Esprimere in forma decimale la misura dell’arco di $27^\circ15’36”$.
$cos(2x-30^\circ)=cosx$
noi sappiamo che $cos(\alpha)=cos(\beta) <=> \alpha=+-(\beta)+k(360^\circ)$
Dovendo risolvere l’equazione $cos(2x-30^\circ)=cosx$, scriveremo
$2x-30^\circ=x+k(360^\circ) vv 2x-30^\circ=-x+k(360^\circ) $,
da queste rispettivamente si ottiene:
$x=30^\circ+k(360^\circ) vv x=10^\circ+k(120^\circ)$.
Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è di $12cm$ e l’area di $18sqrt3cm^2$
Svolgimento
Dati
$alpha=90^circ$
$a=12cm$
$A=18sqrt3cm^2$
La somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+eta+gamma=180^circ => eta+gamma=180^circ-90^cir=90^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2absin(gamma)=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2absin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a(asin(eta))sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2*1/2[cos(eta+gamma)-cos(eta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2(12)^2*1/2[cos(90^circ)-cos(eta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2*144*(-1/2)cos(eta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(36cos(eta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
${(cos(eta-gamma)=1/2sqrt3),(b=asin(eta)):}$;
Quindi $cos(eta-gamma)=1/2sqrt3 => eta-gamma=arccos(1/2sqrt3)=30^circ$.
Quindi sappiamo che $eta-gamma=30^circ, eta+gamma=90^circ$
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, e risolviamolo per sostituzione
${((eta+gamma)=90^circ),((eta-gamma)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-eta),((eta-90^circ+eta)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-eta),(2(eta)=120^circ):}$;
${(gamma=90^circ-60^circ=30^circ),((eta)=60^circ):}$
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)=12cm*sin(60^circ)=12cm*1/2sqrt3=6sqrt3cm$
$c=asin(gamma)=12cm*sin(30^circ)=12cm*1/2=6cm$.
Calcolare l’area del seguente triangolo con i seguenti dati
$b=12sqrt2, c=3sqrt6, \alpha=30^\circ$.
Svolgimento
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto
di questi due lati per il coseno dell’angolo che essi formano
$a^2=b^2+c^2-2bccos(\alpha)=b^2+c^2-2bccos(30^\circ)=(12sqrt2)^2+(3sqrt6)^2-2(12sqrt2)(3sqrt6)(sqrt3)/2=$
$=288+54-36sqrt(36)=342-216=126 => a=sqrt(126)=3sqrt(14)$
Per il Teorema di pitagora
$h=sqrt(a^2-(b/2)^2)=sqrt((3sqrt(14))^2-(6sqrt2)^2)=sqrt(126-72)=sqrt(54)=3sqrt6$.
Quindi l’area del triangolo sarà:
$A=(b*h)/2=(12sqrt2*3sqrt6)/2=24sqrt3$.
Calcolare l’area del seguente triangolo con i seguenti dati
$b=2sqrt6, c=4sqrt3, \alpha=45^\circ$.
Svolgimento
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto
di questi due lati per il coseno dell’angolo che essi formano
$a^2=b^2+c^2-2bccos(\alpha)=b^2+c^2-2bccos(45^\circ)=(2sqrt6)^2+(4sqrt3)^2-2(2sqrt6)(4sqrt3)(sqrt2)/2=$
$=24+48-48sqrt2(sqrt2)/2=72-48=24 => a=2sqrt6$
Pertanto $a=b=2sqrt6$, cioè il triangolo è isoscele con base $ c=4sqrt3$.
Per il Teorema di pitagora
$h=sqrt(a^2-(c/2)^2)=sqrt((2sqrt6)^2-(2sqrt3)^2)=sqrt(24-12)=sqrt(12)=2sqrt3$.
Quindi l’area del triangolo sarà:
$A=(c*h)/2=(4sqrt3*2sqrt3)/2=12$.
Determinare il perimetro di un triangolo isoscele di base $12cm$ e co l’angolo al vertice di $36^circ$.
Svolgimento
Dati
$a=12cm$
$alpha=36^circ$
$b=c$
Poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$36^circ+eta+gamma=180^circ => eta+gamma=180^circ-36^circ=144^circ$.
Il triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali, quindi se
$eta+gamma==144^circ => eta=gamma=(144^circ)/2=72^circ$.
In un triangolo il rapporto di due lati eguaglia il rapporto tra il seno degli angoli ad essi opposti
$a/b=(sin(alpha))/(sin(eta))$
Pertanto
$b=(asin(alpha))/(sin(eta))=(12cm*sin(36^circ))/(sin(72^circ))=11,41cm$.
Il triangolo è isoscele, quindi $b=c=11,41cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(12+11,41+11,41)cm=34,82cm$.
Determinare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acuti
è $(17)/(13)$ e che il cateto minore è $5x$
Svolgimento
Noi sappiamo che $sin(\beta)+sin(\gamma)=(17)/(13)$
Per le formule di prostaferesi:
$sinp+sinq=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)$
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ => \beta+\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Pertanto
$(17)/(13)=sin(\beta)+sin(\gamma)=2sin((\beta+\gamma)/2)cos((\beta-\gamma)/2)=2sin(45^\circ)cos((\beta-\gamma)/2)=$
$=2*(sqrt2)/2cos((\beta-\gamma)/2)=sqrt2cos((\beta-\gamma)/2) => cos((\beta-\gamma)/2)=(17)/(13sqrt2)=(17sqrt2)/(26)$.
Quindi $(\beta-\gamma)/2=arccos((17sqrt2)/(26))=22,38^\circ$.
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, $(\beta-\gamma)/2=22,38^\circ$ e $(\beta+\gamma)/2=45^\circ$, e
risolviamolo per sostituzione
$\{((\beta+\gamma)/2=45^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta+\gamma)=90^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-\gamma-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-2(\gamma))/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),(45^\circ-(\gamma)=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((\gamma)=22,62^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-22,62^\circ=67,38^\circ),((\gamma)=22,62^\circ):}$.
Quindi $(\gamma)=22,62^\circ$ e $(\beta)=67,38^\circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$c=asin(\gamma) => a=c/(sin(\gamma))=(5x)/(sin(22,62^\circ))=13x$.
Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è di $120cm^2$ e $eta=arcsin=5/(13)$.
Svolgimento
Dati
$alpha=90^circ$
$A=120cm^2$
$eta=arcsin=5/(13)$
Sappiamo che $eta=arcsin=5/(13) => eta=22,62^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+22,62^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-22,62^circ=67,38^circ$.
Pertanto $gamma=67,38^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(gamma))=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2ab(sin(gamma))=120),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a(asin(eta))sin(gamma)=120),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=120),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=(120*2)/(sin(eta)sin(gamma))),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=(240)/(sin(22,62^circ)sin(67,38^circ))),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=686),(b=asin(eta)):}$;
${(a=26),(b=26*sin(22,62^circ)):}$;
${(a=26),(b=10):}$.
Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((26cm)^2-(10cm)^2)=sqrt((686cm^2)-(100cm^2))=sqrt(586)cm=24cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(26+10+24)cm=60cm$.
Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è di $24cm^2$ e $tg(eta)=3/4$.
Svolgimento
Dati
$alpha=90^circ$
$A=24cm^2$
$tg(eta)=3/4$
Sappiamo che $tg(eta)=3/4 => eta=arctg(3/4)=36,87^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+36,87^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-36,87^circ=53,13^circ$.
Pertanto $gamma=53,13^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(gamma))=24cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2ab(sin(gamma))=24cm^2),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a(asin(eta))sin(gamma)=24),(b=asin(eta)):}$;
${(1/2a^2sin(eta)sin(gamma)=24),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=(24*2)/(sin(eta)sin(gamma))),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=(48)/(sin(36,87^circ)sin(53,13^circ))),(b=asin(eta)):}$;
${(a^2=100),(b=asin(eta)):}$;
${(a=10),(b=10*sin(36,87^circ)):}$;
${(a=10),(b=6):}$.
Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((10cm)^2-(6cm)^2)=sqrt((100cm^2)-(36cm^2))=sqrt(64)cm=8cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(10+6+8)cm=24cm$.
Calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che $c=60cm$ e $tg(eta)=(12)/5$.
Svolgimento
Dati
$c=60cm$
$tg(eta)=(12)/5$
$alpha=90^circ$
Per definizione $tg(eta)=b/c => b=c*tg(eta)=60cm*(12)/5=144cm$.
Per il Teorema di pitagora
$a=sqrt(b^2+c^2)=sqrt((144cm)^2+(60cm)^2)=sqrt((20736cm^2)-(3600cm^2))=sqrt(24336)cm=156cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(156+144+60)cm=360cm$.
Inoltre $tg(eta)=(12)/5 => eta=arctg((12)/5)=67,38^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+67,38^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-67,38^circ=22,62^circ$.
Pertanto $gamma=22,62^circ$.
L’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(22,62^circ))=1/2(156cm)(144cm)sin(22,62^circ)=4320cm^2$.
Calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che $a=50cm$ e $sin(gamma)=(24)/(25)$.
Svolgimento
Dati
$a=50cm$
$sin(gamma)=(24)/(25)$
$alpha=90^circ$
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$c=asin(gamma)=50cm(24)/(25)=48cm$;
Pertanto il cateto maggiore misura $=48cm$.
Per il Teorema di pitagora
$b=sqrt(a^2-c^2)=sqrt((50cm)^2-(48cm)^2)=sqrt((2500cm^2)-(2304cm^2))=sqrt(196)cm=13cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(50+48+13)cm=112cm$.
L’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab*(sin(gamma))=1/2(50cm)(13cm)(24)/(25)=336cm^2$.
Calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, noti $b=24cm$ e $sin(eta)=(12)/(13)$.
Svolgimento
Dati
$b=24cm$
$sin(eta)=(12)/(13)$
$alpha=90^circ$
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta) => a=b/(sin(eta))=(24cm)/((12)/(13))=26cm$;
Pertanto l’ipotenusa misura $=26cm$.
Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((26cm)^2-(24cm)^2)=sqrt((676cm^2)-(576cm^2))=sqrt(100)cm=10cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(26+24+10)cm=60cm$.
Inoltre il $sin(eta)=(12)/(13) => eta=arcsin((12)/(13))=67,38^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+67,38^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-67,38^circ=22,62^circ$.
Pertanto $gamma=22,62^circ$.
L’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2absin(22,62^circ)=1/2(26cm)(24cm)sin(22,62^circ)=120cm^2$.
Verificare le seguenti uguaglianze $sin(48^\circ)=cos(42^\circ)$ e $cos(48^\circ)=sin(42^\circ)$.
Svolgimento
Indichiamo con $\alpha$ l’angolo di $48^\circ$ e con $\beta$ l’angolo di $42^\circ$.
I due angoli sono complementari, cioè $\alpha+\beta=90^\circ$.
Noi sappiamo che se due angoli sono complementari, il seno e la tangente dell’uno sono rispettivamente
il coseno e la cotangente dell’altro.
$sin(90^\circ-\alpha)=cos(\alpha)$
$cos(90^\circ-\alpha)=sin(\alpha)$
Nel nostro caso $\alpha=48^\circ$ e $\beta=42^\circ=90^\circ-48^\circ=90^\circ-\alpha$, sostituendo avremo
$sin(42^\circ)=cos(48^\circ)$;
$cos(42^\circ)=sin(48^\circ)$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$a=10sqrt2; b=10$
In questo caso ci è noto la misura dell’ipotenusa e del cateto $b$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Inoltre in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta) => sin(eta)=b/a=(10)/(10sqrt2)=1/(sqrt2)=(sqrt2)/2$;
Pertanto $eta=arcsin((sqrt2)/2)=45^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+45^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-45^circ=45^circ$.
Pertanto $gamma=45^circ$.
Quindi $c=asin(gamma)=10sqrt2sin(45^circ)=10sqrt2*(sqrt2)/2=10$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$b=10sqrt3; c=10$
In questo caso ci è noto la misura del cateto minore e del cateto maggiore, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Per definizione noi sappiamo che $tg(eta)=b/c=(10sqrt3)/(10)=sqrt3$
quindi $eta=arctg(sqrt3)=30^circ$
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+30^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-30^circ=60^circ$.
Pertanto $gamma=60^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso
$b=asin(eta) => a=b/(sin(eta))=(10)/(sin(30^circ))=(10)/(1/2)=20$;
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$b=12sqrt3; gamma=30^circ$
In questo caso ci è noto la misura del cateto e dell’angolo acuto $gamma$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+30^circ+eta=180^circ => eta=180^circ-90^circ-30^circ=60^circ$.
Pertanto $eta=60^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso
$b=asin(eta) => a=b/(sin(eta))=(12sqrt3)/(sin(60^circ))=(12sqrt3)/((sqrt3)/2)=24$;
inoltre in un triangolo rettagolo un cateto è uguale al prodotto
dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo acuto ad esso adiacente
$c=bcotg(eta)=12sqrt3cotg(60^circ)=12sqrt3*(sqrt3)/3=12$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$a=40; b=10sqrt2(sqrt3-1)$
In questo caso ci è noto la misura dell’ipotenusa e del cateto $b$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Inoltre in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta) => sin(eta)=b/a=(10sqrt2(sqrt3-1))/(40)=1/4(sqrt6-sqrt2)$;
Pertanto $eta=arcsin((sqrt6-sqrt2)/4)=15^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+15^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-15^circ=75^circ$.
Pertanto $gamma=75^circ$.
Quindi $c=asin(gamma)=40sin(75^circ)=40*1/4(sqrt6+sqrt2)=10(sqrt6+sqrt2)$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$a=12; b=3(sqrt5-1)$
In questo caso ci è noto la misura dell’ipotenusa e del cateto $b$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Inoltre in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta) => sin(eta)=b/a=(3(sqrt5-1))/(12)=(sqrt5-1)/4$;
Pertanto $eta=arcsin((sqrt5-1)/4)=18^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+18^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-18^circ=72^circ$.
Pertanto $gamma=72^circ$.
Quindi $c=asin(gamma)=12sin(72^circ)=12*1/4(sqrt(10+2sqrt5))=3(sqrt(10+2sqrt5))$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$a=10; eta=60^circ$
In questo caso ci è noto la misura dell’ipotenusa e dell’angolo acuto $eta$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+60^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-60^circ=30^circ$.
Pertanto $gamma=30^circ$.
Inoltre in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$ e $c=asin(gamma)$;
Nel nostro caso quindi:
$b=10*sin(60^circ) ^^ c=10*sin(30^circ)$ quindi
$b=10*(sqrt3)/2=5sqrt3 ^^ c=10*1/2=5$.
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$b=12; eta=45^circ$
In questo caso ci è noto la misura del cateto e dell’angolo acuto $eta$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+45^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-45^circ=45^circ$.
Pertanto $gamma=45^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso
$b=asin(eta) => a=b/(sin(eta))=(12)/(sin(45^circ))=(12)/((sqrt2)/2)=12sqrt2$;
inoltre in un triangolo rettagolo un cateto è uguale al prodotto
dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo acuto ad esso adiacente
$c=bcotg(eta)=12cotg(45^circ)=12*1=12$
Risolvere il seguente triangolo rettangolo $(alpha=90^circ)$
$a=20; gamma=60^circ$
In questo caso ci è noto la misura dell’ipotenusa e dell’angolo acuto $gamma$, oltre all’angolo retto $alpha=90^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+eta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+eta+60^circ=180^circ => eta=180^circ-90^circ-60^circ=30^circ$.
Pertanto $eta=30^circ$.
Inoltre in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(eta)$ e $c=asin(gamma)$;
Nel nostro caso quindi:
$b=20*sin(30^circ) ^^ c=20*sin(60^circ)$ quindi
$b=20*1/2=10 ^^ c=20*(sqrt3)/2=10sqrt3$.
$cosx>1/2$ con $0<=x<=360^circ$
$cosx>1/2$
Ricerchiamo sulla circonferenza goniometrica gli archi $x$ tali che $cosx=1/2$
$x=AB vv x=ABC$
Affinchè sia $cosx>1/2$, il secondo estremo dell’arco $x$dovrà cadere o nell’arco $AB$ o nell’arco
positivo $CA$ e quindi dovrà aversi $0^circ<=x<=60^circ vv 300^circ<x<=360^circ$.
$sinx>1/2$
$sinx>1/2$;
Si tratta di determinare i valori dell’incognita $x$, per i quali la funzione $y=sinx$ assume valori maggiori di $1/2$.
Rappresentiamo sulla circonferenza goniometrica gli archi, compresi nell’intervallo $[0;2pi]$, che hanno per seno $1/2$:
essi sono $AB=(pi)/6, AC=5/6(pi)$.
Dalla figura si vede che gli archi il cui seno è maggiore di $1/2$ sono quelli il cui secondo estremo cade nell’arco $BNC$,
perciò, tenendo anche conto della periodicità della funzione $y=sinx$, si potrà concludere che la soluzione della disequazione
è espressa dalla relazione
$(pi)/6+2k(pi)<x<5/6(pi)+2k(pi)$ $AA k in ZZ$.
$sinx+cosx=cosecx$
$sinx+cosx=cosecx$;
$sinx+cosx=1/(sinx)$;
Moltiplico ambo i membri per $sinx$ e ottengo
$sin^2x+cosxsinx=1$;
Ma $sin^2x=1-cos^2x$, sostituendo
$1-cos^2x+cosxsinx-1=0$;
$-cos^2x+cosxsinx=0$;
Raccogliendo
$cosx(-cosx+sinx)=0$;
Studiamo singolarmente i due blocchi, quindi deve risultare
$cosx=0 vv cosx-sinx=0$
Se $cosx=0 => x=arccos0+k(\pi)=k(\pi)+-90^\circ$ $AA k in ZZ$.
Se $cosx-sinx=0$, risolviamo la seguete equazione
Dividendo ambo i membri per $sinx$, naturalmente con $sinx!=0$, ovvero $x!=k(\pi)$, si ha
$(cosx)/(sinx)-1=0 => cotgx=1$
Pertanto $x=arccotg1+k(\pi)=+-45^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
Quindi soluzione dell’equazione iniziale sarà
$S={x=+-45^\circ+k(\pi), x=+-90^\circ+k(\pi)}$.
$cosx+secx=3/2sqrt2$
$cosx+secx=3/2sqrt2$;
$cosx+1/(cosx)=3/2sqrt2$;
Moltiplico ambo i membri per $cosx$ e ottengo
$cos^2x+1-3/2sqrt2cosx=0$;
Il m.c.m. è $2$, quindi
$(2cos^2x+2-3sqrt2cosx)/2=0$;
Moltiplico ambo i membri per $2$ e ottengo
$2cos^2x+2-3sqrt2cosx=0$;
Poniamo $y=cosx$ e risolviamo l’equazione di secondo grado, tenendo conto della condizione $-1<cosx<1$
$2y^2-3sqrt2y+2=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-3sqrt2)^2-4*2*2=18+16=2$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(+3sqrt2+-sqrt2)/4 => y_1=(+3sqrt2+sqrt2)/4=sqrt2 ^^ y_2=(+3sqrt2-sqrt2)/4=1/2sqrt2$.
Pertanto, poichè $y=cosx$
Se $y=sqrt2=cosx => la soluzione $y=sqrt2$ non può essere verificata, poichè sappiamo che $-1<cosx<1$.
Se $y=(sqrt2)/2=cosx => x=arccos((sqrt2)/2)+k(\pi)=+-45^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
$tgx-cotgx=2/3sqrt3$
$tgx-cotgx=2/3sqrt3$
Moltiplico ambo i membri per $tgx$ e ottengo
$tg^2x-1=2/3sqrt3tgx$;
$tg^2x-2/3sqrt3tgx-1=0$;
Il m.c.m. è $3$, quindi
$(3tg^2x-2sqrt3tgx-3)/3=0$
Moltiplico ambo i membri per $3$ e ottengo
$3tg^2x-2sqrt3tgx-3=0$
Poniamo $y=tgx$ e risolviamo l’equazione di secondo grado
$3y^2-2sqrt3y-3=0$
$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-sqrt3)^2-(3*(-3))=3+9=12$
$y_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(sqrt3+-sqrt(12))/3=(sqrt3+-2sqrt3)/3 => y_1=(sqrt3+2sqrt3)/3=sqrt3 ^^ y_2=(sqrt3-2sqrt3)/3=-(sqrt3)/3$.
Pertanto, poichè $y=tgx$
Se $y=sqrt3=tgx => x=arctg(sqrt3)+k(\pi)=60^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
Se $y=-(sqrt3)/2=tgx => x=arctg(-(sqrt3)/2)+k(\pi)=-30^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
$sin^2x+3cosx=1+cos^2x$
$sin^2x+3cosx=1+cos^2x$
Ricordiamo che $sin^2x=1-cos^2x$, quindi sostituendo
$1-cos^2x+3cosx-1-cos^2x=0$;
Semplificando e cambiando di segno
$2cos^2x-3cosx=0$;
Raccogliendo si ha
$cosx(2cosx-3)=0$
L’equazione è verificata se $cosx=0 vv 2cosx-3=0 -> cosx=3/2$
Pertanto, nel primo caso avremo
$x=arccos0+k(\pi)=+-90^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
mentre nel secondo caso
$cosx=3/2>1$; quindi l’equazione $2cosx-3=0$ non può essere verificata, poichè sappiamo che $-1<cosx<1$.
Quindi la soluzione finale sarà:
$x=+-90^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
$2sin^2x=3cosx$
$2sin^2x=3cosx$
Ricordiamo che $sin^2x=1-cos^2x$, quindi sostituendo
$2(1-cos^2x)=3cosx$;
$2-2cos^2x-3cosx=0$;
Poniano $y=cosx$ e risolviamo l’equazione di secondo grado, cambiando segno e tenendo presente la condizione $-1<=y>=1$.
$2y^2+3y-2=0$
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4*2*(-2)=9+16=25$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-3+-sqrt(25))/4=(-3+-5)/4 => y_1=(-3+5)/4=1/2 ^^ y_2=(-3-5)/4=-2$.
L’unica soluzione accettabile sarà $y=1/2=cosx$.
Pertanto
$x=arccos(1/2)+k(\pi)=+-60^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
$4sin^2x+3tg^2x=12$
$4sin^2x+3tg^2x=12$
$4sin^2x+3(sin^2x)/(cos^2x)=12$;
Moltiplicando ambo i membri per $cos^2x$
$4(cos^2x)(sin^2x)+3(sin^2x)=12(cos^2x)$
Posto $sin^2x=1-cos^2x$ e sostituendo
$4cos^2x(1-cos^2x)+3(1-cos^2x)=12cos^2x$;
$4cos^2x-4cos^4x+3-3cos^2x-12cos^2x=0$;
Raccogliendo i termini simili e cambiando di segno
$4cos^4x+11cos^2x-3=0$;
Poniamo $y=cos^2x$ e risolviamo l’equazione di secondo grado tenendo presente la condizione $0<=sqrty>=1$
$4y^2+11y-3=0$
$\Delta=b^2-4ac=(11)^2-4*4*(-3)=121+48=169$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-11+-sqrt(169))/8=(-11+-13)/8 => y_1=(-11+13)/8=1/4 ^^ y_2=(-11-13)/8=-3$.
L’unica soluzione accettabile sarà $y=1/4=cos^2x => cosx=1/2$.
Pertanto
$x=arccos(1/2)+k(\pi)=+-60^\circ+k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
$cosx=tg(180^\circ+x)$
$cosx=tg(180^\circ+x)$;
Per le formule di somma delle tangenti:
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
posto $\alpha=180^\circ, \beta=x$, si ha
$cosx=(tg(180^\circ)+tg(x))/(1-tg(x)tg(180^\circ))$;
essendo $tg(180^\circ)=0$, sostituendo otteniamo
$cosx=tgx=(sinx)/(cosx)$
Moltiplicando ambo i membri per $(cosx)$
$cos^2x=sinx$.
Ma $cos^2x=1-sin^2x$,
pertanto
$1-sin^2x=sinx$, cioè $sin^2x+sinx-1=0$
Poniamo $y=sinx$ e risolviamo l’equazione di secondo grado, tenendo presente la condizione $-1<=y>=1$.
$y^2+y-1=0$
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4*1*(-1)=1+4=5$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt5)/2 => y_1=(-1+sqrt5)/2 ^^ y_2=(-1-sqrt5)/2$.
L’unica soluzione accettabile sarà $y=(-1+sqrt5)/2=senx$.
$sinx=tgx$
$sinx=tgx$;
$six=(sinx)/(cosx)$;
Moltiplicando ambo i membri per $cosx$ si ha:
$sinxcosx=sinx => cosx=1$.
Pertanto
$x=arccos1+k(\pi)=0+k(\pi)=k(\pi)$ $AA k in ZZ$.
Formule di prostaferesi e Werner
Usare opportunamente le formule di prostaferesi e Werner verificare che:
$(cos(\alpha)+cos(\beta))/(sin(\alpha)-sin(\beta))=cotg((\alpha-\beta)/2)$
$(cos(\alpha)+cos(\beta))/(sin(\alpha)-sin(\beta))=cotg((\alpha-\beta)/2)$
Per le formule diprostaferesi:
$sinp-sinq=2cos((p+q)/2)sin((p-q)/2)$
$cosp+cosq=2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)$
Nel nostro caso si ha:
$p=(\alpha)$ e $q=(\beta)$, sostituendo otteniamo che
$(2cos((\alpha+\beta)/2)cos((\alpha-\beta)/2))/(2cos((\alpha+\beta)/2)sin((\alpha-\beta)/2))=$
Semplificando
$(cos((\alpha-\beta)/2))/(sin((\alpha-\beta)/2))=cotg((\alpha-\beta)/2)$.
Quindi l’equazione è verificata.
Formule di prostaferesi e Werner
Usare opportunamente le formule di prostaferesi e Werner verificare che:
$sin(70^\circ)sin(20^\circ)-1/2cos(50^\circ)=0$
$sin(70^\circ)sin(20^\circ)-1/2cos(50^\circ)=0$
Per le formule di Werner:
$sin(\alpha)sin(\beta)=1/2[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$.
Nel nostro caso si ha:
$(\alpha)=70^\circ$ e $(\beta)=20^\circ$, sostituendo otteniamo che
$sin(70^\circ)sin(20^\circ)-1/2cos(50^\circ)=$
$=1/2[cos(70^\circ-20^\circ)-cos(70^\circ+20^\circ)]-1/2cos(50^\circ)=$;
$=1/2[cos(50^\circ)-cos(90^\circ)]-1/2cos(50^\circ)=$;
$=1/2cos(50^\circ)-1/2cos(90^\circ)-1/2cos(50^\circ)=-1/2cos(90^\circ)=0$.
Quindi l’equazione è verificata.
fomule di duplicazione
Noto $sin(\alpha)=1/3$, calcolare $sin(2\alpha)$, sapendo che $0^\circ<\alpha<90^\circ$.
Svolgimento
$sin(\alpha)=1/3 => (\alpha)=arcsin(1/3)=19,47$
Pertanto $cos(19,47)=(2sqrt2)/3$
Per le formule di duplicazione:
$sin(2\alpha)=2cos(\alpha)sin(\alpha)$.
Nel nostro caso $cos(\alpha)=2(sqrt2)/3, sin(\alpha)=1/3$, pertanto
$sin(2\alpha)=2*2(sqrt2)/3*1/3=(4sqrt2)/9$.
fomule di duplicazione
Noto $cos(2\alpha)=2(sqrt2)/3$, calcolare $sin(\alpha)$.
Svolgimento
Per le formule di duplicazione:
$cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)$.
Nel nostro caso $cos(2\alpha)=2(sqrt2)/3$, pertanto
$cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2(sqrt2)/3$;
ma $cos^2(\alpha)=1-sin^2(\alpha)$, sostituendo si ha:
$1-sin^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2(sqrt2)/3$;
$-2sin^2(\alpha)=2(sqrt2)/3-1$;
$sin^2(\alpha)=-2(sqrt2)/6+1/2$;
$sin^2(\alpha)=1/2-(sqrt2)/3=(3-2sqrt2)/6 => sin(\alpha)=sqrt((3-2sqrt2)/6)$.
Semplificare la seguente espressione
$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))$
$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))$
Tenendo presente le formule di somma e differenza del seno e della tangente:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha-\beta)=(tg(\alpha)-tg(\beta))/(1+tg(\beta)tg(\alpha))$
Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))=$
$(4(sin(60^\circ)cos(x)+cos(60^\circ)sin(x))(sin(60^\circ)cos(x)-cos(60^\circ)sin(x)))/(3(sin(180^\circ)cos(x)+cos(180^\circ)sin(x))^2)-1/(((tg(180^\circ)-tgx)/(1-tg(180^\circ)tgx))^2)=$
Essendo $cos(60^\circ)=1/2, sin(60^\circ)=(sqrt3)/2, cos(180^\circ)=-1, sin(180^\circ)=tg(180^\circ)=0$,
sostituendo nell’espressione otteniamo:
$(4((sqrt3)/2cosx+1/2sinx)((sqrt3)/2cosx-1/2sinx))/(3((-1)sin(x))^2)-1/((-tgx)^2)=$
$(4(3/4cos^2x-(sqrt3)/4sinxcosx+(sqrt3)/4sinxcosx-1/4sin^2x))/(3sin^2x)-1/(tg^2x)=$
$(3cos^2x-sin^2x)/(3sin^2x)-cotg^2x=(3cos^2x)/(3sin^2x)-(sin^2x)/(3(sin^2x))-cotg^2x=$
Semplificando
$cotg^2x-1/3-cotg^2x=-1/3$.
Semplificare la seguente espressione
$(sin(\alpha+60^\circ)+sin(\alpha-60^\circ)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha+60^\circ)+cos(\alpha-60^\circ)-2cos(\alpha))$
$(sin(\alpha+60^\circ)+sin(\alpha-60^\circ)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha+60^\circ)+cos(\alpha-60^\circ)-2cos(\alpha))=$
Tenendo presente le formule di somma e differenza del seno e del coseno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$(sin(\alpha+60^\circ)+sin(\alpha-60^\circ)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha+60^\circ)+cos(\alpha-60^\circ)-2cos(\alpha))=$
$(sin(\alpha)cos(60^\circ)+cos(\alpha)sin(60^\circ)+sin(\alpha)cos(60^\circ)-cos(\alpha)sin(60^\circ)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha)cos(60^\circ)-sin(\alpha)sin(60^\circ)+cos(\alpha)cos(60^\circ)+sin(\alpha)sin(60^\circ)-2cos(\alpha))=$
Semplificando
$(2sin(\alpha)cos(60^\circ)-2sin(\alpha))/(2cos(\alpha)cos(60^\circ)-2cos(\alpha))=$
Essendo $cos(60^\circ)=1/2$, sostituendo nell’espressione otteniamo:
$(2*1/2sin(\alpha)-2sin(\alpha))/(2*1/2cos(\alpha)-2cos(\alpha))=$
$=(sin(\alpha)-2sin(\alpha))/(cos(\alpha)-2cos(\alpha))=(-sin(\alpha))/(-cos(\alpha))=tg(\alpha)$.
$sin(x+45^\circ)-sin(x-45^\circ)=1$
$sin(x+45^\circ)-sin(x-45^\circ)=1$
Tenendo presente le formule di somma e differenza del seno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$sin(x+45^\circ)-sin(x-45^\circ)=1$;
$sin(x+45^\circ)-sin(x-45^\circ)-1=0$;
$sin(x)cos(45^\circ)+cos(x)sin(45^\circ)-(sin(x)cos(45^\circ)-cos(x)sin(45^\circ))-1=0$;
$sin(x)cos(45^\circ)+cos(x)sin(45^\circ)-sin(x)cos(45^\circ)+cos(x)sin(45^\circ)-1=0$;
Semplificando
$2cos(x)sin(45^\circ)-1=0$;
$2((sqrt2)/2)cosx-1=0$;
$sqrt2cosx=1 => cosx=1/(sqrt2)=(sqrt2)/2$.
Pertanto $x=arccos((sqrt2)/2)+k(360^\circ)=+-45^\circ+k(360^\circ)$, $AA k in ZZ$
Semplificare la seguente espressione
$(sqrt2cos(135^\circ+x))/(cos(x+120^\circ)+cos(x-120^\circ))$
$(sqrt2cos(135^\circ+x))/(cos(x+120^\circ)+cos(x-120^\circ))=$
Tenendo presente le formule di somma del coseno:
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$(sqrt2cos(135^\circ+x))/(cos(x+120^\circ)+cos(x-120^\circ))=$
$=(sqrt2(cos(135^\circ)cosx-sin(135^\circ)sinx))/(cos(120^\circ)cosx-sin(120^\circ)sinx+cos(120^\circ)cosx+sin(120^\circ)sinx)=$
Semplificando
$=(sqrt2(-(sqrt2)/2cosx-(sqrt2)/2sinx))/(2cos(120^\circ)cosx)=$
$=(-cosx-sinx)/(2*(-1/2)cosx)=(-cosx-sinx)/(-cosx)=(cosx)/(cosx)+(sinx)/(cosx)=1+tgx$.
Semplificare la seguente espressione
$sin(x+30^\circ)cosy-cosxcos(y+60^\circ)-cos(30^\circ)sin(x+y)$
$sin(x+30^\circ)cosy-cosxcos(y+60^\circ)-cos(30^\circ)sin(x+y)=$
Tenendo presente le formule di somma del seno e del coseno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$sin(x+30^\circ)cosy-cosxcos(y+60^\circ)-cos(30^\circ)sin(x+y)=$
$(sinxcos(30^\circ)+sin(30^\circ)cosx)cosy-cosx(cosycos(60^\circ)-sinysin(60^\circ))-(sqrt3)/2(sinxcosy+cosxsiny)=$
$((sqrt3)/2sinx+1/2cosx)cosy-cosx(1/2cosy-(sqrt3)/2siny)-(sqrt3)/2sinxcosy-(sqrt3)/2sinycosx=$
$(sqrt3)/2sinxcosy+1/2cosxcosy-1/2cosycosx+(sqrt3)/2sinycosx-(sqrt3)/2sinxcosy-(sqrt3)/2sinycosx=$
Semplificando si ha che l’espressione
$sin(x+30^\circ)cosy-cosxcos(y+60^\circ)-cos(30^\circ)sin(x+y)=0$.
Noti $sin(\alpha)=3/5; cos(\beta)=8/(17)$ calcolare le funzioni degli archi
$\alpha+\beta, \alpha-\beta$
Sapendo che $\alpha$ e $\beta$ sono entrambi acuti.
Svolgimento
$\alpha$ e $\beta$ sono entrambi acuti, allora devono rispettare le seguenti condizioni:
$(0^\circ)<(\alpha)<(90^\circ)$ e $(0^\circ)<(\alpha)<(90^\circ)$
Se il $sin(\alpha)=3/5 => \alpha=arcsin(3/5)=36,9^\circ$
Se il $cos(\beta)=8/(17) => \beta=arccos(8/(17))=61,9^\circ$
Pertanto
$\alpha+\beta=(36,9^\circ+61,9^\circ)=98,8^\circ$.
$\alpha-\beta=(36,9^\circ-61,9^\circ)=-25^\circ=335^\circ$.
Sapendo che $(0^\circ)<(\alpha)<(90^\circ)$ e che $sin(\alpha)=3/5$, calcolare $sin(30^\circ+\alpha)$
Svolgimento
Se il $sin(\alpha)=3/5 => \alpha=arcsin(3/5)=36,9^\circ$
Quindi il $cos(\alpha)=cos(36,9^\circ)=0,8=8/(10)=4/5$
Per la formula di somma del seno:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
Nel nostro caso $sin(\alpha)=3/5 , \beta=30^\circ , cos(\alpha)=4/5$, sostituendo i valori noti otteniamo:
$sin(30^\circ+\alpha)=sin(\alpha)cos(30^\circ)+cos(\alpha)sin(30^\circ)=3/5*(sqrt3)/2+5/4*1/2=(3sqrt3)/(10)+2/5$.
Calcolare il valore della seguente espressione:
$sqrt(sin^2(105^\circ)+cos^2(15^\circ)-2sin(60^\circ)cos(60^\circ))$
$sqrt(sin^2(105^\circ)+cos^2(15^\circ)-2sin(60^\circ)cos(60^\circ))$
Noi sappiamo che $sin(105^\circ)=sin(60^\circ+45^\circ)=sin(60^\circ)cos(45^\circ)+cos(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2((sqrt2)/2)+1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/4+(sqrt2)/4=1/4(sqrt6+sqrt2)$,
$sin(60^\circ)=(sqrt3)/2 , cos(60^\circ)=1/2$,
$cos(15^\circ)=cos(45^\circ-30^\circ)=cos(45^\circ)cos(30^\circ)+sin(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2+(sqrt2)/2*1/2=(sqrt6)/(4)+(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6+sqrt2)$,
sostituiamo i valori noti nell’espressione e risolviamola:
$=sqrt((1/4(sqrt6+sqrt2))^2+(1/4(sqrt6+sqrt2))^2+2*((sqrt3)/2)*1/2)=$
$=sqrt(2(1/4(sqrt6+sqrt2))^2-(sqrt3)/2)=sqrt(2(1/(16)(6+2+2sqrt(12)))-(sqrt3)/2)=$
$=sqrt(1/8(8+4sqrt3)-(sqrt3)/2)=sqrt(1+1/2sqrt3-(sqrt3)/2)=sqrt1=1$.
Calcolare il valore della seguente espressione:
$sqrt(sin^2(15^\circ)+sin^2(30^\circ)+cos^2(30^\circ)tg(60^\circ))$
$sqrt(sin^2(15^\circ)+sin^2(30^\circ)+cos^2(30^\circ)tg(60^\circ))$
Noi sappiamo che $sin(15^\circ)=(sqrt6-sqrt2)/2 , sin(30^\circ)=1/2 , cos(30^\circ)=(sqrt3)/2 , tg(60^\circ)=sqrt3$,
sostituiamo i valori noti nell’espressione e risolviamola:
$=sqrt(((sqrt6-sqrt2)/4)^2+(1/2)^2+((sqrt3)/2)^2sqrt3)=$
$=sqrt(1/(16)(6+2-2sqrt2)+1/4+3/4sqrt3)=sqrt(1/(16)(8-2sqrt2)+1/4+3/4sqrt3)=$
$=sqrt(1/2-(sqrt3)/4+1/4+3/4sqrt3)=sqrt((2-sqrt3+1+3sqrt3)/4)=sqrt((3+2sqrt3)/4)=1/2sqrt(3+2sqrt3)$.
Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $15^\circ$.
Svolgimento
Osserviamo che $(15^\circ)=(45^\circ)-(30^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha-\beta)=(tg(\alpha)-tg(\beta))/(1+tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=45^\circ , \beta=30^\circ$, sostituendo otteniamo
$sin(15^\circ)=sin(45^\circ-30^\circ)=sin(45^\circ)cos(30^\circ)-cos(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2-1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/(4)-(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$cos(15^\circ)=cos(45^\circ-30^\circ)=cos(45^\circ)cos(30^\circ)+sin(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2+(sqrt2)/2*1/2=(sqrt6)/(4)+(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6+sqrt2)$
$tg(15^\circ)=tg(45^\circ-30^\circ)=(tg(45^\circ)-tg(30^\circ))/(1+tg(30^\circ)tg(45^\circ))=$
$=(1-(sqrt3)/3)/(1+(sqrt3)/3*1)=(1-sqrt3)/(1+sqrt3)$.
Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $48^\circ$.
Svolgimento
Osserviamo che $(48^\circ)=(30^\circ)+(18^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=30^\circ , \beta=18^\circ$, sostituendo otteniamo
$sin(48^\circ)=sin(30^\circ+18^\circ)=sin(30^\circ)cos(18^\circ)+cos(30^\circ)sin(18^\circ)=$
$=1/2(1/4(sqrt(10+2sqrt5)))+(sqrt3)/2*1/4(sqrt5-1)=(sqrt(10+2sqrt5))/8+(sqrt(15)-sqrt3)/8=1/8(sqrt(10+2sqrt5)+sqrt(15)-sqrt3)$.
$cos(48^\circ)=cos(30^\circ+18^\circ)=cos(30^\circ)cos(18^\circ)-sin(30^\circ)sin(18^\circ)=$
$=(sqrt3)/2*(1/4(sqrt(10+2sqrt5)))-1/2*1/4(sqrt5-1)=(sqrt3)/8(sqrt(10+2sqrt5))-1/8(sqrt5-1)=1/8(sqrt(3(10+2sqrt5))-sqrt5+1)$.
$tg(48^\circ)=tg(30^\circ+18^\circ)=(tg(30^\circ)+tg(18^\circ))/(1-tg(18^\circ)tg(30^\circ))=$
$=((sqrt3)/3+sqrt(1-2/5sqrt5))/(1-(sqrt3)/3*(sqrt(1-2/5sqrt5)))=((sqrt3+3sqrt(1-2/5sqrt5))/3)/((3-sqrt3-6/5sqrt5)/3)=$
$=(sqrt3+3sqrt(1-2/5sqrt5))/(3-sqrt3-6/5sqrt5)$.
Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $75^\circ$.
Svolgimento
Osserviamo che $(75^\circ)=(30^\circ)+(45^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=30^\circ , \beta=45^\circ$, sostituendo otteniamo
$sin(75^\circ)=sin(30^\circ+45^\circ)=sin(30^\circ)cos(45^\circ)+cos(30^\circ)sin(45^\circ)=$
$=1/2((sqrt2)/2)+(sqrt3)/2*(sqrt2)/2=(sqrt2)/4+(sqrt6)/4=1/4(sqrt2+sqrt6)$.
$cos(75^\circ)=cos(30^\circ+45^\circ)=cos(30^\circ)cos(45^\circ)-sin(30^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2*(sqrt2)/2-1/2*(sqrt2)/2=(sqrt6)/4-(sqrt2)/4=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$tg(75^\circ)=tg(30^\circ+45^\circ)=(tg(30^\circ)+tg(45^\circ))/(1-tg(45^\circ)tg(30^\circ))=$
$=((sqrt3)/3+1)/(1-(sqrt3)/3*1)=((sqrt3+3)/3)/((3-sqrt3)/3)=(sqrt3+3)/(3-sqrt3)$.
Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $105^\circ$.
Svolgimento
Osserviamo che $(105^\circ)=(60^\circ)+(45^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=60^\circ , \beta=45^\circ$, sostituendo otteniamo
$sin(105^\circ)=sin(60^\circ+45^\circ)=sin(60^\circ)cos(45^\circ)+cos(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2((sqrt2)/2)+1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/4+(sqrt2)/4=1/4(sqrt6+sqrt2)$.
$cos(105^\circ)=cos(60^\circ+45^\circ)=cos(60^\circ)cos(45^\circ)-sin(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt2)/2*1/2-(sqrt2)/2*(sqrt3)/2=(sqrt2)/4-(sqrt6)/4=1/4(sqrt2-sqrt6)$.
$tg(105^\circ)=tg(60^\circ+45^\circ)=(tg(60^\circ)+tg(45^\circ))/(1-tg(45^\circ)tg(60^\circ))=$
$=(sqrt3+1)/(1-(sqrt3*1))=(sqrt3+1)/(1-sqrt3)$.
Calcolare il valore della seguente espressione:
$2/(sqrt3)sin((\pi)/3)-sqrt3cos((\pi)/6)+2sqrt3tg((\pi)/6)+cotg(3/4(\pi))$
$2/(sqrt3)sin((\pi)/3)-sqrt3cos((\pi)/6)+2sqrt3tg((\pi)/6)+cotg(3/4(\pi))=$
Essendo $sin((\pi)/3)=(sqrt3)/2=cos((\pi)/6) , cotg((\pi)/6)=sqrt3 , cotg(3/4(\pi))=-1$,
sostituendo nell’espressione si ha:
$2/(sqrt3)((sqrt3)/2)-sqrt3((sqrt3)/2)+2sqrt3(sqrt3)-1=1-3/2+6-1=-3/2+6=$
Il m.c.m. è $2$, quindi
$(-3+12)/2=9/2$.
Calcolare il valore della seguente espressione:
$sqrt3sin(120^\circ)+3cos(240^\circ)+tg(150^\circ)-cotg(60^\circ)$
$sqrt3sin(120^\circ)+3cos(240^\circ)+tg(150^\circ)-cotg(60^\circ)=$
Essendo $sin(120^\circ)=(sqrt3)/2 , cos(240^\circ)=-1/2 , tg(150^\circ)=-(sqrt3)/3 , cotg(60^\circ)=(sqrt3)/3$,
sostituendo nell’espressione si ha:
$=sqrt3*(sqrt3)/2+3(-1/2)-(sqrt3)/3-(sqrt3)/3=3/2-3/2-(2sqrt3)/3=-(2sqrt3)/3$.