Esercizi svolti di calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità e statistica

  1. Supponiamo che il peso corporeo (misurato in kg) di una popolazione di operai edili si distribuisca secondo una variabile aleatoria di media m = 77 e deviazione standard $sigma = 9,4$. i) Se la numerosità del campione considerato è n = 36, quanto vale la probabilità che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 75 e 79? ii) E se il campione ha numerosità 144?

  2. Si sa che le aule destinate agli studenti del primo anno del corso di laurea in Giurisprudenza di una certa università hanno una capienza di 150 posti. Considerato che, dall’esperienza passata, solo il 30% degli studenti iscritti segue le lezioni, l’ateneo adotta la politica di accettare le iscrizioni di 450 studenti. Calcolare la probabilità che una di quelle aule risulti insufficiente a contenere gli studenti frequentanti il I anno

  3. Due dadi non truccati vengono lanciati simultaneamente 120 volte. Calcolare la probabilità che un 6, un 7 o un 9 si presentino almeno 70 volte

  4. Supponiamo che con probabilità 0,09 una persona abbia bisogno di assistenza ospedaliera nel corso di un anno. Se una società assicuratrice ha in atto 60000 polizze di assicurazione sanitaria, stimare: i) la probabilità che 500 indennizzi vengano liquidati in un anno; ii) la probabilità che vengano liquidati almeno 300 indennizzi in un anno

  5. Si effettuano n estrazioni con reinserimento da un mazzo di carte: dopo che una carta è stata estratta, essa viene rimessa nel mazzo, questo viene mescolato, e si estrae successivamente un’altra carta, ripetendo la procedura n volte. Calcolare la probabilità che effettuando 100 estrazioni con reinserimento si ottenga 20 volte una carta di quadri

  6. Le variabili aleatorie $X_i$ i_1,…n$ sono indipendenti ed ognuna di esse ha legge di Poisson di parametro $lambda = 2$. Calcolare la probabilità che $S_(100) = X_1 + X_2 + …+ X_(100)$ sia compresa tra 190 e 210

  7. Una scatola contiene delle schede contenenti i dati personali dei dipendenti di una ditta. Di questi dipendenti, il 20% sono uomini e l’80% sono donne. Estraiamo una scheda a caso e annotiamo se si tratta di un uomo o di una donna. Prima di scegliere un’altra scheda, rimettiamo quella appena estratta nella scatola e procediamo così estraendo n schede. Quanto deve essere grande n affinché sia almeno 0,95 la probabilità che la proporzione di schede corrispondenti a dipendenti uomini sia compresa tra 0.18 e 0.22?

  8. Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-1/n, 1/n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X

  9. Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-n, n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X

  10. Tre dadi non truccati vengono lanciati simultaneamente n volte. Sia $S_n$ il numero delle volte che si ottiene un punteggio complessivo uguale a 4 (cioè la somma dei dadi dà 4). Se n = 1296, trovare approssimativamente il valore di $S_n$

  11. Una compagnia di assicurazioni vuole condurre un’indagine per stimare l’indennizzo medio pagato a seguito di incidenti domestici. Analisi pregresse mostrano che tali importi possono essere modellati con una variabile aleatoria gaussiana di media μ incognita e deviazione standard nota pari a 400 euro. Su un campione casuale $(X_1 , … , X_n)$ di n incidenti è stato osservato un indennizzo medio $bar X_n$ pari a 6230 euro. i) Determinare un intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ quando l’ampiezza del campione è n = 144. ii) Determinare la dimensione minima del campione necessaria affinché l’ampiezza dell’intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ non superi i 160 euro

  12. Un campione di 100 dischetti per computer viene estratto da una grossa fornitura ed esaminato per rilevare eventuali difetti. Si trova che 80 pezzi superano il controllo. i) Calcolare un intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,95 per la percentuale p di dischetti della fornitura accettabili. ii) Siano $X_1, …, X_n$ variabili aleatorie di Bernoulli di parametro q = 0,8 e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$. Stimare quanto deve essere grande n affinché sia $P(|bar X_n – q| <= 0,01) >= 0,99$

  13. Si esamina un campione di n = 100 componenti elettronici e si trova che la media campionaria del tempo di vita dei componenti è $bar x_n = 50$ (mesi). Ipotizzando che il tempo di vita di un componente del campione sia una variabile aleatoria X con varianza $σ^2 = 144$ e media μ incognita. i) si trovi un intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,95 per la media; ii) supponendo che X ~ N(50, 144), calcolare $P(44 ≤ X ≤ 62)$

  14. Siano $X_1, … , X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar x_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$ la media campionaria. Inoltre, siano μ e $σ^2 = 16$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Supponendo che μ sia incognita, calcolare l’intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,90 nel caso in cui $bar x_n = 80$ e n = 100. ii) Supponiamo che le variabili aleatorie $X_1, … , X_n$ siano normali e che μ=2. Calcolare $P(X_1 < 3)$

  15. Un segnale elettrico viene trasmesso dalla sorgente A alla stazione ricevente B. A causa del “rumore” la stazione ricevente registra un valore (affetto da errore) con media μ e varianza 4. Per ridurre l’errore, lo stesso segnale viene trasmesso 100 volte. I valori registrati da B forniscono una media campionaria $bar x_(100) = 9$. Calcolare l’intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,90

  16. Su 144 campi adibiti alla coltivazione di barbabietole si sperimenta un nuovo fertilizzante e si osserva un aumento medio di produzione di 14 kg. Sia X la variabile aleatoria che indica l’aumento di produzione su un singolo campo. i) Supponiamo che la variabile aleatoria X abbia media incognita e varianza nota: $sigma^2 = 121$. Calcolare un intervallo di confidenza al livello $1 – alpha = 0,95$ per la media $mu$. ii) Supponiamo che la variabile X abbia una distribuzione normale di media $mu = 14$ e varianza $sigma^2 = 121$. Calcolare la probabilità che l’aumento della produzione sia maggiore di 20 kg

  17. Cento studenti di chimica effettuano delle misurazioni per determinare il punto di fusione del piombo. Dai dati ottenuti dalle 100 misure effettuate, si trova che la media campionaria è 329,2 °C. Ipotizzando che il punto di fusione cercato sia distribuito secondo una variabile aleatoria con deviazione standard $sigma = “15,4” °C$, trovare : i) un intervallo di confidenza al livello 0,95 per la temperatura media di fusione del piombo; ii) un intervallo di confidenza al livello 0,99 per la temperatura media di fusione del piombo

  18. Un’azienda decide di assicurare il suo parco veicoli contro i propri danni. Per valutare il costo medio di riparazione per infortunio, viene scelto a caso un campione di n = 144 incidenti, e si trova una media campionaria di 2200 euro. Ipotizzando una deviazione standard σ = 800 euro, trovare un intervallo di confidenza al livello $1 – α = 0,90$ per il costo medio delle riparazioni.

  19. Supponiamo che il contenuto di nicotina di una certa marca di sigarette segua una distribuzione con media m incognita e varianza $σ^2 = 0,0081 mg^2$ nota. Analizzando un campione di 100 sigarette, si trova che il valor medio campionario del contenuto di nicotina è 1,3 mg. Trovare un intervallo di confidenza $1 – α = 0,99$ per la media m.

  20. Un campione di 100 transistor viene estratto da una grossa fornitura e testato per rilevare eventuali imperfezioni. Si trova che 80 pezzi superano il test. Calcolare un intervallo di confidenza a livello $1 – alpha = 0,95$ per la percentuale di transistor della fornitura che sono accettabili.

  21. Una scatola $S_1$ contiene 7 batterie cariche e 3 scariche; un’altra scatola $S_2$ contiene 7 batterie in tutto, di cui 4 cariche. Si sceglie una scatola col seguente criterio: si lancia un dado perfetto, e se esce un numero minore di 3 si sceglie la scatola $S_1$, mentre altrimenti si sceglie la scatola $S_2$. Quindi si estrae una batteria dalla scatola prescelta. i) Qual è la probabilità di estrarre una batteria carica?

  22. In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilità totali, e la terza sul teorema di Bayes. Supponiamo che la probabilità di superare il quesito sulla probabilità condizionale è 0,5, quella di superare il quesito sul teorema delle probabilità totali è 0,6 e quella di superare il terzo quesito è 0,3. Calcolare: i) la probabilità che uno studente superi l’esame

  23. Si consideri il seguente gioco. Si lancia una moneta equa: se esce testa, si lancia un dado perfetto e si vince il gioco se esce il numero 1; se esce croce si lanciano due dadi perfetti e si vince il gioco se esce due volte il numero 1. i) Calcolare la probabilità di vincere il gioco.

  24. Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Si estraggono 2 palline, una alla volta, senza reinserimento. i) Calcolare la probabilità di estrarre una pallina pari e una dispari in questo ordine, ovvero la probabilità che la prima pallina estratta sia pari e che la seconda estratta sia dispari.

  25. In una fabbrica che produce bombolette spray risulta che il 3% della produzione presenta delle imperfezioni, poiché il propellente contiene tracce di fluorocarburi, sostanze dannose all’ozono. Per questo motivo le bombolette vengono sottoposte ad una proceduta di controllo, in seguito alla quale i pezzi difettosi vengono scartati con probabilità del 95%; i pezzi non difettosi vengono anch’essi scartati in certi casi, con una probabilità del 2%. i) Qual è la probabilità che una bomboletta prodotta superi il controllo e venga messa in commercio?

  26. Una scatola contiene sei bottoni: uno verde, 2 neri e 3 grigi. Si estraggono dalla scatola tre bottoni senza rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che venga fuori un bottone verde?

  27. Un’urna $A_1$ contiene 5 biglie nere e 2 bianche; un’altra urna $A_2$ contiene 3 biglie nere e 2 bianche. Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. i) Qual è la probabilità di estrarre una biglia bianca?

  28. I computer di una certa partita vengono assemblati utilizzando processori di due diverse qualità, alle quali corrisponde un’affidabilità, in un dato intervallo di ∆, rispettivamente del 98% e del 75%. Il 30% dei computer è assemblato con processori di qualità migliore. Si sceglie a caso un computer: i) Qual è la probabilità che esso funzioni correttamente durante un intero intervallo ∆?

  29. Un’urna contiene 100 biglie delle quali 8 sono nere, e le rimanenti bianche. Vengono estratte 3 biglie a caso. Sia A l’evento “le 3 biglie estratte sono nere” e B l’evento “delle biglie estratte, 2 sono bianche ed una è nera”. i) Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano con rimpiazzo

  30. Un’urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo

  31. Un’urna contiene 6 palline: 3 bianche, 2 rosse e una nera. Si estraggono tre palline senza reimbussolamento e si vince se una delle tre è nera. i) Calcolare la probabilità di vincere.

  32. La trasmissione di un segnale può avvenire utilizzando due diversi canali A e B con la stessa probabilità; il canale A trasmette sempre il segnale correttamente, mentre il canale B trasmette il segnale correttamente con probabilità $3/4$. i) Qual è la probabilità di ricevere un segnale corretto? ii) Avendo ricevuto un segnale corretto, qual è la probabilità che esso sia stato trasmesso dal canale B?

  33. Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90, che vengono estratte una dopo l’altra senza rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che le prime 10 palline estratte portino tutte un numero minore o uguale di 60?

  34. Ad una stazione ricevente possono giungere messaggi binari da due canali diversi, A e B. In ognuno di questi messaggi, i singoli bit possono prendere i valori 0 e 1, a caso e in maniera ndipendente. Nei messaggi provenienti da A ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $2/3$ e uguale a 0 con probabilità $1/3$. Nei messaggi provenienti da B succede l’inverso: un bit è uguale a 1 con probabilità $1/3$ e uguale a 0 con probabilità $2/3$. Si sa che ogni messaggio può provenire da A o da B con probabilità $1/2$. Poniamo $A_i$ l’i-esimo bit uguale a 1. i) Quanto vale $P(A_n)$, ovvero la probabilità che l’n-esimo bit del messaggio vale 1.

  35. Sei urne contengono tutte 3 palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Precisamente, l’urna i-esima contiene tre palline rosse e i palline bianche (con i = 1, … , 6). Un’urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte, una dopo l’altra, due palline con rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che le due palline siano una bianca e una rossa?

  36. Nel gioco del lotto ad ogni estrazione vengono estratti simultaneamente 5 numeri da un’urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Lo stesso procedimento viene ripetuto per le 10 ruote. i) Qual è la probabilità che un numero fissato (ad esempio 1) venga estratto in una singola estrazione su una singola ruota?

  37. Un giocatore gioca ogni settimana al lotto l’ambo {1, 90} su una singola ruota. i) Qual è la probabilità di vincere in una singola estrazione?

  38. Dieci amici di un college americano stanno per partire per una gita. Essi posseggono due automobili, ciascuna delle quali può portare al massimo 6 persone. In quanti modi si possono sistemare sulle due autovetture per effettuare il loro viaggio? Un loro amico, che non partecipa al viaggio, tenta di indovinare l’esatta disposizione dei ragazzi nelle due automobili. Qual è la probabilità che egli indovini?

  39. Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Da essa vengono effettuate 2 estrazioni senza rimpiazzo…

  40. Una scatola contiene due schede: una di esse ha entrambi i lati rossi, mentre l’altra ha un lato rosso e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è rosso. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia rosso?

  41. Una scatola contiene 5 pedine doppie del gioco del domino (una pedina si dice doppia quando su entrambi i suoi lati, sinistro e destro, è segnato lo stesso numero); si sa che la prima pedina è un doppio 1, la seconda un doppio 2, e le altre pedine nella scatola sono, rispettivamente, un doppio 3, un doppio 4 e un doppio 5. Si estraggono a caso dalla scatola due pedine, senza rimpiazzo

  42. Determinare quale tra due eventi ha maggiore probabilità di accadere

  43. Sia X una variabile binomiale di parametri n e p…

  44. Si lanciano contemporaneamente e ripetutamente una moneta e un dado equilibrati. Sia X il numero minimo di lanci della moneta affinché si ottenga Testa, e sia Y il numero minimo di lanci del dado per ottenere un punto minore o uguale a 4

  45. Luca e Giovanni estraggono delle carte, ognuno dal proprio mazzo di carte napoletane ben mescolate, rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo. Il mazzo di Luca è regolare, mentre a quello di Giovanni è stato tolto l’asso di denari. Sia T il primo istante in cui Luca estrae un asso, e S il primo istante in cui Giovanni estrae un asso

  46. Nello scaffale di un negozio vi sono 20 CD di software, di cui 2 di grafica e gli altri ci calcolo numerico e applicazioni. I CD di grafica costano 800 € l’uno, mentre gli altri costano 600€ l’uno. Un cliente compra 3 CD, che sceglie a caso, e sia X il numero di CD di grafica acquistati dal cliente

  47. Supponiamo di avere una moneta truccata in modo che la probabilità che esca testa (T) in ogni lancio è del 25% (di conseguenza la probabilità che esca croce (C) è del 75%). Supponiamo che la moneta venga lanciata 4 volte…

  48. Si lanciano ripetutamente e contemporaneamente una moneta equilibrata e due dadi perfetti. Sia T il numero di lanci necessari per ottenere la prima volta testa, e S il numero di lanci necessari per ottenere la prima volta, con la somma dei valori dei dadi, il punteggio 5

  49. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, entrambe Bernoulliane di parametro p, e siano S = X + Y e D = X – Y

  50. Sia $X$ una variabile aleatoria a valori in Z tale che $P(X=X^3) = 1$. Trovare la densità discreta di $X$ sapendo che $P(X=-1) = P(X=1) = p$. Se $Y$ è un’altra variabile aleatoria, indipendente da $X$, che assume valori -1, 1 con probabilità q, 1-q, calcolare la legge $Z = X + Y$.