (1), mentre fra 10 anni l'età del nipote sarà 3/17 dell'età del nonno (2). Quanti anni hanno il nipote e il nonno?

Soluzione

$x$ età del nonno oggi

$y$ età del nipote oggi

prima frase (1: $x=15y$

età del nonno fra 10 anni è $x+10$

età del nipote fra 10 anni è $y+10$

seconda frase (2): $y+10=3/17*(x+10)$

Mettendo insieme (1) e (2) si ha il sistema

(3)         ${(x=15y),(y+10=3/17(x+10)):}$

sostituendo il valore di $x$ si ha l'equazione $y+10=3/17*(15y+10)$

da cui $y+10=45/17*y+30/17$           m.c.m. $17y+170=45y+30$

$170-30=45y-17y$

$140=28y$

$y=140/28=5$

Dalla (1) $x = 15y = 15*5 = 75$.

Il nonno ha 75 anni, il nipote ne ha 5.

Cruciverba di informatica

Informatica 15×15 di Antonio Bernardo

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Crucinumero: Le nove di sera

Crucinumero 1 di Antonio Bernardo

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16. News: Il Pi Day

Andrea VitielloIl π day

Scommetto che la maggior parte dei lettori di questa rivista ha recentemente perso una grande occasione… Dite la verità: quanti di voi il 14 marzo hanno festeggiato il Pi Day?

Per chi non lo sapesse, il Pi Day è una festa, non ufficialmente riconosciuta, in onore del celebre numero $pi$, una delle più note, forse la più celebre, tra le costanti matematiche. Effettivamente questo numero è presente un po’ dappertutto in quasi ogni ramo della matematica e della fisica ed è lecito dunque chiedersi da dove sia saltato fuori.

 

17. Metallica – Oggi cosa mi metto?

Metallica

1. Oggi cosa mi metto?

di Anna Cerasoli

Metallica è il soprannome della mia amica Lucia, che a chiamarla col nome della santa va su tutte le furie: “perché è una ingiustizia che uno il proprio nome non se lo possa scegliere da sé!”. È una ribelle in tutto Metallica, e lo si capisce già da come ti lancia il primo sguardo. Se poi non bastasse, sufficiente una ricognizione a tutte le chincaglierie che si mette addosso per avere un’idea del suo caratterino. A dire il vero, da un po’ di tempo, noto qualche alleggerimento nell’armamentario decorativo: dice che, a pensarci su, anche quelle stanno diventando regole. E lei con le regole proprio non va d’accordo; “le uniche buone” aggiunge “sono quelle matematiche”. Sì, perché a Metallica la matematica piace, anzi, è l’unica materia a piacerle! Per il resto, specie in latino e a storia, è una frana; la sua salvezza che alla fine dell’anno si mette sotto a studiare come una matta e recupera.

 

18. Per una nuova didattica della matematica

Perché gli esaminatori pongono le domande ai candidati in maniera così complessa?
Sembra che abbiano paura di farsi comprendere dagli interrogati.
Da dove trae origine questa deplorevole abitudine di complicare i problemi con difficoltà inventate?

 

Evariste Galois, 21 gennaio 1831

Premessa

Sempre più frequentemente gli studenti manifestano un grave disagio nei confronti della matematica; alcune indagini recenti hanno evidenziato che è considerata una scienza astratta, lontana dalle loro esperienze e dai loro interessi, di scarsa o nessuna utilità per la vita di tutti i giorni. “Una montagna fredda e temibile”, troppo difficile da scalare, un’impresa a cui spesso si rinuncia in partenza.

 

19. Le superfici non orientabili

Luca LussardiQuando si pensa a un oggetto matematico, solitamente non si pensa a qualcosa di concreto, ovvero a qualcosa che si possa toccare con mano. Questo, purtroppo, è vero per la maggior parte degli enti di cui si occupa la matematica.

Esistono, però, alcune figure geometriche molto particolari, e interessanti per le loro proprietà, che possono essere facilmente (o quasi) costruite e visualizzate. In questo modo, è possibile verificare in modo diretto e stimolante le anomale proprietà che tali figure possiedono.

 

21. Alla scoperta dello zodiaco

… Se Castore e Polluce
fossero in compagnia di quello specchio
che su e giù del suo lume conduce,
tu vedresti il Zodiaco rubecchio
ancora all’Orse più stretto rotare,
se non uscisse fuor del cammin vecchio.

 

Purgatorio IV, 61-66
Dante Alighieri (1265-1321)

 

La fascia zodiacale è quella striscia immaginaria di cielo centrata sul percorso apparente annuale del Sole nel cielo (eclittica) che abbraccia le costellazioni dello zodiaco, dal greco zoidiakós kýklos propriamente “circolo di figure di animali”.

 

22. Verso l’esame di stato

Ricerca degli zeri di una funzione

Introduzione

In analisi numerica spesso ci si imbatte nel problema di dover determinare un valore approssimato dello zero che una funzione continua ammette internamente ad un certo intervallo [a;b]. Illustriamo di seguito tre semplici programmi costruiti con lo scopo di guidare gli utenti poco esperti nella programmazione. In particolare, considerato che nelle classi delle scuole italiane dell’indirizzo PNI (Piano Nazionale per introduzione dell’Informatica) del Liceo Scientifico, il linguaggio che si insegna è il Turbo Pascal, il codice dei miniprogrammi è proprio in questo linguaggio.

 

23. Disquisizioni euleriane sull’aritmetica

A mio padre, Alessandro Ossicini:
il mio primo grande maestro.

Il seguente contributo include due miei lavori: Leonhard Euler: il principe dei matematici… e Nova Theoremata de primis naturalibusque numeris.

 

Il primo non è altro che un elogio personale al grandissimo matematico svizzero, che tanta parte ha avuto nella mia passione per la Matematica. Lo studio di alcune opere di Leonhard Euler è risultato determinante per il conseguimento della dimostrazione dei teoremi contenuti in questa memoria, ma ha anche caratterizzato i metodi, le tecniche e lo stile utilizzati soprattutto per l’ultimo teorema. Il secondo costituisce i fondamenti di una “nuova” Teoria dei numeri naturali, di natura squisitamente aritmetica, ma che implicitamente fornisce una rappresentazione geometrica nello spazio di un qualsiasi numero naturale, attraverso l’impiego di un paraboloide iperbolico.

 

25. Matematica d’oggi – Metodi variazionali per il trattamento di immagini

Scopo di questo breve articolo è di illustrare, in termini elementari, uno dei possibili approcci matematici al problema del trattamento e della ripulitura di un’immagine digitale disturbata. In particolare si pone l’attenzione sui modelli di tipo variazionale, e si cerca di motivare l’esempio che ha inaugurato l’uso di tali metodi per il trattamento matematico di immagini.

I problemi relativi al trattamento di immagini digitali sono di estrema attualità, e fanno anche parte ormai della letteratura ingegneristica. Spesso accade che la ricezione di immagini digitali viene fatta in condizioni molto disagiate: si pensi ad immagini mediche di organi interni, o ad immagini meteo effettuate nello spazio da satelliti artificiali o ancora da apparecchiature che si trovano su altri pianeti.

 

26. Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Ammettiamolo pure: l’analisi matematica, ovvero quella parte di matematica che viene introdotta in maniera spesso troppo frettolosa nell’ultimo anno delle scuole superiori, per poi venir ampliata a dismisura nelle facoltà universitarie scientifiche, è in linea generale noiosa. Una serie pressoché interminabile di postulati, lemmi, teoremini e teoremoni – con relative dimostrazioni – vengono propinati uno in fila all’altro allo studente, che solo con abbondante dose di esercizio e di costanza riuscirà alla fine (probabilmente quasi a sua insaputa) ad apprendere il tutto.

Chi ha studiato la materia starà sorridendo nel constatare che è avvenuto proprio questo, ma del resto non potrebbe essere altrimenti, vista l’importanza degli strumenti di calcolo che l’analisi mette a disposizione di tutti coloro che dovranno in qualche modo occuparsi di scienza o tecnologia. E’ quasi paragonabile all’insegnamento delle quattro operazioni ai bambini delle elementari, che non può che essere portato avanti attraverso ripetuti esercizi tutti uguali: è troppo importante che essi imparino a contare! Mentre sulle quattro operazioni siamo tutti (spero) ferratissimi, ben più difficile è cogliere appieno i principi fondamentali dell’analisi matematica, che talvolta possono sfuggire anche a coloro che la usano sovente come puro strumento di calcolo.

 

27. Spicchi di cielo: i vicini che non vorremmo avere

I vicini che non vorremmo avere

In una notte calma e senza vento dirigiamo il nostro fidato telescopio verso il primo quarto di luna. Nell’oculare balza subito all’occhio il grande bacino circolare del Mare Serenitatis interamente ricoperto di lava, nonostante i quasi 700 km di diametro. In direzione opposta, verso il polo sud lunare, un’incredibile selva di crateri di tutte le dimensioni ricopre completamente la regione.

 

29. Recen… siti

“Rudi Mathematici”. Matematica, Giochi Matematici, Problemi, Indovinelli e Farneticazioni
Indirizzo: http://www.rudimathematici.com/

Più che un sito è una rivista elettronica in formato pdf, praticamente un nostro concorrente, ma noi gli facciamo pubblicità lo stesso. Per la verità il primo numero risale al febbraio 1999 e attualmente sono arrivati al n. 99, perciò tanto di cappello per la costanza. La prima cosa che si nota leggendo la rivista è l’elevato grado di umorismo degli autori . a volte fanno anche ridere! Un assaggio? “Marshall ASTOR ha costruito un cubo di Rubik in bronzo massiccio perfettamente funzionante che ci pare risolva due problemi in un colpo solo. Per prima cosa, comunque lo ruotiate è sempre “risolto”; inoltre, se in un momento di frustrazione decidete di tirarlo in testa a qualcuno, la soddisfazione è sicuramente maggiore.” Il nomignolo di rivista di matematica ricreativa se lo meritano tutto, a parte qualche ‘farneticazione’ degli autori, in realtà divagazioni interessanti sulla matematica, la rivista contiene una serie di problemi di difficoltà diverse. Ai numeri d’ordine di tipo 12n-1 (praticamente il numero di dicembre) è allegato un calendario a sfondo matematico.

“Matematica e scuola”
Indirizzo: http://www.matematicaescuola.it

E’ il sito personale del prof. Luigi Lecci, insegnante di matematica nel liceo scientifico a indirizzo PNI di Tricase (LE). Nei numerosi anni di attività didattica d’avanguardia con studenti di liceo e di università il prof. Lecci ha raccolto tanto materiale didattico pregevole che ora mette a disposizione di tutti. Trovate principalmente esercizi risolti e compiti in classe svolti per tutte le classi del liceo scientifico ma anche per il biennio dell’università. Nel sito trovate anche materiale didattico relativo ad esperienze di laboratorio di fisica (che ahimè non tutti gli insegnanti frequentano): legge di Boyle, dinamica rotazionale, pressione atmosferica, . Infine segnaliamo il lavoro sul campo magnetico terrestre della prof. A. M. Abatianni.

“Treccani Scuola, Matematica” a cura di W. Maraschini
indirizzo: http://www.treccani.it/site/Scuola/nellascuola/area_matematica

Ogni mese il prof. Maraschini raccoglie una serie di interventi a tema. Il numero di marzo è dedicato alle funzioni: “Le funzioni sono uno dei modelli matematici privilegiati per lo studio di aspetti diversi della realtà e rappresentano un concetto centrale nella formazione matematica.” Di funzione tuttavia si parla praticamente ogni volta che si parla di matematica, le sfumature di significato sono tante e le formulazioni matematiche altrettante. Gli interventi presentati in questo numero possono aiutare a districarsi tra i diversi significati e rappresentazioni. I numerosi esempi di funzioni relativi a situazioni reali suggeriscono che “la precisione concettuale debba essere accompagnata e vivificata dal riferimento a situazioni reali”.

Crucinumero: Parte decimale di Nepero

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32. Crucinumero

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Soluzione cruciverba n°2

2. News: Le medaglie Fields 2006

Le medaglie Fields 2006
Andrea VitielloMolti si chiedono perché non esista il Premio Nobel per la matematica. Possibile che il suo ideatore abbia pensato alla fisica, alla chimica, alla medicina, alla letteratura, alla pace e non alla matematica? Va ricordato che il Premio Nobel per le scienze economiche fu istituito postumo nel 1968.
 

 

Per ulteriori informazioni:

Sito del Fields Institute: http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/jcfields/fields_medal.html

 Andrea Vitiello

Tags: medaglie fields, premi matematica

3. La matematica è difficile?

La maggior parte degli studenti risponderebbe di sì, mentre quasi tutti i loro insegnanti di matematica sarebbero pronti a dire di no, argomentando che in realtà la matematica appare difficile a chi non si dedica con il dovuto impegno (ma cosa è facile senza impegnarsi?). Chi ha ragione? È vero che basta impegnarsi seriamente, o la matematica possiede una difficoltà intrinseca, indipendentemente da quanto ci applichiamo ad essa?

 

 

Tags: insegnamento matematica, difficoltà in matematica

4. Un modello per le conchiglie

INTRODUZIONE

Questo articolo illustra un modello matematico a 4 parametri per la descrizione di superfici tridimensionali che modellizzano la forma delle conchiglie spiraliformi. Vengono inoltre presentati alcuni esempi generati mediante personal computer con l’intento di mostrare l’influenza dei singoli parametri sulla forma assunta dalla superficie. 

 

6. Previsioni sul prezzo del petrolio

Precedentemente, l’indagine sul petrolio non si distingueva da quella sulle altre merci e si rifaceva ai modelli di scambio internazionale della teoria economica tradizionale. Successivamente agli shock petroliferi degli anni ’70, il petrolio assunse il ruolo di merce meritevole di particolare attenzione. Tali crisi posero infatti in luce quanto l’economia dei Paesi occidentali fosse dipendente da questa risorsa naturale, e inoltre radicarono la percezione della sua esauribilità. Da allora si assistette a un diffondersi dei modelli di previsione dei prezzi petroliferi da parte di diversi operatori: organismi internazionali, Banche Centrali, Istituti Universitari, etc.

 

 

http://petrolio.blogosfere.it

http://finanza.repubblica.it/scripts/cligipsw.dll?app=KWF&tpl=kwfinanza\petrolio_hp.tpl

http://www.aspoitalia.net/documenti/bardi/eroei/eroei.html

http://geocities.com/pianetagalileo

 

8. Matematica d’oggi: la teoria dei giochi

A chi dare le licenze per i cellulari di terza generazione? E a che “prezzo”? Quali sono i geni che hanno maggior “potere” nell’insorgere di un certo tipo di cancro? Come mai la via verso il protocollo di Kyoto è stata così irta di ostacoli, e lo sarà ancora? Perché il software peer-to-peer BitTorrent funziona così bene? È giusto bluffare a poker? Lo sapete che nel gioco “hex” il primo giocatore ha certamente una strategia vincente, anche se nessuno sa quale sia, purché le dimensioni del tavolo di gioco (l’alveare) non siano troppo piccole?

 

 

9. La formula… di Eulero

La prima volta che ci si imbatte nella formula di Eulero non si può fare a meno di rimanere scioccati, oltre che un po’ increduli, di fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della matematica completamente diversi incrociano i loro destini in un’uguaglianza che più semplice non si poteva:

$e^{ipi} + 1 = 0$

 

11. Recen… siti

 

  
* * *
“The Mathematical Atlas“
Indirizzo: http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/welcome.html
Lingua: inglese
 

Ecco un interessante “Atlante della Matematica” per chi voglia scoprire qualcosa di più su quello che studiano i matematici di professione. Basta colloquiare con alcuni di loro per rendersi conto che gli argomenti di ricerca possono essere lontanissimi uno dall’altro e che la matematica moderna non è più una materia “unitaria” ma è suddivisa in un numero di sotto discipline che con gli anni non fa che aumentare. Da qui l’idea di fornire un atlante in cui si possano scoprire ben ordinate tutte le discipline e le relazioni che fra di esse intercorrono. Per ognuna disciplina è fornita una descrizione che a parole renda l’idea di quali siano i suoi concetti di base. Ad esempio, si potrà incorrere nella topologia algebrica, nel calcolo combinatorio, nell’analisi complessa, nella computer algebra, o nella teoria dei numeri.

Flavio Cimolin

12. Recen… soft – Mathematica 5.2

Mathematica 5.2 Wolfram research

Non è semplice dare una definizione concisa ed esaustiva del software Mathematica, dato che esso integra un potente kernel per il calcolo simbolico e numerico ma non si limita solo a questo: elaborazione grafica, documentazione, linguaggio di programmazione e interfaccia verso altre applicazioni sono gli altri aspetti dell’anima di Mathematica.