In un triangolo rettangolo l’area è $21450 dm^2$ e i cateti sono uno i $3/4$ dell’altro.
Calcola il perimetro del triangolo.

Soluzione

Dati
$b=3/4c$
$A=21450 dm^2$

Svolgimento

Dividendo $c$ in $4$ segmenti uguali, $b$ è lungo $3$ parti.
Il rettangolo di lati $b$ e $c$ è formato da $4*3=12$ quadratini Q uguali.
La superficie del triangolo, essendo la metà, è formata da $6$ quadratini $Q$.
Perciò l’area vale:
$Q=(21450 dm^2)/6=3575dm^2$

Quindi ogni lato del quadratino è dato dalla formula
$u=sqrt(Q)=sqrt(3575 dm^2)=59,79dm$
che rappresenta la misura di una singola parte, e perci&ograve si ha:
$c=4u=4*59,79 dm=239,16 dm$
$b=3u=3*59,79 dm=179,37 dm$

Per il Teorema di Pitagora
$a=sqrt((b)^2+(c)^2)=sqrt((179,37 dm)^2+(239,16 dm)^2)=sqrt(32173,60+57197,50) dm=$

$=sqrt(89371,10) dm=298,94 dm$
Pertanto
$2p=a+b+c=(298,94+179,37+239,16) dm=717,47 dm$.

I due cateti di un triangolo rettangolo $hat{ABC}$ misurano $54cm$ e $72cm$. L’altezza $bar(CH)$
relativa all’ipotenusa $bar(AB)$ la suddivide in due segmenti $bar(AH)$ e $bar(HB)$.
Calcola la loro misura.

Dati
$bar(CB)=54cm$
$bar(AC)=72cm$

Svolgimento

(a+c)-(a-c)=2c
$bar(AB)=sqrt((bar(CB))^2+(bar(AC))^2)=sqrt((54cm)^2+(72cm)^2)=sqrt(2916+5184)cm=sqrt(8100)cm=90cm$.

Per calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa risolviamo la formula
$bar(CH)=((bar(CB))(bar(CA)))/(bar(AB))=(54cm*72cm)/(90cm)=43,2cm$.

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $hat{AHC}$, dove $bar(AC)$ è l’ipotenusa si ha
$bar(AH)=sqrt((bar(AC))^2-(bar(HC))^2)=sqrt((72cm)^2-(43,2cm)^2)=$

$=sqrt(5184-1866,24)cm=sqrt(3317,76)cm=57,6cm$.

Analogamente procediamo con il triangolo rettangolo $hat{HCB}$, dove $bar(CB)$ è l’ipotenusa
$bar(HB)=sqrt((bar(CB))^2-(bar(CH))^2)=sqrt((54cm)^2+(43,2cm)^2)=$

$=sqrt(2916+1866,24)cm=sqrt(1049,76)cm=32,4cm$.

Infatti $bar(AH)+bar(HB)=(57,6+32.4)cm=90cm=bar(AB)$.

In un triangolo rettangolo $hat{ABC}$ il cateto minore misura $129cm$ e l’area è $11094cm^2$.
Calcola la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.

Dati
$bar(BC)=129cm$
$A=11094cm^2$

Svolgimento

$A=((bar(BC))(bar(CA)))/2$, da cui $bar(CA)=(2A)/(bar(BC))=(2*11094cm^2)/(129cm)=172cm$

Per il Teorema di Pitagora

$bar(AB)=sqrt((bar(AC))^2+(bar(CB))^2)=sqrt((172cm)^2+(129cm)^2)=sqrt(29584+1664)cm=sqrt(46225)cm=215cm$.

Infine, per calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa risolviamo la formula

$bar(CH)=((bar(CB))(bar(CA)))/(bar(AB))=(129cm*172cm)/(215cm)=103,2cm$.

Calcola il perimetro di un triangolo isoscele $hat{ABC}$, sapendo che l’altezza è lunga $12cm$ e la base misura $6cm$.

Soluzione

Dati:

$bar(AH)=12cm$
$bar(BC)=6cm$
$bar(AB)=bar(AC)$

Svolgimento

Osserviamo che $bar(BH)=(bar(BC))/2=6/2cm=3cm$
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo $hat{ABH}$ si ha
$bar(AB)=sqrt((bar(AH))^2+(bar(BH))^2)=sqrt((12cm)^2+(3cm)^2)=sqrt(144+9)cm=sqrt(153)cm=12,37cm$.
Il perimetro del triangolo isoscele allora sarà
$2p=bar(AB)+bar(AC)+bar(BC)=(12,37+12,37+6)cm=30,74cm$.

Quali delle seguenti terne di numeri rappresentano la misura di un triangolo rettangolo?

Svolgimento

Ricordiamo che perché una terna di numeri possa rappresentare la misura di un triangolo rettagolo, la somma dei quadrati dei due numeri più piccoli deve essere uguale al quadrato del terzo.

Si ha allora:
1) $a=111, b=99, c=10$
  Verifica
  $a^2=b^2+c^2$;
  $(111)^2=(99)^2+(10)^2$;
  $(12321)=(9801)+(100)$;
  $12321=9901$.
  Questa terna di numeri NON rappresenta la misura dei lati di un triangolo rettangolo.
2) $a=26, b=24, c=10$
  Verifica
  $a^2=b^2+c^2$;
  $(26)^2=(24)^2+(10)^2$;
  $(676)=(576)+(100)$;
  $676=676$.
  Questa terna di numeri rappresenta la misura dei lati di un triangolo rettangolo.
3) $a=175, b=168, c=49$
  Verifica
  $a^2=b^2+c^2$;
  $(175)^2=(168)^2+(49)^2$;
  $(30625)=(28224)+(2401)$;
  $30625=30665$.
  Questa terna di numeri rappresenta la misura dei lati di un triangolo rettangolo.
4) $a=91, b=109, c=60$
  Verifica
  $b^2=a^2+c^2$;
  $(109)^2=(91)^2+(60)^2$;
  $(11881)=(8281)+(3600)$;
  $11881=11881$.
  Questa terna di numeri rappresenta la misura dei lati di un triangolo rettangolo.

In un triangolo rettangolo la somma della misura del cateto minore e dell’ipotenusa è $104 cm$,
il cateto minore è $3/5$ dell’ipotenusa. Calcola perimetro e area del triangolo

Soluzione

Dati

$a+b=104 cm$
$b=3/5a$

Svolgimento

Il fatto che $b=3/5a$, significa che dividendo l’ipotenusa in $5$ parti uguali, il cateto minore
è individuato da sole $3$ parti, uguali alle precedenti, per cui sommando cateto minore e ipotenusa si
ottengono $8$ parti uguali.
Sapendo che la somma di queste parti è $104 cm$, per individuare la misura di ciascuna parte si
procede con la seguente operazione
$(104)/8 cm=13 cm$.
Quindi $a=5*13 cm=65 cm$ e $b=3*13 cm=39 cm$.
Applicando il Teorema di Pitagora, troviamo il cateto $c$
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((65 cm)^2-(39 cm)^2)=sqrt(4225-1521) cm=sqrt(2704) cm=52 cm$.
Il perimetro sarà
$2p=a+b+c=(65+39+52) cm=156 cm$
L’area sarà
$A=(b*c)/2=(39*52)/2cm^2=1014 cm^2$.

L’area di un triangolo rettangolo isoscele misura $128 cm^2$.
Calcola il perimetro del triangolo.

Soluzione

Dati

$ccA=128cm^2$
$bar(AB)=bar(AC)$

Svolgimento
L’area del triangolo è data dalla formula
$ccA=(bar(AB)*bar(AC))/2=128 cm^2$
Poniamo $bar(AB)=bar(AC)=x$, e sostituendo si ha
$(x^2)/2=128 cm^2$
risolviamo la seguente equazione di secondo grado
$(x^2)/2=128 cm^2$;
$x^2=2*128 cm^2$;
$x^2=256 cm^2 -> x=sqrt(256) cm=16 cm$.
Quindi $bar(AB)=bar(AC)=16 cm$
Per il Teorema di Pitagora si ha
$BC=sqrt((bar(AB))^2+bar(AC)^2)=sqrt((16 cm)^2+(16 cm)^2)=sqrt(256+256) cm=sqrt(512)cm=22,63 cm$.
Pertanto $2p=bar(AB)+bar(AC)+bar(BC)=(16+16+22,63) cm=54.63 cm$.

Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo che ha l’ipotenusa che
misura $35cm$ e il cateto minore $21cm$.

Dati

$bar(AC)=35cm$
$bar(BC)=21cm$

Svolgimento

Applichiamo il Teorema di Pitagora per calcolare il cateto $bar(AB)$.
$bar(AB)=sqrt((bar(AC))^2-(bar(BC))^2)=sqrt((35)^2-(21)^2)cm=sqrt(1225-441)cm=$
$=sqrt(784)cm=28cm$.
Calcoliamo ora il perimetro
$2p=bar(AB)+bar(AC)+bar(BC)=(28+35+21)cm=84cm$.
L’area, infine, sarà data dalla formula
$A=(bar(BC)*bar(AB))/2=(21*28)/2cm^2=294cm^2$.