La contrazione delle lunghezze

Quando la velocità di un corpo diventa molto elevata, e può essere approssimata alla velocità della luce, la dilatazione del tempo non è l’unico fenomeno che si può individuare; anche le lunghezze dei corpi vengono modificate.

Per capire le implicazioni di questa affermazione, dobbiamo definire due tipi di lunghezze riferite al corpo che stiamo considerando, la lunghezza propria e la lunghezza impropria del corpo.

Lunghezza propria e impropria

La lunghezza propria, indicata con $L_0$, è la lunghezza di un corpo a riposo, cioè a velocità nulla; si può anche definire come la distanza tra due punti misurata in un sistema di riferimento che è in quiete rispetto ad essi.

La lunghezza impropria di un corpo ( $L$ ), invece, è la lunghezza contratta, che si ha quando il corpo si sta muovendo a velocità v. La lunghezza di un segmento che si sta muovendo, quindi, può essere definita come il prodotto della velocità v a cui si sta spostando il segmento per l’intervallo di tempo necessario affinché i due estremi del segmento passino per uno stesso punto fisso.

Cerchiamo una formula generale che possa esprimere una relazione tra le due lunghezze attraverso un esempio.

Esempio

Consideriamo due osservatori posti in sistemi di riferimento differenti; il primo (A) è fermo sulla Terra, mentre il secondo (B) si sta muovendo a velocità v, prossima a quella della luce, verso una stella lontana; consideriamo il tempo impiegato dal secondo osservatore per approdare sulla stella.

Per l’osservatore in moto il tempo misurato è un tempo proprio, in quanto esso si trova in un sistema di riferimento solidale con la durata del fenomeno; di conseguenza esso misura un tempo $∆t_0$.

Per l’osservatore A, invece, il tempo misurato, ∆t, è un tempo improprio. Egli misurerà una lunghezza propria della distanza che B percorre, in quanto A è fermo rispetto alla navicella in moto; mentre la lunghezza misurata da B sarà una lunghezza contratta.

La distanza misurata dall’osservatore sulla Terra vale quindi $L_0 = v * ∆t$, mentre quella misurata dall’osservatore in moto vale $L = v * ∆t_0$. Poiché per entrambi gli osservatori la velocità è la stessa, possiamo uguagliare le due espressioni e ricavare così la relazione cercata:

$ v = frac(L_0)(∆t) , v = frac(L)(∆t_0) to L = frac(L_0)(∆t) * ∆t_0 = L_0 * frac(∆t_0)(∆t)$

Dalla formula della dilatazione del tempo, possiamo ricavar il rapporto tra il tempo proprio e quello improprio, e così la formula precedente diventa:

$L = L_0 * frac(∆t_0)(∆t) = L_0 * sqrt(1 – frac(v^2)(c^2))$

Esempio

Consideriamo due gemelli, dei quali uno, Luca, viaggia verso una stella lontana ad una certa velocità $v=0,990 c$, prossima a quella della luce; l’altro, Paolo, è fermo sulla Terra.

Conoscendo la distanza della stella dalla Terra, sappiamo che Luca percorre una distanza di 26,4 anni-luce; il tempo impiegato da Luca nel percorrere questa distanza è relativo, varia in base all’osservatore che lo misura.

Poiché Paolo misura la durata del fenomeno in un sistema di riferimento che non è solidale con esso (la partenza è sulla Terra, mentre l’arrivo è su una stella), il tempo misurato da Paolo è un tempo improprio $∆t$, mentre quello misurato da Luca è un tempo proprio $∆t_0$.

Per l’osservatore sulla Terra, il viaggio dura circa 26,4 anni:

$∆t_0 = frac(L)(v) = frac(26,4 al)(0,990 c) = 26,4 a$

Per l’osservatore in movimento, invece, il tempo si può ricavare con la formula della dilatazione dei tempi:

$ ∆t = ∆t_0 * sqrt(1 – frac(v^2)(c^2)) = 3,77 a$

Dato che la velocità relativa tra la stella e la Terra è quella a cui si sta muovendo Luca, cioè $0,990 c$, per l’osservatore in movimento la distanza tra i due corpi è minore rispetto a quella misurata da Paolo.

In questo caso, quindi, l’osservatore sulla Terra misura una distanza con l’osservatore in movimento che è una lunghezza propria, mentre quella misurata dall’osservatore in moto, è una lunghezza impropria e contratta; possiamo trovare il suo valore utilizzando la formula vista precedentemente:

$ L = L_0 * sqrt(1 – frac(v^2)(c^2)) = 26,4 al * sqrt(1 – frac((0,990 c)^2)(c^2)) = 3,73 al $

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