Autore: Francesco Speciale

${(x^3-xy-1=0),(x+y=1):}$

Svolgimento:
$\{(x^3-xy-1=0),(x+y=1):}$
Esplicitiamo la variabile $y$ nell’equazione di primo grado:
$\{(x^3-xy-1=0),(y=1-x):}$
Sostituiamo l’espressione trovata nell’altra equazione:
$\{(x^3-x(1-x)-1=0),(y=1-x):}=>\{(x^3-x+x^2-1=0),(y=1-x):}$
Utilizzando la scomposizione in fattori otteniamo:
$\{((x-1)(1+x)^2),(y=1-x):}$
Allora le soluzioni del sistema sono l’unione delle soluzionidei due sistemi:
$\{(x-1=0),(y=1-x):} vv \{((1+x)^2=0),(y=1-x):}$
cioè
$\{(x=1),(y=0):} vv \{(x=-1),(y=2):}$ (soluzione doppia).

${(x+y=2),(xy=-15):}$

Svolgimento:
$\{(x+y=2),(xy=-15):}$
Le soluzioni del sistema sono le radici dell’equazione risolvente:
$t^2-2t-15=0$
$t_1=5,t_2=-3$
Allora, l’insieme delle soluzioni del sistema è
$\{(x=5),(y=-3):} vv \{(y=5),(x=-3):}$.

${(x+y=-sqrt2),(x^2+y^2=10):}$

Svolgimento:
$\{(x+y=-sqrt2),(x^2+y^2=10):}$
Esso equivale al sistema
$\{(x+y=-sqrt2),((x+y)^2-2xy=10):}$
$\{(x+y=-sqrt2),(2-2xy=10):}$
$\{(x+y=-sqrt2),(xy=-4):}$
Le soluzioni del sistema sono le radici dell’equazione risolvente:
$t^2+sqrt2t-4=0$
$t_1=-2sqrt2,t_2=sqrt2$
Allora, l’insieme delle soluzioni del sistema è
$\{(x=sqrt2),(y=-2sqrt2):} vv \{(y=sqrt2),(x=-2sqrt2):}$.

${(x+y=-2sqrt3),(x^3+y^3=-78sqrt3):}$

Svolgimento:
$\{(x+y=-2sqrt3),(x^3+y^3=-78sqrt3):}$
Esso equivale al sistema
$\{(x+y=-2sqrt3),((x+y)^3-3xy(x+y)=-78sqrt3):}$
$\{(x+y=-2sqrt3),(-24sqrt3+6sqrt3xy=-78sqrt3):}$
$\{(x+y=-2sqrt3),(xy=-9):}$
Le soluzioni del sistema sono le radici dell’equazione risolvente:
$t^2+2sqrt3t-9=0$
$t_1=-3sqrt3,t_2=sqrt3$
Allora, l’insieme delle soluzioni del sistema è
$\{(x=sqrt3),(y=-3sqrt3):} vv \{(y=sqrt3),(x=-3sqrt3):}$.

$3/(x^2-9)-1/(9-6x+x^2)=3/(2x^2+6x)$

Svolgimento:
$3/(x^2-9)-1/(9-6x+x^2)=3/(2x^2+6x)$;
$3/((x+3)(x-3))-1/(x-3)^2=3/(2x(x+3))$;
$3/((x+3)(x-3))-1/(x-3)^2-3/(2x(x+3))=0$;
$(6x(x-3)-2x(x+3)-3(x-3)^2)/(2x(x+3)(x-3)^2)=0$;
Moltiplichiamo denominatore e numeratore per $(2x(x+3)(x-3)^2)$e
per la C.E. dovrà risultare $x!=0 ^^ x!=+-3$.
Da qui si ha
$(6x(x-3)-2x(x+3)-3(x-3)^2)=0$;
$6x^2-18x-2x^2-6x-3(x^2+9-6x)=0$;
$4x^2-24x-3x^2-27+18x=0$;
$x^2-6x-27=0$
Applicando il $\Delta$ troviamo due soluzioni:$x_1=9,x_2=-3$.
Ma $x_2$ non è possibile per la C.E. e quindi l’equazione ammette comeunica soluzione$x_1=9$.

$7/(root(3)(5)+root(3)(2))$

Svolgimento:
$7/(root(3)(5)+root(3)(2))$
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $(root(3)(25)-root(3)(10)+root(3)(4))$
$7/(root(3)(5)+root(3)(2))=(7(root(3)(25)-root(3)(10)+root(3)(4)))/((root(3)(5)+root(3)(2))(root(3)(25)-root(3)(10)+root(3)(4)))=$
$=(7(root(3)(25)-root(3)(10)+root(3)(4)))/(5+2)=(root(3)(25)-root(3)(10)+root(3)(4))$.

$2/(sqrt2-2+sqrt6)$

Svolgimento:
$2/(sqrt2-2+sqrt6)$
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $(sqrt2-2-sqrt6)$:
$2/(sqrt2-2+sqrt6)=(2(sqrt2-2-sqrt6))/((sqrt2-2+sqrt6)(sqrt2-2-sqrt6))=$
$=(2(sqrt2-2-sqrt6))/((sqrt2-2)^2-6)=(2(sqrt2-2-sqrt6))/(2+4-4sqrt2-6)=(-2sqrt2+2+sqrt6)/(2sqrt2)=$
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $(sqrt2)$:
$(2(-1+sqrt2+sqrt3))/4=(-1+sqrt2+sqrt3)/2$.

In un branco di cammelli e dromedari, si contano $180$ teste e $304$ gobbe.

 

In un branco di cammelli e dromedari, si contano $180$ teste e $304$ gobbe.
Quanti sono i cammelli e quanti i dromedari?

 

 

Svolgimento:
[per chi non si ricordasse i cammelli hanno 2 gobbe,mentre i dromedari 1 sola]
Indichiamo con $c$: il numero dei cammelli e con $d$:il numero dei dromedari.
Sappiamo che
$c+d=180$ (numero di teste)
e
$2c+d=304$ (numero di gobbe, dove $2c$ a causa delle due gobbe dei cammelli)
Impostiamo così un sistema di equazioni
$\{(c+d=180),(2c+d=304):}$
Procediamo, quindi nella risoluzione
$\{(c+d=180),(2c+d=304):}$
$\{(c=-d+180),(2(-d+180)+d=304):}$
$\{(c=-d+180),(-2d+360+d=304):}$
$\{(c=-d+180),(-d=-56):}=>\{(c=-d+180),(d=56):}=>\{(c=124),(d=56):}$.
Pertanto nel branco sono presenti $124$cammelli e $56$dromedari.

“è vero che per il tuo compleanno non ti ho regalato nulla!” dice Andrea (22 anni)

 

 "è vero che per il tuo compleanno non ti ho regalato nulla!" dice Andrea (22 anni)
alla sorellina Silvia (8 anni), "ma vedrai che quando avrò il triplo dei tuoi anni
ti farò uno splendido regalo!"
Silvia prende carta e penna, scrive, calcola, controlla e poi risponde:
"sei il solito spilorcio!"
Spiegare il perchè

 

 

 

 

Svolgimento:
Sia $s$ l’età della sorella
"quando io avrò il triplo dei tuoi anni" $=3s=s+14$, perchè cmq la differenza tra
l’età dei due fratelli rimane costante.
Risolvendo l’equazione si ottiene che $2s=14=>s=7$,
per cui il compleanno a cui spettava lo splendido regalo è già passato,in quanto Silvia
ha già 8 anni.

$(x+3(x-1))/(2/3)-(x+2)(x-1/3)>1/4-x^2$

Svolgimento:
$(x+3(x-1))/(2/3)-(x+2)(x-1/3)>1/4-x^2$
$3(x+3(x-1))/2-(x^2-1/3x+2x-1/3)-1/4+x^2>0$
$(3x+9x+9)/2-x^2+1/3x-2x+1/3-1/4+x^2>0$
dopo aver semplificato si ha
$(12x-9)/2+1/3x-2x+1/3-1/4>0$
$(72x-54+4x-24x+4-3)/(12)>0$
Moltiplicando ambo i membri per $12$ si ottiene
$(72+4-24)x>54-3+4$
$52x>53=>x>(53)/(52)$.

$(x-1/3)(x+2/5)-(x-2)(x+3) lt 4/15$

Svolgimento:
$(x-1/3)(x+2/5)-(x-2)(x+3)<4/(15)$
$x^2+2/5x-1/3x-2/(15)-(x^2+3x-2x-6)-4/(15)<0$
$x^2+2/5x-1/3x-2/(15)-x^2-x+6-4/(15)<0$
dopo aver semplificato si ha
$(6x-5x-2-15x+90-4)/(15)<0$
Moltiplicando ambo i membri per $15$ otteniamo
$6x-5x-15x<2+4-90$
$-14x<-84=>14x>84=>x>6$.

$x/5-(x+1/3)/4 lt 1/5-2(x-1/3)$

Svolgimento:
$x/5-(x+1/3)/4<1/5-2(x-1/3)$
$x/5-((3x+1)/3)/4<1/5-2x+2/3$
$x/5-(3x+1)/12-1/5+2x-2/3<0$
$(12x-15x-5-12+120x-40)/(60)<0$
Semplificando e moltiplicando ambo i membri per $60$ otteniamo
$(12-15+120)x<(5+12+40)$
$117x<57=>x<(57)/(117)$.

$y=e^(-2x)$

Svolgimento:
Ricordiamo che se $f(x)=e^(g(x))=>f'(x)=g'(x)e^(g(x))$
Quindi se $y=e^(-2x)=>y’=(-2)*e^(-2x)$.

$y=e^(-2x^2)$

Svolgimento:
Ricordiamo che se $f(x)=e^(g(x))=>f'(x)=g'(x)e^(g(x))$
Pertanto se $y=e^(-2x^2)=>y’=(-4x)*e^(-2x^2)$.

Anna e Francesca hanno rispettivamente probabilità $1/2$ e $1/5$ di superare l’esame,

 

 

 Anna e Francesca hanno rispettivamente probabilità $1/2$ e $1/5$ di superare l’esame,
e la probabilità che entrambe superino l’esame è $1/(10)$.
Detereminare la probabilità che almeno una delle 2 superi l’esame.

 

 

 

Svolgimento:
Si tratta di applicare la seguente formula: $P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)$
quindi si ha
$P(AuuB)=1/2+1/5-1/(10)=6/(10)=3/5$.

$lim_{xto 0}(e^x^2-1-x^2+5x^4)/(sin(2x^4)+x^5)$.

Svolgimento:
Ricordando che
$e^x=1+x+x^2/(2!)+o(x^2)$
$sinx=x+o(x^2)$
e applicando queste formule al caso nostro otteniamo
$e^x^2=1+x^2+x^4/(2!)+o(x^4)$
$sin(2x^4)=2x^4+o(x^4)$.
Inserendo queste formule nel limite iniziale si ha
$lim_{xto 0}(1+x^2+x^4/(2!)+o(x^4)-1-x^2+5x^4)/(2x^4+o(x^4)+x^5)$
ricordando che gli infinitesimi di ordine superiore possono esere trascurati
in quanto vanno a $0$ più rapidamente [$o(x^5)$ va a $0$ più rapidamente di$x^4$ ],
il limite diventa
$lim_{xto 0}(11)^(x^4/2)/(2x^4)=(11)/4$.