Esercizi svolti di calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità e statistica

  1. Una scatola $S_1$ contiene 7 batterie cariche e 3 scariche; un’altra scatola $S_2$ contiene 7 batterie in tutto, di cui 4 cariche. Si sceglie una scatola col seguente criterio: si lancia un dado perfetto, e se esce un numero minore di 3 si sceglie la scatola $S_1$, mentre altrimenti si sceglie la scatola $S_2$. Quindi si estrae una batteria dalla scatola prescelta. i) Qual è la probabilità di estrarre una batteria carica?

  2. In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilità totali, e la terza sul teorema di Bayes. Supponiamo che la probabilità di superare il quesito sulla probabilità condizionale è 0,5, quella di superare il quesito sul teorema delle probabilità totali è 0,6 e quella di superare il terzo quesito è 0,3. Calcolare: i) la probabilità che uno studente superi l’esame

  3. Si consideri il seguente gioco. Si lancia una moneta equa: se esce testa, si lancia un dado perfetto e si vince il gioco se esce il numero 1; se esce croce si lanciano due dadi perfetti e si vince il gioco se esce due volte il numero 1. i) Calcolare la probabilità di vincere il gioco.

  4. Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Si estraggono 2 palline, una alla volta, senza reinserimento. i) Calcolare la probabilità di estrarre una pallina pari e una dispari in questo ordine, ovvero la probabilità che la prima pallina estratta sia pari e che la seconda estratta sia dispari.

  5. In una fabbrica che produce bombolette spray risulta che il 3% della produzione presenta delle imperfezioni, poiché il propellente contiene tracce di fluorocarburi, sostanze dannose all’ozono. Per questo motivo le bombolette vengono sottoposte ad una proceduta di controllo, in seguito alla quale i pezzi difettosi vengono scartati con probabilità del 95%; i pezzi non difettosi vengono anch’essi scartati in certi casi, con una probabilità del 2%. i) Qual è la probabilità che una bomboletta prodotta superi il controllo e venga messa in commercio?

  6. Una scatola contiene sei bottoni: uno verde, 2 neri e 3 grigi. Si estraggono dalla scatola tre bottoni senza rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che venga fuori un bottone verde?

  7. Un’urna $A_1$ contiene 5 biglie nere e 2 bianche; un’altra urna $A_2$ contiene 3 biglie nere e 2 bianche. Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. i) Qual è la probabilità di estrarre una biglia bianca?

  8. I computer di una certa partita vengono assemblati utilizzando processori di due diverse qualità, alle quali corrisponde un’affidabilità, in un dato intervallo di ∆, rispettivamente del 98% e del 75%. Il 30% dei computer è assemblato con processori di qualità migliore. Si sceglie a caso un computer: i) Qual è la probabilità che esso funzioni correttamente durante un intero intervallo ∆?

  9. Un’urna contiene 100 biglie delle quali 8 sono nere, e le rimanenti bianche. Vengono estratte 3 biglie a caso. Sia A l’evento “le 3 biglie estratte sono nere” e B l’evento “delle biglie estratte, 2 sono bianche ed una è nera”. i) Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano con rimpiazzo

  10. Un’urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo

  11. Un’urna contiene 6 palline: 3 bianche, 2 rosse e una nera. Si estraggono tre palline senza reimbussolamento e si vince se una delle tre è nera. i) Calcolare la probabilità di vincere.

  12. La trasmissione di un segnale può avvenire utilizzando due diversi canali A e B con la stessa probabilità; il canale A trasmette sempre il segnale correttamente, mentre il canale B trasmette il segnale correttamente con probabilità $3/4$. i) Qual è la probabilità di ricevere un segnale corretto? ii) Avendo ricevuto un segnale corretto, qual è la probabilità che esso sia stato trasmesso dal canale B?

  13. Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90, che vengono estratte una dopo l’altra senza rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che le prime 10 palline estratte portino tutte un numero minore o uguale di 60?

  14. Ad una stazione ricevente possono giungere messaggi binari da due canali diversi, A e B. In ognuno di questi messaggi, i singoli bit possono prendere i valori 0 e 1, a caso e in maniera ndipendente. Nei messaggi provenienti da A ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $2/3$ e uguale a 0 con probabilità $1/3$. Nei messaggi provenienti da B succede l’inverso: un bit è uguale a 1 con probabilità $1/3$ e uguale a 0 con probabilità $2/3$. Si sa che ogni messaggio può provenire da A o da B con probabilità $1/2$. Poniamo $A_i$ l’i-esimo bit uguale a 1. i) Quanto vale $P(A_n)$, ovvero la probabilità che l’n-esimo bit del messaggio vale 1.

  15. Sei urne contengono tutte 3 palline rosse (R) e un numero variabile di palline bianche (B). Precisamente, l’urna i-esima contiene tre palline rosse e i palline bianche (con i = 1, … , 6). Un’urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte, una dopo l’altra, due palline con rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che le due palline siano una bianca e una rossa?

  16. Nel gioco del lotto ad ogni estrazione vengono estratti simultaneamente 5 numeri da un’urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Lo stesso procedimento viene ripetuto per le 10 ruote. i) Qual è la probabilità che un numero fissato (ad esempio 1) venga estratto in una singola estrazione su una singola ruota?

  17. Un giocatore gioca ogni settimana al lotto l’ambo {1, 90} su una singola ruota. i) Qual è la probabilità di vincere in una singola estrazione?

  18. Dieci amici di un college americano stanno per partire per una gita. Essi posseggono due automobili, ciascuna delle quali può portare al massimo 6 persone. In quanti modi si possono sistemare sulle due autovetture per effettuare il loro viaggio? Un loro amico, che non partecipa al viaggio, tenta di indovinare l’esatta disposizione dei ragazzi nelle due automobili. Qual è la probabilità che egli indovini?

  19. Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Da essa vengono effettuate 2 estrazioni senza rimpiazzo…

  20. Una scatola contiene due schede: una di esse ha entrambi i lati rossi, mentre l’altra ha un lato rosso e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è rosso. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia rosso?

  21. Una scatola contiene 5 pedine doppie del gioco del domino (una pedina si dice doppia quando su entrambi i suoi lati, sinistro e destro, è segnato lo stesso numero); si sa che la prima pedina è un doppio 1, la seconda un doppio 2, e le altre pedine nella scatola sono, rispettivamente, un doppio 3, un doppio 4 e un doppio 5. Si estraggono a caso dalla scatola due pedine, senza rimpiazzo

  22. Determinare quale tra due eventi ha maggiore probabilità di accadere

  23. Sia X una variabile binomiale di parametri n e p…

  24. Si lanciano contemporaneamente e ripetutamente una moneta e un dado equilibrati. Sia X il numero minimo di lanci della moneta affinché si ottenga Testa, e sia Y il numero minimo di lanci del dado per ottenere un punto minore o uguale a 4

  25. Luca e Giovanni estraggono delle carte, ognuno dal proprio mazzo di carte napoletane ben mescolate, rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo. Il mazzo di Luca è regolare, mentre a quello di Giovanni è stato tolto l’asso di denari. Sia T il primo istante in cui Luca estrae un asso, e S il primo istante in cui Giovanni estrae un asso

  26. Nello scaffale di un negozio vi sono 20 CD di software, di cui 2 di grafica e gli altri ci calcolo numerico e applicazioni. I CD di grafica costano 800 € l’uno, mentre gli altri costano 600€ l’uno. Un cliente compra 3 CD, che sceglie a caso, e sia X il numero di CD di grafica acquistati dal cliente

  27. Supponiamo di avere una moneta truccata in modo che la probabilità che esca testa (T) in ogni lancio è del 25% (di conseguenza la probabilità che esca croce (C) è del 75%). Supponiamo che la moneta venga lanciata 4 volte…

  28. Si lanciano ripetutamente e contemporaneamente una moneta equilibrata e due dadi perfetti. Sia T il numero di lanci necessari per ottenere la prima volta testa, e S il numero di lanci necessari per ottenere la prima volta, con la somma dei valori dei dadi, il punteggio 5

  29. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, entrambe Bernoulliane di parametro p, e siano S = X + Y e D = X – Y

  30. Sia $X$ una variabile aleatoria a valori in Z tale che $P(X=X^3) = 1$. Trovare la densità discreta di $X$ sapendo che $P(X=-1) = P(X=1) = p$. Se $Y$ è un’altra variabile aleatoria, indipendente da $X$, che assume valori -1, 1 con probabilità q, 1-q, calcolare la legge $Z = X + Y$.

  31. Si lanciano una moneta e un dado non truccati. Se la moneta da testa, si lancia il dado e si pone uguale a X il valore della faccia uscita. Se invece la moneta da croce, si lancia il dado due volte e si pone uguale a X il massimo dei valori ottenuti nei due lanci

  32. Due dadi equilibrati vengono lanciati separatamente più volte. Indichiamo con X il numero di lanci necessario ad ottenere 3 gettando il primo dado, e con Y il numero di lanci necessario ad ottenere 2 oppure 5 lanciando il secondo

  33. Una variabile aleatoria discreta X assume i valori 1,2,3,4 e $P(X=1) = P(X=2) = 1/4$. Sapendo che $E(X) = 21/8$, trovare la densità discreta di X e $Var(X)$

  34. 44 esercizi svolti di calcolo combinatorio e probabilità

  35. Risolvere l’equazione: $((x),(3))=((x),(5))$

  36. Alessio ha un tavolo rotondo con sei sedie tutte diverse. Si domanda quante sono le diverse …

  37. Quante sono le terne ordinate di interi non negativi tali che a+b+c=57?

  38. Due matematici, tre fisici e cinque ingegneri sono seduti in prima fila ad una conferenza. In quanti modi si possono …

  39. Ho a disposizione cinque cifre uguali a 1 e una cifra uguale a 2. Usando tutte o alcune di queste cifre, quanti…

  40. In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i ragazzi accovacciati e le ragazze in piedi dietro di loro?

  41. Calcolare $sum_{i=0}^6 ((6),(i))$

  42. In una classe di 20 studenti si devono formare una squadra di calcio da 11 e una da basket da 5 giocatori…

  43. Quanti sono i numeri di 6 cifre che hanno le prime 3 cifre dispari e le restanti pari?

  44. Le disposizioni di un certo numero di oggetti a 5 a 5 sono tante quante le disposizioni…

  45. Quanti numeri di 9 cifre tutte diverse tra loro (e diverse da 0) si possono scrivere?

  46. Un cartolaio ha nel suo negozio tre cassetti liberi: vuole sistemare in tali cassetti le biro nere, blu …

  47. Dodici persone si stringono la mano, ciascuna stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di mano in totale?

  48. Calcola la probabilità che il primo numero del lotto estratto sulla ruota di Napoli sia un numero dispari o un multiplo di 18

  49. Da un’urna contenente 6 palline bianche e 9 blu se ne estraggono 2 contemporaneamente: qual è la probabilità…

  50. Da un’urna contenente 6 palline bianche e 9 blu se ne estraggono 2 contemporaneamente