Vogliamo esporre una dimostrazione del noto teorema di Pappo contenuto nelle proposizioni 138 e 139 della sua ‘’Collezione matematica’’. Crediamo di fare cosa gradita al lettore per il fatto che la dimostrazione prende spunto dalla geometria proiettiva, parte della matematica che, sebbene oggi alquanto trascurata, emerge con prepotenza quando si vogliano affrontare le questioni delle trasformazioni lineari nel piano che vanno sotto il nome di omotetie, affinità, omologie etc. La dimostrazione del teorema di Pappo vuole inserirsi in questo contesto culturale. Poche nozioni di geometria proiettiva permettono di dimostrare il teorema in un modo che sorprende per la sua semplicità e brevità.

Analisi storico-critica del pensiero del matematico Bernhard Riemann sulla geometria. 1. Le oscurità della geometria. 2. Ipotesi e molteplicità. 3. Superfici a strati sovrapposti. 4. Gauss e Herbart: Il molteplice tra matematica e filosofia. 5. Pregiudizi tradizionali.  

La geometria di Bernhard Riemann (*)

1. LE «OSCURITÀ» DELLA GEOMETRIA

«Da Euclide a Legendre, per nominare il più famoso dei moderni revisori della geometria, questa oscurità non è stata chiarita né dai matematici né dai filosofi»

Il celebre scritto Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria (1) ha un’origine circostanziata: è infatti la conferenza (Habilitationsvortrag) che Bernhard Riemann pronuncia il 10 giugno 1854 per il conseguimento del titolo di «Privatdozent». La conferenza, da tenersi di fronte a un pubblico più di filosofi che di matematici, deve dimostrare la capacità del ricercatore di collegare le ricerche scientifiche del proprio settore con più ampie istanze culturali. È infatti tendenza della cultura tedesca di questo periodo cercare di ripristinare un percorso unitario del sapere, da contrapporre alla frantumazione e settorialità emersa nella Francia postrivoluzionaria (2).

Per la propria conferenza, Riemann propone al consiglio dell’Università tre temi: due su elettricità e magnetismo, uno sulla geometria. Gauss, contrariamente alle aspettative del suo allievo, sceglie l’ultimo. Scopo del lavoro è collegare le più avanzate ricerche matematiche con il problema filosofico dello spazio.

Quando Riemann tiene la conferenza, in matematica sono già avvenuti importanti cambiamenti. Tra la fine del secolo XVIII e la prima metà del XIX, si assiste a un mutamento nel rapporto sia tra matematica ed esperienza, sia tra le diverse branche della matematica. In geometria sono state introdotte delle sconcertanti novità riguardo al postulato delle parallele. Fino a tutto il secolo XVIII, i matematici avevano continuato a chiedersi se il postulato delle parallele dovesse essere assunto come assioma o come teorema. I tentativi di darne una dimostrazione sembravano progredire ma rimaneva sempre qualche difficoltà. La negazione del postulato non conduceva a proposizioni assolutamente inaccettabili ma a proposizioni indipendenti da esso e che al più potevano essere ritenute bizzarre.

Nei primi decenni dell’Ottocento, si ha un vero e proprio capovolgimento del problema. Matematici come F. K. Schweikart, F. A. Taurinus, Gauss, Lobacevskij e J. Bolyai si pongono il problema non tanto della dimostrabilità del postulato, quanto quello della sua validità, poiché ritengono che il postulato delle parallele sia logicamente indipendente dagli altri postulati e che, sostituendolo, si possano sviluppare nuove geometrie. Pertanto si rendono conto che, dal punto di vista logico-matematico, un postulato sulle parallele non è univocamente determinabile; Gauss e Lobacevskij propongono di determinare quello relativo allo spazio fisico per mezzo di misurazioni su larga scala.

Tali idee vengono accolte con indifferenza e sono ancora sconosciute alla maggior parte dei matematici, quando Riemann tiene la propria conferenza. Tuttavia esse non sono il risultato di qualche isolata ricerca, né una semplice rinuncia a una dimostrazione che sembrava irraggiungibile, quanto piuttosto il segno di profondi cambiamenti prodotti da molteplici fattori.

Fino all’alba dell’Ottocento, l’idea di sottoporre il postulato di Euclide a una verifica empirica è del tutto estranea alla cultura occidentale. I più agguerriti empiristi considerano i postulati della geometria come intuizioni sensibili e quindi come principi indubitabili. Nelle applicazioni alla fisica, la geometria è legata al calcolo infinitesimale ed utilizzata nella meccanica, secondo le idee di Newton. Dalla fine del Settecento ai primi decenni dell’Ottocento fisici e matematici francesi (Laplace, Ampère, Fourier, Fresnel, Poisson, Carnot, per citare i più importanti) ottengono nuovi e importanti risultati dall’applicazione del calcolo differenziale ai più disparati campi della fisica: meccanica, idrodinamica, termodinamica, ottica, elettricità, magnetismo. Emerge anche un nuovo ruolo del rapporto matematica-esperienza. Secondo Laplace, per esempio, la matematica non deve fornire principi necessari ed evidenti, che garantiscano a priori il valore scientifico dei risultati, né limitarsi a una sistemazione estetica dei dati fenomenologici, bensì fornire gli strumenti essenziali per una graduale e sempre migliore conoscenza dei fenomeni naturali (3).

Contestualmente alle nuove applicazioni emerge la tendenza a riorganizzare l’analisi, definendo in modo più rigoroso i concetti di base, liberandola da concetti e intuizioni più o meno vaghi provenienti dalla geometria e dalla meccanica, individuando un campo di indagine ben definito e chiarendone il ruolo nella fisica. L’analisi matematica si presta ad essere applicata alla fisica, non perché ha origine nelle osservazioni dei fenomeni fisici ma solo perché in alcuni fenomeni si possono riscontrare quelle condizioni di continuità cui soddisfano gli enti matematici. Quanto più queste condizioni sono soddisfatte, tanto più le previsioni matematiche si verificano sperimentalmente.

Questa esigenza di rigore e di autonomia comincia a penetrare anche nella geometria. Il metodo geometrico che meglio si adatta a questo processo è quello della geometria proiettiva. Nata da problemi pratici di disegno, la geometria proiettiva viene ritenuta da Poncelet (4) in grado di raggiungere il livello di rigore e autonomia dell’analisi, e di liberarsi dal supporto algebrico assegnatole da Descartes e Fermat. Inoltre, attraverso Chasles e Steiner, viene progressivamente liberata dal ricorso alle figure e quindi dalla rappresentazione intuitiva. Infine Staudt (5) elimina il concetto di distanza dai principi basilari di questa scienza e rompe il diretto legame con l’esperienza.

Si viene così a delineare un indirizzo di studi che perverrà a un’interpretazione della geometria come un sistema ipotetico deduttivo nel quale si debbono solo esplicitare i rapporti fra gli enti implicitamente definiti dagli assiomi. Giò costituisce un allontanamento dalla concezione newtoniana della geometria come parte della fìsica e da quella kantiana che la considera scienza delle intuizioni.

Altre novità nello studio della geometria vengono introdotte da Gauss, che si occupa praticamente di tutti i settori della matematica e della fisica matematica. I suoi studi sul calcolo delle probabilità, astronomia, geodesia, elettricità e magnetismo costituiscono una naturale continuazione dell’opera dei francesi. I risultati che egli ottiene testimoniano, però, che, per l’avanzamento della matematica, non è necessario separare le varie discipline e purificarle dal ricorso alla fisica. Aritmetica, geometria, analisi e fisica nei lavori di Gauss si compenetrano e si scambiano problemi, metodologie e risultati ed evidenziano la necessità di sempre nuove impostazioni metodologiche.

Le idee di Gauss sul postulato delle parallele divengono note a un pubblico ampio solo dopo la sua morte. Egli era in corrispondenza con diversi matematici impegnati nella risoluzione del problema delle parallele ed è credibile supporre che le sue idee fossero note anche nell’ambiente matematico di Gottinga. Essenzialmente Gauss ritiene che non sia possibile fondare la geometria in modo interamente a priori e che pertanto essa non vada posta accanto all’aritmetica, che è effettivamente a priori, ma sullo stesso piano della meccanica (6).

Oltre che dei citati studi sugli sviluppi di nuove geometrie, diverse da quelle di Euclide, ma fondate sullo stesso apparato metodologico, Gauss è anche autore di un nuovo metodo, messo a punto in uno scritto del 1828 (7), per trattare la geometria differenziale. Tale metodo consiste nell’applicare i risultati dell’analisi infinitesimale allo studio delle curve e delle superfici. È un indirizzo di studi che certamente non ha origine con Gauss ma che solo con la sua opera diviene pienamente attuabile.

Un altro approccio alla geometria, di cui Gauss è generalmente riconosciuto iniziatore, è quello dell’Analysis situs. Esso consiste nello studio di quelle proprietà delle figure geometriche che non dipendono dal concetto di distanza, cioè di quelle proprietà che permangono quando le figure si trasformano per continuità. Gauss non ha dedicato uno scritto specifico a questo argomento; alcuni risultati sono però espressi in articoli nei quali si applica all’Analysis situs ai problemi del potenziale elettrico e magnetico, nonché alla risoluzione delle equazioni algebriche (8). Sarà il suo allievo Listing a scrivere nel 1847 un intero trattato di topologia (9).

Per completare il quadro, va ricordato che nel 1844 viene pubblicato uno scritto di H. Grassmann (10) in cui si indica un ulteriore metodo per lo studio della geometria. Questo scritto rimane a lungo poco conosciuto, perché ritenuto oscuro e eccessivamente filosofico; esso tuttavia contiene le prime idee di quello che diverrà il calcolo vettoriale e dà origine a un modo nuovo di trattare la geometria, attraverso la struttura algebrico-operazionale dei suoi enti. Per Grassmann, la geometria non fa parte della matematica pura ma della meccanica, perché a suo giudizio la geometria non è un prodotto del pensiero puro e si riferisce a oggetti reali esistenti. Per questa ragione Grassmann traccia una teoria dell’estensione, che è un sistema generale e astratto, indipendente dalla geometria, e della quale la teoria dello spazio costituisce solo un caso particolare.

Come si può vedere anche attraverso questa rapida sintesi, quando si cerca di sviluppare nella geometria un programma di autonomia e di revisione analogo a quello in atto nell’analisi, si produce, già nella prima metà del secolo, il proliferare di numerosi nuovi metodi geometrici. Accanto al classico indirizzo deduttivo euclideo e a quello algebrico cartesiano, si fanno strada rapidamente la geometria proiettiva, che si divide in sintetica (Staudt) e analitica (Pluker), la geometria differenziale, la topologia e il calcolo vettoriale. Ma soprattutto viene a rompersi, o quantomeno a complicarsi, lo stretto rapporto tra grandezze numeriche e grandezze geometriche, che sin dai pitagorici aveva costituito la base fondamentale della trattazione unitaria della matematica.

Per quanto concerne la filosofia della geometria, lo spazio assoluto di Newton e Va priori kantiano avevano sancito l’inattaccabilità della geometria euclidea. Per altro verso, anche alcuni empiristi, per esempio Locke, Berkeley e Hume, avevano riconosciuto che la nozione di spazio si costruisce ad opera dell’intelletto, attraverso un processo di astrazione e riflessione sulle percezioni sensoriali. Lo stesso Comte, pur affermando che la matematica non è una scienza di concetti ma di fatti, non offre contributi significativi per ciò che concerne più direttamente la geometria. J. S. Mill, invece, precisa la propria posizione: la geometria si costruisce per deduzione logica da definizioni e assiomi, i quali riguardano gli oggetti reali. Deve però riconoscere che definizioni e assiomi non sono esattamente conformi agli oggetti e si ottengono per induzione dall’evidenza dei nostri sensi: l’esperienza ci mostra linee che posseggono sempre meno spessore e sempre maggiore rigidità, da qui per induzione ricaviamo la definizione di retta come limite delle linee realmente esistenti (11).

Un elemento nuovo viene introdotto da Herbart, il quale ammette che l’esperienza non è unicamente costituita da dati sensoriali bruti: i dati si presentano sotto forme e rapporti. Tali forme dell’esperienza si possono comprendere con lo studio della psicologia, la quale ci può mostrare l’effettiva origine empirica della nostra rappresentazione dello spazio. Lo spazio è una specie di sedimento lasciato dal flusso delle nostre sensazioni. Perciò la geometria non deve supporre lo spazio come qualcosa di dato ma deve costruirlo insieme con tutte le sue determinazioni, eliminando le contraddizioni che l’esperienza presenta (12).

In queste posizioni empiriste sullo spazio fisico, quindi, pur riconoscendo che la geometria si costruisce attraverso l’esperienza, si ammette che la sola esperienza non basta per fondarla. Di conseguenza esperimenti del tipo di quelli effettuati da Gauss e Lobacevskij non sono ritenuti cruciali per una fondazione empirica di questa scienza.

Stabilire i reali rapporti tra progressi della geometria e filosofia geometrica, è piuttosto difficile. Si può affermare che i filosofi generalmente pongono scarsa attenzione alle nuove ricerche e non credono che la matematica possa apportare un reale contributo alla conoscenza dello spazio. Tra i matematici vi è una situazione più articolata. Un gran numero di essi presta molta attenzione alle nuove ricerche filosofiche ma non manca chi, come Gauss, è convinto che tra matematici e filosofi si sia ormai creato un forte divario di conoscenze.

«Voi vedete il medesimo genere di cose (l’incompetenza matematica) nei filosofi contemporanei Schelling, Hegel, Nees von Essenbeck, e nei loro seguaci; non vi fanno drizzare i capelli con le loro definizioni? […] Ed anche con lo stesso Kant spesso le cose non vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella banalità o sono false» (13).

2. IPOTESI E MOLTEPLICITÀ

«Questi fatti (i fatti più semplici con cui si possono determinare le relazioni metriche dello spazio), come tutti i fatti, non sono necessari ma hanno solo certezza empirica, essi sono ipotesi».

Nelle linee principali, la conferenza di Riemann si può così riassumere. In geometria si presuppongono già dati, sia il concetto di spazio, sia i concetti fondamentali con i quali si costruiscono le figure geometriche. Le definizioni di tali concetti sono nominali e le regole per le costruzioni geometriche, invece di chiarire il significato dei concetti fondamentali, vengono presentate sotto forma di assiomi. Nonostante gli sforzi di matematici e filosofi, il significato profondo dei fondamenti della geometria rimane perciò nell’ombra. Non siamo in grado di affermare né se, o fino a che punto, le relazioni tra i concetti elementari della geometria sono necessarie, né addirittura se sono possibili.

Per comprendere il significato di queste relazioni, Riemann pensa che si debba risalire allo studio generale della nozione di grandezza molteplicemente estesa, o meglio, di molteplicità (14) (Mannigfaltigkeit) dei modi di determinazione (Bestimmungsweisen) di un concetto generale qualsiasi. Le molteplicità possono essere continue o discrete. Vi sono una quantità ragguardevole di esempi di questo secondo caso, mentre è molto più limitata la possibilità di formulare concetti i cui modi di determinazione formino una molteplicità continua: i casi più semplici sono le posizioni degli oggetti sensibili e i colori. Le molteplicità continue trovano, invece, un gran numero di applicazioni nella matematica superiore. Per questa ragione, il loro studio può essere affrontato con gli strumenti dell’analisi matematica e costituisce la base per il campo di ricerca denominato Analysis situs.

Lo studio delle molteplicità continue si fonda su due elementi: il numero di dimensioni della molteplicità e l’assegnazione delle coordinate ad ogni punto di essa. L’assegnazione delle coordinate è un’operazione arbitraria, fatta eccezione per due aspetti: il numero delle coordinate deve necessariamente corrispondere alle dimensioni della molteplicità e l’assegnazione deve essere continua.

Questa parte dello studio delle molteplicità riguarda esclusivamente il modo in cui i punti di una molteplicità continua sono disposti. È però possibile introdurre nelle molteplicità continue la nozione di distanza tra i suoi punti e determinare al loro interno relazioni metriche. Si ottiene così la possibilità di misurare le parti di una molteplicità continua e di conseguenza di fondare analiticamente la geometria.

Per compiere operazioni di misura, si devono assumere certe grandezze come unità e supporre che queste spostandosi non subiscano deformazioni. Il caso più semplice in cui è possibile spostare segmenti senza deformarli è quello descritto dal teorema di Pitagora: il suo significato analitico è che un elemento infinitesimo di linea si esprime come la radice quadrata di un’espressione differenziale di secondo grado.

L’espressione dell’elemento di linea può essere modificata nella sua formulazione matematica: dobbiamo perciò dedurre che è possibile applicare a una stessa molteplicità metriche diverse e, conseguentemente, che sono individuabili diversi modi di misurare le distanze. Elemento determinante per riconoscere tra tutte le metriche possibili quelle che effettivamente comportano delle differenze sulla molteplicità è la nozione di cuvatura. Riemann non si riferisce evidentemente al concetto geometrico e intuitivo di curvatura ma introduce una nozione del tutto nuova, astratta e analitica (15). Nel caso più semplice in cui è possibile spostare segmenti senza deformarli, la molteplicità ha curvatura nulla. Nel caso in cui sia possibile spostare parti pluridimensionali senza deformarle, la molteplicità avrà una curvatura costante ma non necessariamente nulla.

Altra questione è quella di stabilire quale, fra le molteplicità geometricamente possibili, sia adattabile allo spazio fisico. Per risolvere questo problema, è necessario caratterizzare con delle proprietà semplici ciascuna singola molteplicità; tali proprietà devono però esprimere affermazioni la cui validità possa essere sottoposta a verifica sperimentale. Una soluzione di questo problema è, a parere di Riemann, impossibile, perché esistono diversi modi per individuare i fatti semplici che sono alla base delle proprietà metriche dello spazio ma nessuno di essi si impone con il carattere della necessità. Ne consegue che allo spazio fisico possono indifferentemente essere applicate proprietà metriche diverse. L’applicazione di una certa metrica allo spazio fisico, altro non è che una semplice ipotesi.

Tutto ciò che dello spazio fisico si può dire è che esso è una molteplicità continua, illimitata e a tre dimensioni. Se, come Euclide, si assume l’ipotesi che la forma dei corpi nello spazio fisico non dipende dalla loro posizione, si deve concludere che lo spazio fisico ha curvatura costante. Anche in questo caso comunque restano indecise tre diverse possibilità a seconda che la curvatura sia costantemente nulla, positiva o negativa. Nel primo caso la somma degli angoli interni di un triangolo misurerà 180°, nel secondo avrà una misura maggiore e nel terzo una minore.

Quando si passa a verificare sperimentalmente quale di queste tre possibilità risulti valida, occorre valutare i risultati sperimentali in base alle seguenti osservazioni. Se assumiano lo spazio fisico come una molteplicità discreta, i risultati sperimentali potrebbero fornire dati esatti ma non sarebbe possibile conoscerli tutti, perché di numero elevatissimo. Se assumiamo lo spazio fisico come una molteplicità continua i risultati sperimentali risultano solo approssimativi. Ne consegue che, né il procedimento analitico, né l’approccio sperimentale possono risolvere il problema di individuare la natura della geometria della fisica.

Le misure compiute a livello astronomico hanno stabilito che lo spazio ha curvatura nulla e quindi che la geometria dell’astronomia è quella di Euclide (16). Queste misurazioni, però, sono solo approssimative, per cui, osserva Riemann, esse non possono farci conoscere nulla sulla curvatura dello spazio a livello microscopico, per altro verso, i concetti su cui si basano le misure macroscopiche, cioè corpo indeformabile e raggio di luce, perdono ogni significato a livello microscopico. Estendere la validità delle misure astronomiche a livello microscopico, significa ipotizzare che lo spazio conservi sempre la stessa curvatura. Riemann pensa invece che le relazioni metriche dello spazio nell’infinitamente piccolo possano non essere conformi ai presupposti della geometria euclidea e che si dovrebbero cambiare questi presupposti qualora si riuscisse a spiegare in modo più semplice i fenomeni naturali. Questa questione riguarda però la fisica.

Analizzando la conferenza, tenendo presente l’originalità dell’approccio riemanniano, si può affermare che in essa il problema dei fondamenti della geometria viene sviluppato secondo quattro problematiche: analisi, geometria, fisica e filosofia.

Per ciò che riguarda l’analisi matematica Riemann si propone di trovare una base per lo studio dell ‘analysis situs e fornire nuovi strumenti matematici per la teoria delle funzioni complesse e delle equazioni differenziali; a giudicare dal suo lavoro del 1857 sulle funzioni abeliane, ritiene di aver superato questo problema (17).

In geometria si propone di mostrare come uno studio dei fondamenti di questa scienza si può sviluppare seguendo una nuova via. Invece di porre alla base della geometria nuove definizioni e nuovi assiomi da sostituire a quelli di Euclide, si possono dedurre sia la geometria di Euclide, sia ogni altra geometria possibile, dal concetto generale di molteplicità e di metrica.

Per ciò che riguarda la natura dello spazio fisico riconosce che non è un problema matematico. La matematica deve fornire gli strumenti per formulare ipotesi, tenendo il più lontano possibile pregiudizi inveterati. Per questo scopo, l’approccio tradizionale alla geometria, che è di tipo assiomatico, è inadatto. Lo spazio va studiato non nella sua globalità ma nel suo comportamento locale e quindi nella sua struttura infinitesima: 

dal punto di vista matematico solo l’analisi può garantire un tale studio. Inoltre, la teoria del potenziale, che sembra ricca di sviluppi in fisica e in matematica, è fondata sul calcolo analitico; in fisica, le proprietà degli oggetti si possono cogliere, secondo Riemann, attraverso il loro modo di essere nell’infinitamente piccolo. Riemann è perciò convinto che le ipotesi per lo spazio fisico vanno elaborate in termini di analisi matematica. La verifica sperimentale delle ipotesi e la loro connessione con le leggi generali dei fenomeni sono argomento esclusivo della fisica.

A conferma di ciò, e per meglio comprendere il ruolo che l’ipotesi ha nel pensiero di Riemann, va osservato che nella conferenza di abilitazione il termine «Hypothesen» è utilizzato, oltre che nel titolo, solo in un passaggio del testo, dove ha il significato di ipotesi fisica nel senso sopra precisato. Nel resto del saggio, dove si fa riferimento ad ipotesi della geometria, del tipo di quelle ammesse da Euclide con i suoi postulati, Riemann usa il termine « Voraussetzungen», cioè più «presupposti» che non «ipotesi».

In campo filosofico, alla controversa questione se lo spazio sia a priori o di origine empirica, la risposta di Riemann sembra essere che lo spazio non è completamente a priori, lo è solo per ciò che riguarda le grandezze molteplicemente estese. Le grandezze numeriche infatti sono argomento dell’analisi matematica e godono di un grado di validità che va al di là delle osservazioni sperimentali. Le altre caratteristiche dello spazio, e in primo luogo il concetto di distanza, non si impongono necessariamente.

L’implicazione più sconvolgente delle idee di Riemann, almeno sul piano filosofico, è l’aver sostanzialmente negato una posizione privilegiata al problema dello spazio fisico e di aver inserito l’aspetto a priori della geometria nell’analisi matematica e quello empirico nella fisica.

In sintesi, la geometria ha un suo fondamento nell’analisi. Sono analiticamente pos-sibili geometrie diverse; le misurazioni empiriche non sono in grado di determinare con precisione le caratteristiche geometriche dello spazio fisico.

Si tratta di affermazioni che modificano radicalmente gli schemi interpretativi della geometria. È perciò utile, per comprendere le sue affermazioni nel loro più ampio significato, ripercorrere brevemente la sua formazione culturale e le ricerche che aveva svolto in precedenza.

3. SUPERFICI A STRATI SOVRAPPOSTI

«Tali ricerche sono divenute necessarie in diverse parti della matematica, specialmente per trattare le funzioni analitiche a più valori e la loro mancanza è proprio il motivo principale per cui il noto teorema di Abel e i contributi di Lagrange, Pfaff, Jacobi alla teoria generale delle equazioni differenziali sono rimasti così a lungo infruttuosi».

Riemann ha studiato nelle Università di Berlino e di Gottinga, rispettivamente con Dirichlet, Jacobi e Eisenstein prima, Gauss e Weber dopo. A Berlino, dove prevale l’indirizzo analitico rigorista, entra in contatto con le recenti ricerche sulle funzioni di variabile complessa, le equazioni differenziali alle derivate parziali, la risoluzione di integrali, le funzioni abeliane ed ellittiche. A Gottinga prevale invece un indirizzo geo-metrico intuitivo, più attento alle applicazioni della matematica alla fisica. Sotto il profilo metodologico, l’opera di Riemann risulta particolarmente influenzata da quest’ultimo indirizzo.

La dissertazione dottorale, presentata alla fine di novembre del 1851 all’Università di Gottinga, è dedicata ai Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veranderlichen complexen Grosse (Fondamenti per una teoria generale delle funzioni di una grandezza variabile complessa). Eisenstein, seguendo l’indirizzo di Lagrange, aveva identificato un ramo di una funzione complessa (18) con una serie convergente. Riemann si pone da un altro punto di vista: fondare l’intera teoria delle funzioni complesse sull’equazione di Laplace. Vengono così messi in luce gli stretti rapporti che intercorrono tra funzioni complesse e teoria del potenziale. Servendosi dei teoremi relativi alla teoria del potenziale, e in particolare del principio di Dirichlet, stabilisce che le funzioni complesse si possono caratterizzare per mezzo dei valori che esse prendono sul contorno di un certo dominio e delle singolarità presenti all’interno del dominio. Da queste premesse si evince il modo di procedere di Riemann: tenere costantemente collegate analisi, geometria e fisica, per utilizzare le metodologie dell’una nell’altra. Quest’aspetto è di fondamentale importanza per comprendere la sua opera di matematico.

Nello studio delle funzioni complesse si presentano inevitabilmente funzioni a più valori. Ciò comporta serie difficoltà per l’applicazione dei metodi analitici delle funzioni reali alle funzioni complesse. L’analisi reale infatti, così come era stata riorganizzata da Cauchy, pone alla base della definizione di funzione la condizione che si stabilisca una relazione tra un valore della variabile e un unico valore della funzione. Riemann riesce a trasformare le funzioni complesse a più valori in funzioni a un solo valore, servendosi di una metodologia di tipo geometrico. Prima di tutto utilizza la rappresentazione, realizzata da Gauss, dei numeri complessi mediante un piano; in questo modo le funzioni di variabile complessa divengono funzioni che trasformano un piano in un altro. Introduce un ente geometrico del tutto nuovo: una superficie a strati sovrapposti (aufeinander liegenden Flachenteile). Considera come dominio delle funzioni a più valori non il piano ma una superficie a più strati. Tale superficie è costruita in base al numero di valori della funzione, in modo che ad ogni punto del piano corrispondano tanti punti sulla superficie quanti sono gli strati; in ognuno di questi punti dello strato la funzione assume uno dei valori possibili. Può comunque accadere che per certi punti del piano la funzione assuma un solo valore, allora i valori della funzione, che generalmente sono distribuiti su più strati, in questi punti devono confluire in un unico valore: tali punti sono detti di ramificazione (Verzweigungspunkt). Di conseguenza gli strati della superficie debbono collegarsi proprio in questi punti e in un modo che non è semplice da rappresentare. Infatti, quando la variabile compie un giro completo intorno a un punto di diramazione, deve poter passare con continuità da uno strato all’altro della superficie, e dopo aver compiuto un numero di giri pari agli strati della superficie, deve poter ritornare allo strato di partenza.

Questa superficie, in seguito detta superficie di Riemann, non può essere visualizzata nemmeno per i casi più semplici; se ne può immaginare l’andamento in alcune zone ma non se ne può avere una rappresentazione globale. Si tratta di un oggetto di natura geometrica che sfugge al modo di procedere delle normali costruzioni geometriche; la sua costruzione, infatti, richiede una concezione astratta dello spazio della variabile. Essa, qualora ne venga accettata l’esistenza, evidenzia che la geometria ordinaria è troppo angusta per gli sviluppi conseguiti dall’analisi: è perciò necessario che la geometria analitica subisca un processo di ampliamento per essere posta nella condizione di svolgere adeguatamente la propria funzione all’interno delle problematiche dell’intera matematica. Riemann, rendendo uniformi le funzioni multiformi, spinge l’analisi complessa verso un processo di geometrizzazione ma, al tempo stesso, crea le premesse per una totale revisione della geometria.

Il tema della geometrizzazione dell’analisi viene ripreso in un altro passaggio della tesi di Riemann, quando si prova che il teorema integrale di Cauchy non è sempre valido. L’integrale di una funzione complessa calcolato lungo una curva chiusa posta su una superficie assume valori diversi in base alle caratteristiche geometriche della superficie. Ispirandosi alle idee embrionalmente esposte da Euler e Gauss, introduce la nozione di ordine di connessione (Zusammenhangsordnung) di una superficie. Una superficie è semplicemente connessa quando con un taglio si divide sempre in due parti separate; molteplicemente connessa nel caso in cui occorrano più tagli. I diversi valori dell’integrale di Cauchy dipendono, conclude Riemann, dall’ordine di connessione del dominio della funzione. La nozione di connessione è di natura puramente topologica, ossia non dipende dal concetto di distanza ma esclusivamente dal modo in cui la superficie è disposta. Riemann, quindi, si rende conto che per l’analisi matematica è importante uno studio delle figure geometriche indipendente e più generale di quello affrontato dalla geometria analitica. Esso deve essere indipendente dal concetto di distanza che invece si inserisce automaticamente nell’approccio cartesiano alla geometria.

4. GAUSS E HERBART: IL MOLTEPLICE TRA MATEMATICA E FILOSOFIA

«Nel tentare di risolvere inizialmente il primo di questi problemi, lo sviluppo del concetto di grandezza molteplicemente estesa, […] non ho potuto assolutamente servirmi di nessuno studio precedente, eccetto alcuni cenni molto brevi che Gauss ha dato su questo argomento […] e di alcune ricerche filosofiche di Herbart».

Riemann indica come base filosofica del suo modo di affrontare il problema dello spazio il concetto di grandezza molteplicemente estesa. Per quanto detto nel primo paragrafo, è abbastanza normale che egli si preoccupi più di indicare gli autori ai quali si è ispirato per la formulazione di questo concetto matematico e filosofico, che non di indicare l’origine dei teoremi che sottostanno alla sua trattazione.

Riemann cita esplicitamente gli scritti di Gauss in cui è abbozzato il concetto di molteplicità. Il primo di questi scritti è la memoria sui residui biquadratici (19). Gauss dimostra che i numeri complessi possono essere interpretati come una molteplicità a due dimensioni, e dà quindi una rappresentazione geometrica di questi numeri. Gauss ritiene in questo modo di avere posto nuova luce sulla vera metafisica dei numeri complessi. Il secondo scritto di Gauss tratta invece delle equazioni algebriche (20). Gauss, per dimostrare il teorema fondamentale dell’algebra, si serve di una metodologia che, come egli stesso afferma, appartiene all’analysis situs, perciò pone una distinzione tra geometria della posizione e geometria delle grandezze. Secondo i più recenti studi storici (21), ciò che ha maggiormente orientato Riemann è il seguente passo di Gauss:

«Il vero contenuto di tutta l’argomentazione appartiene a un dominio superiore, indipendente dalla geometria dello spazio, la teoria generale astratta delle grandezze, il cui argomento è costituito dalle combinazioni di grandezze connesse tra di loro in modo continuo, un dominio che è ancora poco coltivato e nel quale non ci si può muovere senza un linguaggio preso in prestito dal contesto della geometria dello spazio» (22).

Il concetto di molteplicità ha quindi origine in questi pochi riferimenti di Gauss. Esso, sicuramente, era già stato compreso da Riemann nella stesura della tesi di dottorato. In essa si era infatti servito dell’idea di Gauss di rappresentare i numeri complessi mediante un piano. Gauss, tuttavia, non parla di un «piano» dei numeri complessi, poiché si rende conto che non si tratta di un vero e proprio piano nel senso usuale del termini, usa l’espressione «molteplicità bidimensionale» (zweidimensionalen Mannigfaltigkeit). Riemann nella sua tesi usa inizialmente il termine «dominio di grandezze bidimensionali» (Grofiengebietes von zwei Dimensionerì) e successivamente quello di «piano» (Ebene). La superficie a più strati, pur essendo una parte di questo dominio e quindi non una vera e propria superficie, viene chiamata ugualmente «superficie» (Flàche). È chiaro però che Riemann usa questi termini in modo generico, senza precisarli e quando parla di superficie ha già in mente una molteplicità bidimensionale di grandezze numeriche. Per tutti questi concetti Riemann trova una precisa collocazione matematica nella teoria generale delle molteplicità (23).

Nella seconda parte della conferenza di abilitazione, dove si introduce il concetto di metrica, Riemann sostiene di servirsi dei risultati ottenuti da Gauss nella memoria sulle superfici curve (24). Non vi è dubbio che Riemann sviluppa lo studio delle molteplicità pluriestese come generalizzazione dei risultati ottenuti da Gauss per le superfici curve. Una breve analisi di questo processo di generalizzazione può essere utile a capire la portata innovativa della memoria di Riemann.

Solitamente nello studio delle superfici si tiene conto di termini che si riferiscono a punti e linee che giacciono interamente sulla superficie e di termini che si riferiscono a punti e linee che giacciono in parte sulla superficie e in parte fuori di essa. Secondo questo modo di procedere non sarebbe stato possibile studiare le molteplicità senza pensarle immerse nello spazio geometrico. Gauss, però, ha fatto vedere che tutti i termini del secondo tipo possono essere eliminati e che quindi è possibile studiare una superficie senza necessariamente pensarla come parte dello spazio. Da questo risultato, con un ardito passaggio, Riemann si convince che sia possibile anche uno studio delle molteplicità senza fare alcun riferimento al concetto di spazio.

Fino alla memoria di Gauss, le superfici dello spazio tridimensionale venivano solitamente trattate per mezzo di equazioni che legano tra di loro le tre coordinate spaziali, oppure esprimendo una delle tre coordinate per mezzo delle altre due: è la rappresentazione di una superfice nella geometria cartesiana. Euler aveva introdotto però l’idea che, poiché una superficie ha due dimensioni, per determinare le coordinate dei suoi punti sono sufficienti due parametri: le tre coordinate si possono ottenere tramite questi due parametri. Gauss, che, prima di occuparsi di geometria differenziale, si era interessato di problemi relativi alla misurazione e rappresentazione della superficie terrestre mediante carte, si rende conto dell’utilità di una rappresentazione di questo tipo rispetto a quella cartesiana e si propone di servirsene per il proprio studio sistematico delle superfià.

La rappresentazione parametrica consiste nel riferirsi a sistemi di assi curvilinei che giacciono sulla superficie: essa è quindi una rappresentazione intrinseca alla superficie. Le coordinate in questo caso vengono dette coordinate curvilinee. Il vantaggio è evidente nel caso si consideri la superficie terrestre. Per individuare un punto sulla superficie terrestre infatti è più conveniente dare una longitudine e una latitudine piuttosto che dare tre coordinate in un sistema di riferimento posto nello spazio. Nel primo caso infatti, si fa riferimento a posizioni della superficie terrestre; nel secondo, bisogna immaginarsi fuori dalla superficie.

In sostanza le coordinate curvilinee permettono di individuare i punti della superficie senza fare riferimento allo spazio in cui tale superficie si sviluppa. La generalizzazione che compie Riemann consiste nel ritenere che sia possibile assegnare coordinate ai punti della molteplicità senza fare alcun riferimento ad assi cartesiani dello spazio geometrico.

Il passo successivo è quello di introdurre dei metodi per misurare le distanze sulle molteplicità. Anche qui Riemann si serve dei risultati di Gauss. Gauss ha fatto vedere in che modo sia possibile effettuare misure su una superficie senza fare riferimento allo spazio esterno. Si è servito delle coordinate curvilinee delle superfià e ha ottenuto un’espressione differenziale del secondo ordine che permette di calcolare la misura di un tratto infinitesimo delle curve giacenti sulla superficie. Da questo modo di misurare le distanze segue immediatamente che la geometria di una superficie curva non è una geometria euclidea. Infatti, se consideriamo la superficie di una sfera, è possibile calcolare in due modi la distanza tra due dei suoi punti. Si può misurare il percorso più breve che li unisce; esso attraversa la superficie e giace nello spazio interno. In questo caso la geometria della sfera è la stessa di quella dello spazio. Se invece ci imponiamo di non uscire dalla superficie, il percorso più breve tra i due punti è un arco di circonferenza. In questo caso le misure sono intrinseche alla superficie ma la geometria che ne segue non è euclidea.

La generalizzazione compiuta da Riemann per ciò che concerne la misura delle distanze è duplice e va ben al di là del lavoro di Gauss. Riemann per compiere le misure sulla molteplicità si serve della formula trovata da Gauss, sviluppa però il suo lavoro sulla convinzione che sia anche possibile alterare i coefficienti che compaiono nella formula della distanza. Ottiene come conseguenza modi diversi di effettuare le misure nella stessa molteplicità. Per le problematiche concernenti la geometria dello spazio, ciò comporta che nell’usuale spazio tridimensionale la stessa superficie può avere, oltre a una metrica che consegue da quella dello spazio, metriche di tipo diverso e del tutto arbitrarie. Non solo, anche la metrica dello spazio usuale può essere arbitrariamente alterata. È questo, probabilmente, il contributo più rilevante che Riemann dà al problema della geometria dello spazio.

Un altro risultato importante ottenuto da Riemann riguarda il movimento dei corpi solidi nello spazio. Riemann riconosce che la possibilità di effettuare misure nello spazio è strettamente legata alla possibilità di muovere i corpi senza che si deformino. Questo risultato influirà in maniera determinante sugli studi successivi dei fondamenti della geometria e diverrà il punto di partenza per la nozione di gruppo di trasformazioni. La matrice di questa idea si può rintracciare in un risultato matematico ottenuto da Gauss. Se si muove una parte di una superficie facendola scorrere sulla stessa superfìcie cui appartiene, essa aderirà perfettamente in ogni momento solo se la sua curvatura è punto per punto identica a quella della superficie, ossia se quest’ultima ha sempre la stessa curvatura. Una tale proprietà discende dal teorema, da Gauss detto «theorema egregium», che stabilisce che se due superfici possono essere messe in corrispondenza punto per punto, in modo che l’elemento di distanza abbia in entrambe la stessa espressione, allora le due superfici sono dette isometriche e hanno la stessa geometria: in particolare nei punti corrispondenti hanno la stessa curvatura.

La generalizzazione compiuta da Riemann consiste nel ritenere che lo stesso teorema valga per le molteplicità e in particolare per lo spazio tridimensionale. In questo caso le parti di superficie considerate da Gauss divengono parti tridimensionali dello spazio, ossia corpi. Applicando il teorema di Gauss si ottiene che per muovere un corpo senza che si deformi la curvatura dello spazio deve essere costante. Di conseguenza, se effettuare misure nello spazio comporta il trasportare un corpo scelto come unità di misurarle misure hanno valore se il corpo non si deforma durante questo movimento; ciò può accadere solo se lo spazio ha curvatura costante, anche se non necessariamente nulla. L’utilizzazione da parte di Riemann dei risultati matematici ottenuti da Gauss è quindi evidente ed è anche evidente che per il concetto di molteplicità si è servito di qualche idea avanzata da Gauss.

È invece molto discusso dagli storici il reale apporto che la filosofia di Herbart ha potuto avere sulla formulazione delle idee esposte nella conferenza; del resto lo stesso Riemann non fa riferimento a precise opere di Herbart ma genericamente alle ricerche filosofiche di quest’ultimo. Fino a qualche decennio fa, era luogo comune che Riemann si fosse servito delle idee di Herbart e tutti gli storici hanno intravisto in qualche aspetto della filosofia di Herbart il nocciolo filosofico delle idee di Riemann. Russell aveva creduto di trovare ben sei punti della filosofia di Herbart utilizzati da Riemann (25). Più recentemente Torretti ha dimostrato invece che su quasi tutti i punti vi è discordanza tra i due autori (26). Secondo alcuni studi storici ancora più recenti, Herbart ha avuto ben poca influenza diretta sulla matematica di Riemann, mentre ha influito sulle sue idee filosofiche, che però Riemann ha sviluppato in pochi scritti inediti. In particolare Scholz ritiene che il concetto di molteplicità di Riemann non ha alcuna connessione con il pensiero geometrico di Herbart e che esso sia stato elaborato esclusivamente in ambito matematico (27). G. Nowak ritiene che la filosofia dello spazio abbia influenzato Riemann senza che questi la condividesse completa-mente (28).

Tuttavia, per comprendere meglio il rapporto tra filosofia e matematica nella memoria di Riemann, va osservato, come già si è detto, che è una tendenza generale della cultura tedesca di quel momento cercare di unificare conoscenze provenienti dalla scienza con quelle provenienti dalla filosofia, nonché della tendenza abbastanza diffusa tra i matematici di affermare di essersi ispirati a qualche filosofo. Non va poi dimenticato che era proprio nello spirito della conferenza di abilitazione porre il collegamento tra ricerche matematiche e ricerca filosofica. Infine, come osserva lo storico Nowak, è molto probabile che, quando Riemann tiene la conferenza, tra gli ordinari di Gottinga sia presente Lotze. Lotze era succeduto a Herbart ed era indiscutibilmente un kantiano, e pur apprezzando l’opera di Herbart dissentiva da questi proprio in materia di filosofia della geometria. Pertanto Riemann, prudentemente, invece di criticare apertamente Kant si dichiara influenzato da Herbart, e cioè, invece di affermare che le sue ricerche matematiche hanno provato l’insostenibilità della posizione kantiana, ha voluto dire che sono state le nuove dottrine filosofiche a influire sulle sue ricerche matematiche.

5. PREGIUDIZI TRADIZIONALI

«Tali studi, che, come quello condotto qui, partono da concetti generali, possono solo servire a che questo compito (la soluzione del problema della validità dei postulati della geometria) non sia ostacolato dalla limitatezza dei concetti e che il progresso nella conoscenza delle connessioni delle cose non sia ostacolato da pregiudizi tradizionali».

La conferenza di Riemann, sebbene accolta con molto entusiasmo da parte di Gauss (29), rimane inedita fino a un anno dopo la morte del suo autore. La stessa indifferenza, almeno inizialmente, era toccata alle opere di Lobacevskij e Bolyai. Dopo la morte di Gauss, prima il necrologio del suo collega Sartorius von Waltershausen, poi la pubblicazione tra il 1860 e il 1863 della corrispondenza tra Gauss e Schumacher, rendono pubbliche le convinzioni del grande matematico tedesco sul postulato di Euclide e contribuiscono ad accendere il dibattito sul tema dei fondamenti della geometria.

L’inizio vero e proprio del dibattito è opera però di un costante e lungo lavoro di alcuni geometri minori; i quali, più che portare nuovi risultati, contribuiscono a rendere noti quelli di Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann. In Germania R. Baltzer, nella seconda edizione del suo libro Elemente der Mathematik del 1867, sostituisce la definizione euclidea di retta parallela con quella derivata dalle nuove concezioni sulla geometria; giustifica questa innovazione affermando che la nuova definizione è più generale di quella ordinaria. Nello stesso tempo, Baltzer richiama l’attenzione del francese J. Houell sulle nuove geometrie. Houell da tempo si interessa di questioni di geometria elementare. Nel 1866 traduce dal tedesco l’opuscolo di Lobacevskij e un estratto della corrispondenza fra Gauss e Schumacher; nel 1867 traduce lo scritto di Bolyai sulle geometrie non euclidee. In Italia le traduzioni di questi scritti sono opera di A. Forti e G. Battagliai (30).

Il problema della posizione da prendere nei confronti delle nuove geometrie è in questo periodo di scottante attualità per la cultura italiana, perché direttamente connesso con quello dell’insegnamento della geometria nelle scuole del nuovo Regno. Una proposta di riforma di questo insegnamento fatta da Cremona e Brioschi prevede infatti l’adozione degli Elementi di Euclide come testo per l’insegnamento della geometria nelle scuole classiche. A questo indirizzo si contrappone l’opera di G. Battaglini che a Napoli nel 1867 fonda e dirige il Giornale di Matematica. La nuova rivista diviene ben presto il giornale della geometria non euclidea e vi collaborano matematici di livello europeo. Si scatena così un furibondo clima di polemiche, nel quale le nuove geometrie vengono definite da alcuni come geometrie del soprasensibile e da manicomio (31).

Nel 1867 sulle Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gòt-tingen viene pubblicata a cura di Dedekind la conferenza di abilitazione di Riemann; nel 1870 viene pubblicata la traduzione francese a cura di Houell e nel 1873 quella inglese a cura di W. Clifford.

La pubblicazione della conferenza di Riemann convince Beltrami a pubblicare nel 1868 il famoso Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (32). Il saggio era stato redatto da più di un anno (33) e si serve di alcune intuizioni geometriche presenti anche nella conferenza di Riemann (34). Riemann, infatti, aveva dato dei modelli per visualizzare le superfici a curvatura costante positiva e negativa. Quelle a curvatura positiva, afferma Riemann, si possono immaginare come sfere di raggio uguale a uno, diviso per la radice quadrata della curvatura; quelle a curvatura negativa hanno la forma della parte interna rivolta verso l’asse della superficie di un anello. Beltrami comprende la portata di questi modelli per il dibattito allora in corso sull’accettazione delle nuove geometrie e dimostra che è possibile dare un substrato reale agli spazi a curvatura costante negativa previsti da Lobacevskij e Bolyai. Beltrami mostra come, all’interno della geometria euclidea, sia possibile costruire una superficie che abbia tutte le caratteristiche della geometria di Lobacevskij. In questo modo, anche se non in maniera completa (35), la non contraddittorietà dei postulati della geometria di Lobacevskij viene ricondotta a quella dei postulati della geometria ordinaria, e, da un punto di vista puramente logico, le due geometrie divengono assolutamente equivalenti.

Il saggio di Beltrami diviene subito noto a livello internazionale e fornisce la chiave giusta per risolvere, da un punto di vista logico-matematico, il problema del V postulato di Euclide. Tra gli anni Settanta e Ottanta il problema della validità logica delle geometrie non euclidee viene definitivamente risolto. I modelli di Beltrami, Klein e Poincaré, provenienti anche da problematiche diverse della matematica, riducono la validità logica delle geometrie non euclidee a quella della geometria euclidea: poiché nessuno dubita della validità della geometria euclidea, tutte le geometrie vengono accettate come matematicamente possibili e valide. Infine nel programma di Erlangen del 1872 Klein stabilisce definitivamente che la geometria euclidea e quelle non euclidee derivano da un’unica geometria, quella proiettiva (36).

Conseguentemente alla organizzazione delle geometrie concepita da Klein, i manuali di geometria ma anche gli altri testi che si occupano di questo argomento, riportano, accanto alla geometria euclidea, la geometria iperbolica, o geometria di Lobacevskij, e la geometria ellittica, o geometria di Riemann. Riemann e Lobacevskij vengono considerati come i fondatori delle due geometrie non euclidee.

Secondo questa schematizzazione, il contributo originale di Riemann consiste nel l’aver provato la possibilità di un tipo di geometria per lo spazio, quella a curvatura positiva, che era stata ritenuta da Lobacevskij improponibile. Lobacevskij ritiene infatti che lo spazio in quanto infinito non può avere curvatura positiva. Riemann invece, senza tenere conto dello scritto di Lobacevskij, che probabilmente non conosceva, mette in luce che la caratteristica dello spazio di essere finito dipende dalla metrica, mentre quella di essere illimitato è una caratteristica intrinseca allo spazio. Ciò che generalmente sappiamo, afferma Riemann, è che lo spazio si estende in maniera illimitata in ogni direzione, nonostante ciò esso può essere finito. Un esempio è la superficie di una sfera, che pur essendo finita è illimitata.

Il lavoro di Riemann, inserito nel dibattito sulle geometrie non euclidee, viene però ridimensionato nella sua portata innovatrice. Le ipotesi di Riemann vengono intese come ipotesi matematiche da sostituire agli assiomi della costruzione euclidea. Tutto il saggio appare ad alcuni come un modo tortuoso e poco chiaro per dire ciò che Gauss già sapeva e che Lobacevskij aveva già pubblicato. Veronese, per esempio, nel suo scritto Fondamenti di geometria afferma:

«Le ipotesi di Riemann non soltanto confermano quella di Lobacevskij, ma egli stesso ha fatto rilevare che lo spazio sebbene illimitato può essere finito. E questo è a mio parere il risultato più importante della memoria di Riemann, per quanto ad esso si possa giungere in un modo molto più semplice» (37).

Le implicazioni filosofiche della conferenza vengono invece riscoperte da Helmholtz. Helmholtz non si occupa della validità matematica delle nuove geometrie, bensì dei fondamenti della geometria dal punto di vista filosofico-psicologico; sviluppa le sue ricerche nell’ambito della fisiologia e psicologia degli organi di senso e perviene alla problematica dei fondamenti della geometria nel corso dei suoi studi sulla vista e, più precisamente, sulla localizzazione degli oggetti percepiti visivamente. Scrive un primo saggio sui fondamenti della geometria nel 1866, Nel 1868 si accinge a scriverne un secondo, quando viene a conoscenza che Riemann si era occupato di questo problema. Ricevuta una copia della memoria di Riemann, Helmholtz conclude nel mese di giugno il suo studio Sui fatti che stanno a fondamento della geometria (38).

Il titolo è chiaramente in contrapposizione con quello di Riemann: la tesi di Helmholtz è che le condizioni che Riemann chiama ipotesi siano invece dei fatti. Per Riemann lo studio dello spazio fisico deve essere condotto in maniera analoga allo studio della fisica: si avanzano alcune ipotesi sul tipo di metrica dello spazio e si verifica sperimentalmente quale nel contesto della teoria fisica in atto funziona meglio. Per Helmholtz la percezione del fatto che in natura esistono dei corpi rigidi, e cioè dei corpi che muovendosi rimangono inalterati nella forma, è la condizione che da sola, senza ulteriori ipotesi, ci consente di stabilire la natura dello spazio nel quale percepiamo i corpi. Il punto di partenza utilizzato da Riemann, e cioè il concetto di metrica e il suo stretto legame con il movimento dei corpi è, secondo Helmholtz, effettivamente alla base del processo biologico-psicologico di costruzione dello spazio.

Attraverso questo recupero della conferenza di Riemann, viene a delinearsi una nuova impostazione per il problema filosofico-matematico dello spazio, noto come problema di Riemann-Helmholtz: il fatto che in natura esistano corpi rigidi che possono liberamente muoversi è da solo in grado di determinare la natura geometrica dello spazio in cui organizziamo le nostre percezioni?

Riemann viene riconosciuto come l’autore della formulazione matematica del problema ed Helmholtz di quella filosofica (39). Si tratta evidentemente di un parziale recupero delle conclusioni di Riemann, conclusioni che peraltro non convergono con quelle di Helmholtz. Infatti Helmholtz inizialmente ritiene che l’esistenza dei corpi rigidi caratterizzi univocamente la geometria dello spazio fisico come geometria euclidea, sarà però costretto a ricredersi per un’obiezione mossagli da Beltrami: come aveva affermato Riemann, l’esistenza dei corpi rigidi ci assicura solo che lo spazio ha curvatura costante e non necessariamente nulla.

Il saggio di Helmholtz diviene dal punto di vista filosofico un superamento di quello di Riemann (40). Helmholtz è infatti impegnato a dare un effettivo collegamento tra la filosofia di Kant, Fichte, Herbart e le scienze empiriche. Già nel saggio del 1855 Uber das Sehen des Menschen, Helmholtz aveva mostrato come Va priori kantiano non fosse altro che una specie di legge empirica che agisce a livello di psicologia e fisiologia degli organi di senso. Così anche il problema dello spazio fisico trova il suo collegamento con la filosofia, e quindi con la teoria della conoscenza, non per il tramite della fisica, bensì della biologia. Tuttavia Riemann aveva in sostanza negato che il problema dello spazio fisico potesse essere risolto sul piano filosofico e che esso potesse avere una sua «dignità gnoseologica» (41). Helmholtz invece riafferma questa dignità.

Una forte rivalutazione del lavoro di Riemann, dal punto di vista filosofico, fisico e matematico si ha a partire dal secondo decennio del nuovo secolo. L’impostazione di Riemann dello studio delle molteplicità, o varietà come verranno poi chiamate, trova terreno fertile tra i matematici italiani. Ricci Curbastro e Levi-Civita, attraverso gli studi di Beltrami e L. Bianchi, pervengono nel 1899 a un nuovo e più generale calcolo differenziale. In questa memoria vengono poste le basi del calcolo differenziale assoluto, che è un algoritmo rivolto a trattare le proprietà delle varietà riemanniane a un numero qualunque di dimensioni, mediante operatori invarianti e covarianti rispetto alle trasformazioni che conservano l’elemento di linea. Tale memoria, assieme a quella del 1917 di Levi-Civita, pone le basi per l’applicazione del nuovo metodo di calcolo alla teoria della relatività generale di Einstein. Nella teoria di Einstein, la struttura metrica del continuo spazio-temporale è messa in relazione punto per punto con il tensore massa-energia attraverso le equazioni del campo e la curvatura dello spazio risulta variabile e dipendente dalla distribuzione della massa-energia.

Le varietà riemanniane divengono tra gli oggetti più studiati in matematica. In filosofia il problema dello spazio acquista una posizione centrale nel dibattito sul valore delle conoscenze empiriche e il passo della conferenza di Riemann:

«[…] la base delle relazioni metriche deve essere cercata al di fuori delle molteplicità, nelle forze di legame che in esse agiscono».

diviene una «visione profetica», «un’anticipazione di alcune idee centrali della gravitazione di Einstein» (42). Rimane così l’equivoco, in qualche trattazione sull’argomento, che la geometria ellittica di Riemann sia la geometria accettata da Einstein nella teoria della relatività generale.

S. Donato di Lecce

ANTONIO BERNARDO

(*) Articolo pubblicato su "Cultura e scuola", N. 122, 1992, pp. 252-269.

(1) B. RIEMANN, Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grmde liegen, in «Abhandlungen der Kòniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gòttingen», voi. 13 (1866/1867), Gòttingen. Ripubblicata in Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematiche Werke Und Wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig, Teub- ner, 1876. Traduzione italiana in A. EINSTEIN, Relatività: esposizione divulgativa, e scritti classici su Spazio Geometria Fisica (a cura di B. CERMIGNANI), Torino, Boringheri, 1977.

(2) Cfr. S. POGGI, Introduzione a II Positivismo, Bari, Laterza, 1987.

(3) Cfr. P. S. LAPLACE, Essai philosophique sur les probabilités, Courcier, Parigi, 1814. Trad. it. Opere di Pierre Simon Laplace, a cura di O. PESENTI CAMBURSANO, Torino, UTET, 1967, pp. 241-404.

(4) Cfr. J. V. PONCELET, Traité des propriétès projectives des figures, Paris, Bachelier, 1822.

(5) Cfr. K. G. C. VON STAUDT, Geometrie der Lage, Niirnberg, Bauer-Raspe, 1847.

(6) Cfr. Lettera del 28 aprile 1817 a Olbers, in C. F. GAUSS, Werke, Leipzig, Teubner, 1900, voi. VILI, p. 177. Parzialmente tradotta in italiano in P. PARRINI, Fisica e geometria dall’ottocento a oggi, Loescher, Torino, 1979.

(7) Cfr. C. F. GAUSS, Disquisitiones generales circa superficies curvas, in Werke, cit., voi. IV.

(8) Sui contributi di Gauss alla nascita della topologia confrontare J. C. PONT, La Topologie, Algé- brique des origines à Poincaré, Paris, Presses Universitaires de France, 1974, pp. 31-38.

(9) Cfr. J. B. LISTING, Vorstudien zur Topologie, Gòttinger Studien, 1847.

(10) Cfr. H. GRASSMANN, Die Wissenschaft der extensiven Gròsse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Erster Theil, die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig, Otto Wigand, 1844.

(11) Si tratta evidentemente di una schematizzazione di posizioni ben più diversificate e complesse, e che spesso anche per uno stesso autore sono andate evolvendo. Per uno studio più approfondito si rinvia ai testi ormai classici di M. JAMMER, Concepts of Space. The History of the Theories of Space in Physics, Cambridge, Harvard University Press, 1954 (trad. it. Storia del concetto di spazio, Milano, Feltrinelli, 1974) e di E. CASSIRER, DOS Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, IV: Von Hegels Tod bis zur Gegenwart (1832-;1932), Kohlhammer, Stuttgart, 1957 (trad. it. Storia della fi-losofia moderna, IV: Il problema della conoscenza nei sistemi posthegeliani, Torino, Einaudi, 1961).

(12) La teoria psicologica dello spazio è presentata da HERBART in Psychologie als Wissenschaft neu gegrmdet auf Erfahrung, Metaphysik und Mathematik (1824/25) in J. F. HERBART, Sàmmtliche Werke, Leipzig, Leopold Voss, voi. VI, pp. 114-150. Confronta anche G. F. HERBART, Introduzione alla filosofia, Bari, Laterza, 1927 (l’edizione originale è del 1813), p. 270.

(13) Cfr. Lettera a Schumacher dell’I novembre 1844. Citata in E. T. BELL, I grandi matematici, Firenze, Sansoni, 1850, p. 244.

(14) Il termine «Mannigfaltigkeit» è stato riferito, con il passare del tempo, a un concetto che è andato evolvendosi e precisandosi fino ad indicare un tipo particolare di struttura matematica chiamata «varietà». Secondo il significato di Riemann, tale termine è più vicino a quello attuale di «insieme». Lo stesso Cantor, del resto, quando formula la sua teoria degli insiemi, usa inizialmente il termine «Mannigfaltigkeit», in seguito usa il termine «Mengenbegrift».

(15) Il procedimento con cui Riemann introduce questo concetto è generalmente ritenuto oscuro. Confronta per esempio P. LIBERMANN, Géométrk différentielle, in J. DIEUDONNÉ, Abrégé d’histoire des matte- matiques 1700-1900, Paris, Hermann, 1978, p. 199.

(16) Probabilmente Riemann si riferisce alle misure effettuate da Gauss degli angoli di un triangolo formato da tre cime di monti intorno ad Hannover. Non è possibile stabilire se Riemann conoscesse i lavori di Lobacevskij, e quindi le misure che questi aveva effettuato sugli angoli del triangolo avente per vertici la Terra, il Sole e la stella Sirio. Inoltre, è attualmente controverso se le misure effettuate da Gauss avessero lo scopo di verificare il tipo di geometria dello spazio fisico. Confronta a questo proposito A. I. MILLER, The Myth of Gauss’ Experiment on the Euclidean Nature of Physical Space, in «ISIS», 63 (1972), pp. 345-348; i commenti a questo articolo di G. Goe e B. L. van der Waerden e la replica di A. I. Miller nel numero 65 della stessa rivista.

(17) Cfr. E. SCHOLZ, Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincaré, Basel, Birkhàu- ser, 1980, p. 90; M. MONASTRYRSKY, Riemann, Topology and Physics, Boston, Birkhàuser, 1987, p. 28.

(18) È da intendersi «funzione di variabile complessa».

(19) Cfr. C. F. GAUSS, Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda, (1831), in Werke, cit. voi. 2.

(20) Cfr. C. F. GAUSS, Beitràge zur Theorie der algebraischen Gleichmgen, (1849) in Werke, cit., voi. III.

(21) Cfr. E. SCHOLZ, Geschichte… cit., p. 54; G. NOWAK, Riemann’s Habilitationsvortrag And the Syn- thetic A priori Status of Geometry, in AA. W., The History of Modem Mathematics, New York, Academic Press, 1989, voi. I, pp. 27-28.

(22) Cfr. C. F. GAUSS, Beitràge… cit., p. 79.

(23) Cfr. E. SCHOLZ, Geschichte… cit., p. 57.

(24) Cfr. C. F. GAUSS, Disquisitiones… cit.

(25) Cfr. B. RUSSEL, An Essay on the Foundations of Geometry, Cambridge, University Press, 1897; traduzione italiana, I fondamenti della geometria, Roma, Newton Compton editori, 1975, p. 74.

(26) Cfr. R. TORRETTI, Philosophy of geometry from Riemann to Poncaré, Dordrecht, Reidei, 1978 pp 107-108.

(27) Cfr. E. SCHOLZ, Herbart’s Influence on Bernhard Riemann, in «Historia Mathematica», voi. 9 di Herbart (1982), pp. 413-440. Questo saggio contiene anche alcuni appunti inediti di Riemann sulla filosofia di Herbart. (

28) Cfr. G. NOVAK, Riemann’s… cit.

(29) Cfr. R. DEDEKIND, Bernhard Riemann’s Lebenslauf] in B. RIEMANN, Gesammelte… cit., pp. 509-526.

(30) Cfr. R. BONOLA, La geometria non-euclidea. Esposizione storico-critica del suo sviluppo, Bologna, Zanichelli, 1906. (31) Cfr. U. BOTTAZZINI, Il flauto di Hilbert. Storia della matematica moderna e contemporanea, Torino, UTET, 1990.

(32) E. BELTRAMI, Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, in «Giornale di matematiche ad uso degli studenti», voi. 6 (1868), pp. 284-312.

(33) Cfr. U. BOTTAZZINI, Il flauto di Hilbert… cit., p. 185.

(34) Riemann, durante il soggiorno in Italia, si incontra con Beltrami nel 1860; non è da escludere perciò che Beltrami conoscesse le idee di Riemann sulla geometria prima della pubblicazione della conferenza.

(35) Sarà F. KLEIN nel saggio del 1871, ùber die sogennante Nicht-Euklidische Geometrie, a darne una dimostrazione completa. Cfr. F. KLEIN, Gesammelte mathematische Abhandlungen, Berlin, Spinger, 1921-1923, voi. I, pp. 254-305.

(36) Cfr. F. KLEIN, Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forscungen, in F. KLEIN, Gesammelte… cit., voL I, pp. 460-497.

(37) Cfr. G. VERONESE, Fondamenti di geometria a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee, esposti in forma elementare, Padova, Tipografia del seminario, 1891, p. 577.

(38) Cfr. Opere di Hermann von Helmholtz, a cura di V. CAPPELLETTI, Torino, UTET, 1967, pp. 415-420.

(39) Il problema viene risolto dal punto di vista matematico da S. Lie. Cfr. S. LIE, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, Teubner, 1893.

(40) È questa un’opinione condivisa da diversi studiosi. Per esempio, secondo H. Freudental, nel secolo XIX gli spazi di Riemann vennero al più accettati come una teoria matematica astratta, come filosofia dello spazio non ebbero alcuna influenza e le idee rivoluzionarie di Riemann vennero «eclissate» da quelle di Helmholtz. Cfr. la voce Riemann, in Dictionary of Scientific Biography, New York, Charles Scribner’s Sons, 1975. Secondo H. Reichenbach, mentre Riemann preparò la strada all’applicazione della geometria alla realtà fisica mediante la formulazione matematica del concetto di spazio, Helmholts gettò i fondamenti filosofici. Cfr. H. REICHENBACH, The Philosophy of Space and Time, New York, Dover, 1958; trad. it. Filosofia dello spazio e del tempo, Milano, Feltrinelli, 1977, p. 61. M. Kline ritiene invece che Riemann sia il più profondo filosofo di geometria. Cfr. M. KLINE, Mathematica! Thought from Ancient to Modem Times, New York, Oxford University Press, 1972, p. 889.

(41) L’espressione è di E. Cassirer. Cfr. E. CASSIRER, Storia della filosofia moderna… cit., p. 52.

(42) Cfr. M. JAMMER, Concepts of Space… cit., p. 140.

Ci proponiamo di decifrare una pagina del codice Hammer, noto anche come codice Leicester. Come molte pagine dei manoscritti di Leonardo, è piuttosto malridotta. Cominciamo ad analizzare il testo ricordandoci che Leonardo aveva l’abitudine di scrivere da destra verso sinistra, cioè in verso contrario a quello corrente, sia perché era mancino, sia perché in questo modo la sua scrittura rimaneva indecifrabile per ogni occhio indiscreto, ricordiamoci al suo tempo erano quasi tutti analfabeti, e per i pochi che sapevano leggere questo semplice artificio rappresentava un ostacolo quasi sempre insuperabile.

Al contrario di quello che molti credono, Galileo non fu esattamente l’inventore del cannocchiale ma ebbe il grande merito di trasformare quello che era poco più d’un giocattolo in uno strumento scientifico e di comprenderne l’eccezionale importanza. 1. Gli studi di Galileo – 2. Altre notizie e aneddoti su Galileo – 3. La sentenza di condanna e l’atto di abiura – 4. Alla fine dell’800 c’era ancora chi minimizzava. Un ebook di 19 pagine su Galileo.