Determinare $a$ e $b$ in modo che l’iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi
per i punti $A(-4sqrt(10);9), B(8;-3sqrt3)$.

Svolgimento
Dobbiamo verificare per quali valori di $a$ e $b$, idue punti appartengono all’iperbole
$\gamma:=(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$
Se $A in \gamma => (-4sqrt(10))^2/(a^2)-(9)^2/(b^2)=1 => (160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1$
Se $B in \gamma => (8)^2/(a^2)-(-3sqrt3)^2/(b^2)=1 => (64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1$

Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{((160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1),((64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{((160)/(a^2)=(81)/(b^2)+1),((64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((64)((81)/(b^2)+1)/(160)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(2((81)/(b^2)+1)/5-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(2((81)/(b^2)+1)*1/5-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((162)/(5b^2)-(27)/(b^2)=1-2/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(((162)/5-27)(b^2)=3/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((27)/5b^2=3/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/9+1)/(160)),(b^2=9):}$;
$\{(1/(a^2)=(10)/(160)=1/(16)),(b^2=9):} => \{(a^2=16),(b^2=9):}$.
Pertanto $a=4$ e $b=3$.

Scrivere l’equazione di un’iperbole sapendo che i suoi vertici sono i punti $A_1(4;0), A_2(-4;0)$ e che
i suoi fuochi sono i punti $F_1(sqrt(41);0), F_2(-sqrt(41);0)$

Svolgimento
I vertici di un’iperbole riferita al centro e agli assi avente i fuochi sull’asse $x$ hanno coordinate
$(+-a;0)$; mentre i fuochi $(+-sqrt(a^2+b^2);0)$
Nel nostro caso i vertici sono $A_1(4;0), A_2(-4;0)$ e i fuochi $F_1(sqrt(41);0), F_2(-sqrt(41);0)$.
Pertanto si ha $+-a=+-4 ^^ +-sqrt(a^2+b^2)=+-sqrt(41)$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{(a=4),(sqrt(a^2+b^2)=sqrt(41)):}$;
$\{(a=4),((4^2+b^2)=41):}$;
$\{(a=4),(16+b^2=41):}$;
$\{(a=4),(b^2=25):}$;
$\{(a=4),(b=5):}$;

Sostituendo questi valori nell’equazione generale di un’iperbole riferita al centro e
agli assi avente i fuochi sull’asse $x$, ovvero in

$(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$, otteniamo
$(x^2)/(16)-(y^2)/(25)=1$.

Dal punto $(-4;2)$ condurre le tangenti all’ellisse $(x^2)/9+y^2=1$.

Svolgimento
Indichiamo con $P$ il punto di coordinate $(-4;2)$.
L’equazione $(x^2)/9+y^2=1$ equivale a $x^2+9y^2=9$
La generica retta per $P$ ha equazione $y-2=m(x+4)$
Poniamo a sistema l’equazione della retta con quella dell’ellisse;
l’equazione risolvente il sistema dovrà avere il discriminante nullo (condizione di tangenza)
$\{(y-2=m(x+4)),(x^2+9y^2=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m(x+4)+2)^2=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m^2(x+4)^2+4+4m(x+4))=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m^2(x^2+16+8x)+4+4mx+16m)=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),(x^2+9(x^2m^2+16m^2+8xm^2+4+4mx+16m)=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),(x^2+9x^2m^2+144m^2+72xm^2+36+36mx+144m=9):}$;
$\{(y=m(x+4)+2),((1+9m^2)x^2+36mx(1+2m)+54m+27+144m^2=0):}$;
Studiamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0$  (condizione di tangenza)
Risolviamo l’equazione
$(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0$;
$324m^2(1+4m^2+4m)-144m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3-243m^2=0$;
$324m^2+1296m^4+1296m^3-387m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3=0$;
Raccogliamo i termini simili
$-63m^2-144m-27=0$;
Cambiando di segno e semplificando
$7m^2+16m+3=0$

Troviamo, ora, i valori di $m$ per cui vale l’equazione
$7m^2+16m+3=0$

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(8)^2-(7*3)=64-21=43$
$m_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(-8+-sqrt(43))/7 => m_1=(-8+sqrt(43))/7 ^^ m_2=(-8-sqrt(43))/7$.

Pertanto l’equazioni delle rette passanti per $P$ e tangenti l’ellisse $(x^2)/9+y^2=1$ saranno:
$y-2=(-8+-sqrt(43))/7(x+4)$.

Scrivere l’equazione dell’ellisse avente per vertici i punti $(+-5;0)$ e per fuochi i punti $(+-3;0)$

Svolgimento
Considerata l’equazione generica di un’ellisse riferita al centro e agli assi
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
le coordinate dei vertici sono $(+-a;0)$ e $(0;+-b)$, mentre le coordinate dei fuochi sono
$(sqrt(+-sqrt(b^2-a^2);0) vv (0;+-sqrt(b^2-a^2))$.
I nostri dati sono $V(+-5;0)$ e $F_(1,2)(+-3;0)$ quindi possiamo scrivere le seguenti equazioni:
$+-a=+-5 ^^ +-sqrt(a^2-b^2)=+-3$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{(a=5),(sqrt(a^2-b^2)=3):}$;
$\{(a=5),(sqrt(5^2-b^2)=3):}$;
$\{(a=5),(25-b^2=9):}$;
$\{(a=5),(-b^2=-16):}$;
$\{(a=5),(b^2=16):}$;
$\{(a=5),(b=4):}$.

Sostituendo nell’equazione generale dell’ellisse otteniamo
$(x^2)/(25)+(y^2)/(16)=1$
che rappresenta l’equazione dell’ellisse avente per vertici i punti $(+-5;0)$ e per fuochi i punti $(+-3;0)$.

Scrivere l’equazione di un’ellisse riferita riferita ai propri assi di simmetria sapendo
che un suo asse misura $6$ e che la distanza focale misura $4$.Verificare che il problema
quattro soluzioni.

Svolgimento
La distanza focale di un’ellisse riferita al centro e agli assi è data dal valore di $2c$.
Nel nostro caso $2c=4 => c=2$
Supponiamo che $2a=6$, sia l’asse maggiore dell’ellisse, sapendo che
$c^2=(a^2-b^2)$
sostituendo i valori noti, $c=2$ e $a=3$ otteniamo
$4=(9-b^2)$;
$-5=-b^2$; $b^2=5 => b=sqrt5$.
Quindi $b=sqrt5$ individua il semiasse minore dell’ellisse e pertanto, ricordando l’equazione canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
si ha che per $a=3$ e $b=sqrt5$ l’ellisse avrà equazione
$(x^2)/9+(y^2)/(5)=1$
oppure
$(x^2)/5+(y^2)/9=1$
a secondo che i fuochi sono sull’asse $x$ o $y$.
Supponiamo ora che $2a=6$ sia l’asse minore dell’ellisse e quindi sarà
$c^2=b^2-a^2$, ovvero
$4=b^2-9 =>b^2=13 => b=sqrt(13)$.
Quindi $sqrt(13)$ indica il semiasse maggiore dell’ellisse e pertanto, ricordando l’equazione canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
si ha che per $a=3$ e $b=sqrt(13)$ l’ellisse avrà equazione
$(x^2)/9+(y^2)/(13)=1$
oppure
$(x^2)/(13)+(y^2)/9=1$
a secondo che i fuochi sono sull’asse $x$ o $y$.
Pertanto il problema ammette quattro soluzioni.

Un’ ellisse di semiassi $3$ e $sqrt2$ è riferita al centro e ai suoi assi; scriverne l’equazione.

Svolgimento
L’equazione canonica di un’ellisse riferita al centro e ai suoi assi è:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
dove $a$ e $b$ sono le misure dei semiassi.
Nel caso in cui $a=3$ e $b=sqrt2$, ovvero $a>b$, l’equazione
$(x^2)/9+(y^2)/2=1$
rappresenta un’ ellisse riferita al centro e ai suoi assi con i fuochi sull’asse $x$.

Se invece, $a=sqrt2$ e $b=3$, ovvero $a<b$, l’equazione
$(x^2)/2+(y^2)/9=1$
rappresenta un’ ellisse riferita al centro e ai suoi assi con i fuochi sull’asse $y$.

Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’ ellisse avente la seguente equazione:
$4x^2+25y^2=100$

Svolgimento
E’ necessario trasformare la nostra equazione nella forma canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
operando nel seguente modo
$4x^2+25y^2=100 => (4x^2+25y^2)/(100)=(100)/(100) => (x^2)/(25)+(y^2)/4=1$
Nel nostro caso si riconosce $a^2=25 ^^ b^2=4 => a=5 ^^ b=2$
Quindi $a>b$, ovvero i fuochi sono sull’asse $x$, quindi le coordinate dei vertici sono:
$A_1(a;0), A_2(-a;0), B_1(0;b), B_2(0;-b)$
mentre quelle dei fuochi sono :
$F_1(sqrt(b^2-a^2);0), F_2(-sqrt(b^2-a^2);0)$
Sostituiamo i valori $a=5$ e $b=2$ ed avremo che i vertici dell’ellisse di equazione:
$x^2+4y^2=4$
sono i punti $A_1(5;0), A_2(-5;0), B_1(0;2), B_2(0;-2)$
mentre i fuochi sono individuati dai punti
$F_(1,2)=(+-sqrt(25-4);0)=(+-sqrt(21);0)$.

Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’ ellisse avente la seguente equazione:
$x^2+4y^2=4$

Svolgimento
E’ necessario trasformare la nostra equazione nella forma canonica
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
operando nel seguente modo
$x^2+4y^2=4 => (x^2+4y^2)/4=4/4 => (x^2)/4+y^2=1$
Nel nostro caso si riconosce $a^2=4 ^^ b^2=1 => a=2 ^^ b=1$
Quindi $a>b$, ovvero i fuochi sono sull’asse $x$, quindi le coordinate dei vertici sono:
$A_1(a;0), A_2(-a;0), B_1(0;b), B_2(0;-b)$
mentre quelle dei fuochi sono :
$F_1(sqrt(b^2-a^2);0), F_2(-sqrt(b^2-a^2);0)$
Sostituiamo i valori $a=2$ e $b=1$ ed avremo che i vertici dell’ellisse di equazione:
$x^2+4y^2=4$
sono i punti $A_1(2;0), A_2(-2;0), B_1(0;1), B_2(0;-1)$
mentre i fuochi sono individuati dai punti
$F_(1,2)=(+-sqrt(4-1);0)=(+-sqrt3;0)$.

Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’ ellisse avente la seguente equazione:
$(x^2)/3+(y^2)/7=1$

Svolgimento
L’equazione generale dell’ellisse è:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
Nel nostro caso $a^2=3 ^^ b^2=7 => a=sqrt3 ^^ b=sqrt7$
Quindi $a<b$, ovvero i fuochi sono sull’asse $y$, quindi le coordinate dei vertici sono:
$A_1(a;0), A_2(-a;0), B_1(0;b), B_2(0;-b)$
mentre quelle dei fuochi sono :
$F_1(0;+sqrt(b^2-a^2)), F_2(0;-sqrt(b^2-a^2))$
Sostituiamo i valori $a=sqrt3$ e $b=sqrt7$ ed avremo che i vertici dell’ellisse di equazione:
$(x^2)/3+(y^2)/7=1$
sono i punti $A_1(sqrt3;0), A_2(-sqrt3;0), B_1(0;sqrt7), B_2(0;-sqrt7)$
mentre i fuochi sono individuati dai punti
$F_(1,2)=(0;+-sqrt((sqrt7)^2-(sqrt3)^2))=(0;+-sqrt(7-3))=(0;+-2)$.

Determinare la misura degli assi dell’ellisse rappresentata dalla seguente equazione:
$(x^2)/(18)+(y^2)/(16)=1$

Svolgimento
L’equazione generale dell’ellisse è:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$ con $a>b$
dove $a$ e $b$ rappresentano le misure dei due semiassi, pertanto $2a$ e $2b$
rappresenteranno le misure dei due assi
Nel nostro caso
$a^2=18 ^^ b^2=16 => a=3sqrt2 ^^ b=4$
Quindi $a>b$, quindi i fuochi stanno sull’asse $x$;
l’asse maggiore è $2a=6sqrt2$ e quello minore è $2b=8$.

Determinare la misura degli assi dell’ellisse rappresentata dalla seguente equazione:
$(x^2)/(25)+(y^2)/(16)=1$

Svolgimento
L’equazione generale dell’ellisse è:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$ con $a>b$
dove $a$ e $b$ rappresentano le misure dei due semiassi, pertanto $2a$ e $2b$
rappresenteranno le misure dei due assi
Nel nostro caso
$a^2=25 ^^ b^2=16 => a=5 ^^ b=4$
Quindi $a>b$, quindi i fuochi stanno sull’asse $x$;
l’asse maggiore è $2a=10$ e quello minore è $2b=8$.

Scrivere l’equazione della parabola avente il vertice nel punto $(1;0)$ e il fuoco nel punto $(1;1/4)$

Svolgimento
L’asse di simmetria risulta parallelo all’asse $y$ e quindi l’equazione della parabola è:
$y=ax^2+bx+c$
Sappiamo che il vertice di una parabola generica, avente l’asse parallelo all’asse $y$, ha coordinate
$(-b/(2a);(-b^2+4ac)/(4a))$
mentre il fuoco ha coordinate
$(-b/(2a);(1-b^2+4ac)/(4a))$.
Nel nostro caso si ha
$-b/(2a)=1$ , $(-b^2+4ac)/(4a)=0$ , $(1-b^2+4ac)/(4a)=1/4$
Mettiamo a sistema le tre equazioni ottenute e risolviamolo per sostituzione:
$\{(-b/(2a)=1),((-b^2+4ac)/(4a)=0),((1-b^2+4ac)/(4a)=1/4):}$;
$\{(b=-2a),((-(-2a)^2+4ac)/(4a)=0),((1-(-2a)^2+4ac)/(4a)=1/4):}$;
$\{(b=-2a),((4a^2+4ac)/(4a)=0),((1-4a^2+4ac)/(4a)=1/4):}$;
$\{(b=-2a),(-a+c=0),((1-4a^2+4ac)/a=1):}$;
$\{(b=-2a),(c=a),((1-4c^2+4c^2)/c=1):}$;
$\{(b=-2a),(c=a),(1/c=1):} => \{(b=-2),(a=1),(c=1):}$;

Pertanto l’equazione sarà $y=x^2-2x+1$.

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse $x$, passante per i punti
$(-1;0),(2;1),(5;-2)$.

Svolgimento
Indichiamo con $A,B,C$ i punti di coordinate rispettivamente $(-1;0),(2;1),(5;-2)$.
Scritta l’equazione di una parabola generica con l’asse parallelo rispetto all’asse $x$, ovvero
$x=ay^2+by+c$
chiamiamo $\delta$ questa equazione.
Dobbiamo imporre che i punti $(-1;0),(2;1),(5;-2)$ appartengano alla parabola, cioè che le coordinate
dei punti soddisfino l’equazione della parabola.
Sostituendo successivamente a $x$ e a $y$ le coordinate dei tre punti dati, si ha:
$A(-1;0) in \delta => c=-1$
$B(2;1) in \delta => a+b+c=2$
$C(5;-2) in \delta => 4a-2b+c=5$

Mettiamo ora a sistema le tre equazioni e risolviamo per sostituzione
$\{(a+b+c=2),(4a-2b+c=5),(c=-1):}$;
$\{(a+b-1=2),(4a-2b-1=5),(c=-1):}$;
$\{(a=3-b),(4(3-b)-2b-1=5),(c=-1):}$;
$\{(a=3-b),(12-4b-2b=6),(c=-1):}$;
$\{(a=3-b),(-6b=-6),(c=-1):}$;
$\{(a=3-1=2),(b=1),(c=-1):}$;

Quindi l’equazione della parabola richiesta sarà $x=2y^2+y-1$.

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse $y$, passante per i punti
$(0;-2),(3;-2),(-1;-6)$.

Svolgimento
Indichiamo con $A,B,C$ i punti di coordinate rispettivamente $(0;-2),(3;-2),(-1;-6)$.
Scritta l’equazione di una parabola generica con l’asse parallelo rispetto all’asse $y$, ovvero
$y=ax^2+bx+c$
chiamiamo $\delta$ questa equazione.
Dobbiamo imporre che i punti $(0;-2),(3;-2),(-1;-6)$ appartengano alla parabola, cioè che le coordinate
dei punti soddisfino l’equazione della parabola.
Sostituendo successivamente a $x$ e a $y$ le coordinate dei tre punti dati, si ha:
$A(0;-2) in \delta => c=-2$
$B(3;-2) in \delta => 9a+3b+c=-2$
$C(-1;-6) in \delta => a-b+c=-6$

Mettiamo ora a sistema le tre equazioni e risolviamo per sostituzione
$\{(a-b+c=-6),(9a+3b+c=-2),(c=-2):}$;
$\{(a-b-2=-6),(9a+3b-2=-2),(c=-2):}$;
$\{(a=-4+b),(9(-4+b)+3b=0),(c=-2):}$;
$\{(a=-4+b),(-36+9b+3b=0),(c=-2):}$;
$\{(a=-4+b),(12b=36),(c=-2):} => \{(a=-4+3=-1),(b=3),(c=-2):}$;

Quindi l’equazione della parabola richiesta sarà $y=-x^2+3x-2$.

Scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse $y$, passante per i punti
$(1;0),(3;0),(4;3)$.

Svolgimento
Indichiamo con $A,B,C$ i punti di coordinate rispettivamente $(1;0),(3;0),(4;3)$.
Scritta l’equazione di una parabola generica con l’asse di simmetria parallelo rispetto all’asse $y$, ovvero
$y=ax^2+bx+c$
chiamiamo $\delta$ questa equazione.
Dobbiamo imporre che i punti $A(1;0),B(3;0),C(4;3)$ appartengano alla parabola, cioè che le coordinate
dei punti soddisfino l’equazione della parabola.
Sostituendo successivamente a $x$ e a $y$ le coordinate dei tre punti dati, si ha:
$A(1;0) in \delta => a+b+c=0$
$B(3;0) in \delta => 9a+3b+c=0$
$C(4;3) in \delta => 16a+4b+c=3$

Mettiamo ora a sistema le tre equazioni e risolviamo per sostituzione
$\{(a+b+c=0),(9a+3b+c=0),(16a+4b+c=3):}$;
$\{(a=-b-c),(9(-b-c)+3b+c=0),(16(-b-c)+4b+c=3):}$;
$\{(a=-b-c),(-9b+9c+3b+c=0),(-16b+16c+4b+c=3):}$;
$\{(a=-b-c),(-6b=8c),(-15c-12b=3):}$;
$\{(a=-b-c),(b=-4/3c),(-15c-12(-4/3c)=3):}$;
$\{(a=-b-c),(b=-4/3c),(-15c+16c=3):}$;
$\{(a=4-3),(b=-4/3*3=-4),(c=3):} => \{(a=1),(b=4),(c=3):}$.
Quindi l’equazione della parabola richiesta sarà $y=x^2-4x+3$.

Determinare i punti d’intersezione della parabola di equazione $y=1/2x^2$ con la retta di equazione $x+2y-6=0$.

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{(x+2y-6=0),(y=1/2x^2):}$;
$\{(x+2(1/2x^2)-6=0),(y=1/2x^2):}$;
$\{(x+x^2-6=0),(y=1/2x^2):}$;

Risolviamo l’equazione di secondo grado
$x^2+x-6=0$

$\Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-6)*1)=1+24=25$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt(25))/2=(-1+-5)/2 => x_1=-3 ^^ x_2=2$.

Pertanto $\{(x_1=-3),(y_1=1/2(-3)^2=9/2):} vv \{(x_2=2),(y_2=1/2(2)^2=2):}$;
Quindi i punti d’intersezione tra la retta e la parabola saranno $A(2;2)$ e $B(-3;9/2)$.

Determinare i punti d’intersezione tra le circonferenze di equazione $x^2+y^2-8x-6y+20=0$ e $2x^2+2y^2-11x+3y=0$.

Svolgimento
In generale per trovare eventuali punti d’intersezione tra due circonferenze, si mettono a sistema le due equazioni:

$\{(x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0),(x^2+y^2+(\alpha)_1x+(\beta)_1y+(\gamma)_1=0):}$;

Se le due circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni
si ottiene il sistema equivalente
$\{(x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0),((\alpha-(\alpha)_1)x+(\beta-(\beta)_1)y+\gamma-(\gamma)_1=0):}$;
Nel nostro caso si ha
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(2x^2+2y^2-11x+3y=0):}$;
Per fare in modo che i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ siano unitari possiamo dividere la seconda equazione per $2$.
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(x^2+y^2-(11)/2x+3/2y=0):}$;
Le due circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni
si ottiene il sistema equivalente:
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),((-8+(11)/2)x+(-6-3/2)y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(((-16+11)/2)x+((-12-3)/2)y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-5/2x-(15)/2y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-5x-15y+40=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-x-3y+8=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{((8-3y)^2+y^2-8(8-3y)-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(64+9y^2-48y+y^2-64+24y-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(10y^2-30y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(y^2-3y+2=0),(x=8-3y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado
$y^2-3y+2=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*(2)*1)=9-8=1$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(3+-sqrt1)/2=(3+-1)/2 => y_1=2 ^^ y_2=1$.

Pertanto $\{(y_1=2),(x_1=8-3*2=2):} vv \{(y_2=1),(x_2=8-3*1=5):}$;
Quindi i punti d’intersezione tra le due circonferenze saranno $A(2;2)$ e $B(5;1)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.

Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-0)/(0-0)!=(0)/(5-0) => -3/0!=0$.

Essendo vera la relazione $-3/0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l’equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(0;0) in \delta => 0^2+0^2+(\alpha)*0+(\beta)*0+\gamma=0 => \gamma=0$.
$B(5;0) in \delta => 5^2+0^2+(\alpha)*5+(\beta)*0+\gamma=0 => 5(\alpha)+\gamma+25=0$.
$C(0;-3) in \delta => 0^2+(-3)^2+(\alpha)*0+(\beta)*(-3)+\gamma=0 => -3(\beta)+\gamma+9=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(-3(\beta)+\gamma+9=0),(5(\alpha)+\gamma+25=0),(\gamma=0):}$;
$\{(-3(\beta)=-9),(5(\alpha)=-25),(\gamma=0):}$;
$\{((\beta)=3),((\alpha)=-5),(\gamma=0):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell’aquazione generica si ha:
$x^2+y^2-5x+3y=0$

Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.

Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-3)/(-1+3)!=(1+3)/(1+3) => 0!=1$.

Essendo vera la relazione $0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l’equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(-3;3) in \delta => (-3)^2+3^2+(\alpha)*(-3)+(\beta)*3+\gamma=0 => 9+9-3\alfa+3\beta+\gamma=0 => 3\beta-3\alfa+\gamma+18=0$.
$B(1;-1) in \delta => 1^2+(-1)^2+(\alpha)*1+(\beta)*(-1)+\gamma=0 => (\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0$.
$C(1;3) in \delta => 1^2+3^2+(\alpha)*1+(\beta)*3+\gamma=0 => (\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(3\beta-3\alfa+\gamma+18=0),((\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0),((\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0):}$;
$\{(-3\beta+3\alfa-18=\gamma),((\alpha)-(\beta)-3\beta+3\alfa-18+2=0),((\alpha)+3(\beta)-3\beta+3\alfa-18+10=0):}$;
$\{(-3\beta+3\alfa-18=\gamma),(4(\alpha)-4(\beta)-16=0),(4(\alpha)=8):}$;
$\{(-3\beta+3*2-18=\gamma),(4*2-4(\beta)-16=0),(\alpha=2):}$;
$\{(-3\beta-12=\gamma),(4(\beta)=-8),(\alpha=2):}$;
$\{(\gamma=-3*(-2)-12=-6),(\beta=-2),(\alpha=2):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell’aquazione generica si ha:
$x^2+y^2+2x-2y-6=0$

Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$.

Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(-1-0)/(1-0)!=(0+2)/(0+2) => -1!=1$.

Essendo vera la relazione $-1!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l’equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(-2;0) in \delta => (-2)^2+0^2+(\alpha)*(-2)+(\beta)*0+\gamma=0 => 4-2\alfa+\gamma=0$.
$B(0;1) in \delta => 0^2+1^2+(\alpha)*0+(\beta)*1+\gamma=0 => 1+\beta+\gamma=0$.
$C(0;-1) in \delta => 0^2+(-1)^2+(\alpha)*0+(\beta)*(-1)+\gamma=0 => 1-\beta+\gamma=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(4-2\alfa+\gamma=0),(1+\beta+\gamma=0),(1-\beta+\gamma=0):}$;
$\{(alfa=(4+\gamma)/2),(\gamma=-1-\beta),(1-\beta-1-\beta=0):}$;
$\{(alfa=(4-1)/2=3/2),(\gamma=-1-0=-1),(2\beta=0 => \beta=0):}$;

Perciò sostituendo i valori trovati nell’aquazione generica si ha:
$x^2+y^2+3/2x-1=0$
Il m.c.m. è $2$
$(2x^2+2y^2+3x-2)/2=0$
moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$2x^2+2y^2+3x-2=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$.

Determinare le coordinate dei punti di intersezione della retta $3x-y-1=0$ con la circonferenza $x^2+y^2-3x+2y-6=0$.

Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(3x-y-1=0),(x^2+y^2-3x+2y-6=0):}$;
$\{(y=-1+3x),(x^2+(3x-1)^2-3x+2(3x-1)-6=0):}$;
$\{(y=-1+3x),(x^2+9x^2+1-6x-3x+6x-2-6=0):}$;
$\{(y=-1+3x),(10x^2-3x-7=0):}$;
Studiamo l’equazione di secondo grado:
$10x^2-3x-7=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*(-7)*10)=9+280=289$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(3+-sqrt(289))/(20)=(3+-17)/(20) => x_1=1 ^^ x_2=-(14)/(20)=-7/(10)$.

Pertanto $\{(y_1=3*1-1=2),(x_1=1):} vv \{(y_2=3*(-7/(10))-1=(-21-10)/(10)=-(31)/(10)),(x_2=-7/(10)):}$;
Quindi i punti d’intersezione tra la retta e la circonferenza saranno $A(1;2)$ e $B(-7/(10);-(31)/(10))$.

Determinare le intersezioni tra la retta $y=x$ e la circonferenza $x^2+y^2-5x+y=0$.

Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x^2+y^2-5x+y=0),(y=x):}$;
$\{(x^2+x^2-5x+x=0),(y=x):}$;
$\{(2x^2-4x=0),(y=x):}$;
$\{(2x(x-2)=0),(y=x):}$;
Pertanto $\{(x_1=0),(y_1=0):} vv \{(x_2=2),(y_2=2):}$;
Quindi i punti d’intersezione tra la retta e la circonferenza saranno $A(0;0)$ e $B(2;2)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per $O(0;0)$ e con il centro nel punto di intersezione
delle rette $2x-y-1=0$ e $x+y-5=0$.

Svolgimento

Troviamo il punto d’intersezione della coppia di rette: $x-3y-1=0$ e $x+2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(2x-y-1=0),(x+y-5=0):}$;
$\{(2(5-y)-y-1=0),(x=5-y):}$;
$\{(10-2y-y-1=0),(x=5-y):}$;
$\{(3y=9),(x=5-y):}$;
$\{(y=3),(x=5-3=2):}$;
Pertanto il punto d’intersezione sarà $A(2;3)$.

Troviamo il punto d’intersezione della coppia di rette: $x-2y=0$ e $x-2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-2y=0),(x-2=0):}$;
$\{(2-2y=0),(x=2):}$;
$\{(2y=2),(x=2):} => \{(y=1),(x=2):}$.
Pertanto il punto d’intersezione sarà $C(2;1)$.

Quindi il centro della circonferenza richiesta sarà $c(2:1)$.
Calcoliamo, ora, il raggio della circonferenza di centro $C(2;1)$ e passante per l’origine, ovvero la distanza di $C$ da $O$.
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{CO}=sqrt((0-2)^2+(0-3)^2)=sqrt((-2)^2+(-3)^2)=sqrt(4+9)=sqrt(13)$.
Troviamo, quindi l’equazione della circonferenza di centro $C(2;1)$ e raggio $sqrt(13)$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.
In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-2)^2+(y-3)^2=(sqrt(13))^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+4-4x+y^2+9-6y=13$;
$x^2+y^2-4x-6y=0$
quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per $O(0;0)$ e con il centro nel punto di intersezione
delle rette $2x-y-1=0$ e $x+y-5=0$.

Scrivere l’equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d’intersezione della
retta $x-3y-1=0$ con la retta $x+2=0$ e della retta $x-2y=0$ con la retta $x-2=0$.

Svolgimento
Troviamo il punto d’intersezione della coppia di rette: $x-3y-1=0$ e $x+2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-3y-1=0),(x+2=0):}$;
$\{(-2-3y-1=0),(x=-2):}$;
$\{(3y=-3),(x=-2):} => \{(y=-1),(x=-2):}$.
Pertanto il punto d’intersezione sarà $A(-2;-1)$.

Troviamo il punto d’intersezione della coppia di rette: $x-2y=0$ e $x-2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-2y=0),(x-2=0):}$;
$\{(2-2y=0),(x=2):}$;
$\{(2y=2),(x=2):} => \{(y=1),(x=2):}$.
Pertanto il punto d’intersezione sarà $B(2;1)$.

La distanza tra $A$ e $B$ quindi, sarà il diametro della circonferenza da determinare
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((2+2)^2+(1+1)^2)=sqrt(4^2+(2)^2)=sqrt(16+4)=sqrt(20)=2sqrt5$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $\bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(\bar{AB})/2=(2sqrt5)/2=sqrt5$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $\bar{AB}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(-2;-1), B(2;1)$ si ha
$x_M=(2-2)/2=0 ^^ y_M=(1-1)/2=0$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(0;0)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l’equazione della circonferenza di centro $C(0;0)$ e raggio $sqrt5$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza con centro nell’origine e di raggio $sqrt5$, sarà:
$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$x^2+y^2=5$;
$x^2+y^2-5=0$
Quest’ultima rappresentano l’equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d’intersezione della
retta $x-3y-1=0$ con la retta $x+2=0$ e della retta $x-2y=0$ con la retta $x-2=0$.

Scrivere l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-3;1), B(5;-2)$.

Svolgimento
Calcoliamo la  misura del diametro
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((5+3)^2+(-2-1)^2)=sqrt(8^2+(-3)^2)=sqrt(64+9)=sqrt(73)$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $\bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(\bar{AB})/2=(sqrt(73))/2$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $\bar{AB}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(-3;1), B(5;-2)$ si ha
$x_M=(5-3)/2=2/2=1 ^^ y_M=(-2+1)/2=-1/2$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(1;-1/2)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l’equazione della circonferenza di centro $C(1;-1/2)$ e raggio $(sqrt(73))/2$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-1)^2+(y+1/2)^2=((sqrt(73))/2)^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+1-2x+y^2+1/4+y=(73)/4$;
Il m.c.m. è $4$
$(4x^2+4y^2-8x+4y+4+1-73)/4=0$
moltiplicando ambo i membri per $4$
$4x^2+4y^2-8x+4y-68=0$
Dividendo ambo i membri ancora per $4$
$x^2+y^2-2x+y-17=0$
quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-3;1), B(5;-2)$.

Scrivere l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-2;1), B(4;-2)$.

Svolgimento
Calcoliamo la  misura del diametro
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((4+2)^2+(-2-1)^2)=sqrt(6^2+(-3)^2)=sqrt(36+9)=sqrt(45)=3sqrt5$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $\bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(\bar{AB})/2=(3sqrt5)/2$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $\bar{AB}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(-2;1), B(4;-2)$ si ha
$x_M=(4-2)/2=2/2=1 ^^ y_M=(-2+1)/2=-1/2$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(1;-1/2)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l’equazione della circonferenza di centro $C(1;-1/2)$ e raggio $(3sqrt5)/2$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-1)^2+(y+1/2)^2=((3sqrt5)/2)^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+1-2x+y^2+1/4+y=(45)/4$;
$x^2+y^2-2x+y+1+1/4-(45)/4=0$
Il m.c.m. è $4$
$(4x^2+4y^2-8x+4y+4+1-45)/4=0$
moltiplicando ambo i membri per $4$
$4x^2+4y^2-8x+4y-40=0$
Dividendo ambo i membri ancora per $4$
$x^2+y^2-2x+y-10=0$
quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-2;1), B(4;-2)$.

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2+4x+2y+5=0$

Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2+4x+2y+5=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=4, \beta=2, \gamma=5$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(-4/2;-2/2)=(-2;-1)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((-2)^2+(-1)^2-5)=sqrt(4+1-5)=0$.
Pertanto l’equazione $x^2+y^2+4x+2y+5=0$ rappresenta l’equazione di un punto e non di una circonferenza.

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2+x+y+3=0$

Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2+x+y+3=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=1, \beta=1, \gamma=3$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(-1/2;-1/2)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((-1/2)^2+(-1/2)^2-3)=sqrt(1/4+1/4-3)=sqrt(1/2-3)=sqrt(-5/2)$.
La soluzione non è accettabile, pertanto l’equazione $x^2+y^2+x+y+3=0$ non rappresenta l’equazione di una circonferenza.

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2-8y=0$

Svolgimento
l’equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l’equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall’equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2-8y=0$
Consideriamo l’equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=0, \beta=-8, \gamma=0$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(0;8/2)=(0;4)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((0)^2+(-4)^2-0)=sqrt(16)=4$.