Esempi di problemi sulla circonferenza

Esempio 1: Equazione della circonferenza dati il centro e il raggio

L’esercizio più semplice che ci possa capitare di risolvere consiste nello scrivere l’equazione di una circonferenza di dati raggio e centro. Un punto ? appartiene a detta circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro ? è pari a ?, per la definizione stessa di circonferenza come luogo geometrico. Dunque impostando $ PC = r $, o il che è lo stesso $ PC^2 – r^2 = 0 $, avremo la soluzione.

Siano dati ad esempio \( r=\frac{\sqrt{7}}{2} \) e \( C\Big( \frac{\sqrt{3}}{2} \Big) \), e seguiamo il ragionamento precedente onde trovare l’equazione della circonferenza \( \Gamma \). Se ? è il generico punto $ (x, y) $ del piano, dalla scrittura $ PC^2 – r^2 = 0 $ otteniamo

\( (x-2)^2 + \Big( y – \frac{\sqrt{3}}{2} \Big)^2 – \frac{7}{4} = 0 \Rightarrow x^2 + + 4 – 4x + y^2 + \frac{3}{4} – \sqrt{3} y – \frac{7}{4} = 0 \)

Da cui infine \( x^2 + y^2 – 4x – \sqrt{3}y + 3 \). Come si vede, questo metodo fornisce sempre l’equazione della circonferenza Γ direttamente in forma canonica.

 

Esempio 2: Determinare centro e raggio data l’equazione della circonferenza

Se ne abbiamo l’equazione, è possibile determinare qualsiasi informazione riguardo alla circonferenza Γ da essa descritta, in particolare il centro e il raggio. Basta infatti ricordare le formule

\( C\Big( -\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2} \Big) \,\,\, \text{ e } \,\,\, r = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4}-\gamma} \)

per applicare le quali è però necessario prima portare l’equazione di \( \Gamma \) in forma canonica.

Si consideri ad esempio la circonferenza di equazione \( \Gamma: x^2+y^2-\frac{3}{2}x-7y+\frac{9}{16} = 0 \). In essa si ha \( \alpha=-\frac{3}{2}, \beta=-7 \text{ e } \gamma = \frac{9}{16} \), dunque applicando le formule precedenti avremo

\( C\Big( -\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2} \Big) \Rightarrow C\Big( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \Big) \,\,\, \text{ e } \,\,\, r = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4}-\gamma} = \)

\( = \sqrt{\frac{\Big( -\frac{3}{2} \Big)^2+(-7)^2}{4}-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{49}{4}-\frac{9}{16}} = \frac{7}{2} \)
Esempio 3: Equazione della circonferenza dati il centro e un punto

Supponiamo adesso di aver fissato un punto ? appartenente alla circonferenza, e di sapere che il suo centro è il punto ?; vogliamo, sulla base di questi dati, determinare l’equazione della circonferenza \( \Gamma \). Un modo semplice di risolvere questo esercizio è ridursi all’esempio 1, determinando preventivamente la lunghezza del raggio. Ciò non pone alcuna difficoltà, in quanto l’appartenenza di ? a \( \Gamma \) implica che ??=?, e la lunghezza di ?? si determina senza problemi.

A titolo d’esempio si scelgano \( P(-1, 4) \text{ e } C\Big( 0, \frac{13}{8} \Big) \). Usando la formula della distanza tra due punti e il ragionamento appena esposto, calcoliamo il raggio:

\( r = PC = \sqrt{(-1-0)^2+\Big(4-\frac{13}{8} \Big)^2} = \sqrt{1+\Big(\frac{19}{8}\Big)^2} = \sqrt{1+\frac{361}{64}} = \sqrt{\frac{425}{64}} = \frac{5\sqrt{17}}{8} \)

Come nell’esempio 1 la circonferenza è allora data dall’equazione

\( (x-0)^2+\Big( y-\frac{13}{8} \Big)^2 = \Big( \frac{5\sqrt{7}}{8} \Big)^2 \Rightarrow x^2+y^2-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}-\frac{425}{64} = 0 \)

\( x^2 + y^2 – \frac{13}{4}y – 4 = 0 \)

 

Esempio 4: Posizione di un punto rispetto a una circonferenza

Alle volte può essere utile riuscire a determinare la posizione di un punto dato rispetto a una circonferenza, ovvero dire se esso è interno alla circonferenza, esterno ad essa o le appartiene. Teoricamente l’esercizio è semplice: poiché per definizione la circonferenza è il luogo dei punti che si trovano alla distanza ? dal centro ?, sarà sufficiente determinare la distanza del punto dato ? da ?. Se ??=? il punto appartiene alla circonferenza per definizione; qualora invece \( PC \lt r \) o \( PC \gt r \), diremo che il punto è, rispettivamente, interno o esterno alla circonferenza.

Si prendano ad esempio la circonferenza \( \Gamma: x^2 + y^2 = 4 \)  e i tre punti \( P_1(1, 0), P_2(2,0) \) e \( P_3(3,0) \). Applicando il metodo visto nell’esempio 2, concludiamo subito che il centro e il raggio di \( \Gamma \) sono rispettivamente ?(0,0) e ?=2; è anche facile dire, visto che il centro e i tre punti si trovano tutti sulla stessa ordinata, che \( OP_1 = 1, OP_2 = 2, \text{ e } OP_3 = 3 \). È allora chiaro che

\( OP_1 \lt r \rightarrow  P_1 \text{ interno a } \Gamma \)

\( OP_2 = r \rightarrow P_2 \in \Gamma \)

\( OP_3 \gt r \rightarrow P_3 \text{ esterno a } \Gamma \)

 

Esempio 5: Circonferenza per tre punti non allineati

Siano fissati tre punti ?,? e ?; il problema consiste nel trovare, se esiste, la circonferenza cui tutti e tre i punti dati appartengono. Si vede subito che ciò è impossibile se ?, ? e ? giacciono sulla stessa retta, quindi per prima cosa troveremo la retta passante per ? e ? e verificheremo che ? non le appartiene. Dopodiché, se il riscontro sarà positivo, scriveremo l’equazione della circonferenza generica

\[ x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \]

e sostituiremo la coordinate di ?,? e ? alle incognite $ x $ e $ y $, ottenendo tre equazioni in \( \alpha, \beta \) e \( \gamma \) che andranno messe a sistema. La soluzione del sistema consentirà di trovare in modo unico i tre parametri che definiscono la circonferenza, e il problema sarà risolto.

Prendiamo il caso, ad esempio, dei punti ?(−2,−1), ?(1, 4) e ?(−1,−1). Come si vede, i tre punti non possono essere allineati; infatti ? e ? giacciono entrambi sulla retta $y = 1 $, cui ? non appartiene avendosi $ y_B = 4 $. Allora esiste effettivamente una circonferenza passante per i tre punti dati, ed essa è unica. Troviamola risolvendo il sistema

\( \begin{cases} 4+1-2\alpha-\beta+\gamma = 0\\ 1+16+\alpha+4\beta+\gamma = 0 \\ 1+1-\alpha-\beta+\gamma = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2\alpha – \beta+\gamma = – 5 \\ \alpha+4\beta+\gamma = -17 \\ -\alpha-\beta+\gamma = -2 \end{cases} \)

Il sistema si risolve facilmente, poiché \( \gamma \) si può eliminare da due qualsiasi delle equazioni date; questa eventualità si verifica sempre, qualunque siano i punti ?, ? e ? iniziali. La soluzione è

\( \alpha = 3, \beta = -\frac{21}{5}, \gamma = -\frac{16}{5} \Rightarrow x^2+y^2+3x-\frac{21}{5}y-\frac{16}{5} = 0\)

 

Altro materiale di supporto

Videolezioni di geometria analitica

 

Definizione di circonferenza

Definizione 1: Definizione di circonferenza

Fissati un punto $ C(x_0, y_0) $ e un numero reale \( r \gt 0 \), si definisce circonferenza di centro $ C $ e raggio $ r $ il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano la cui distanza da $ C $ è pari a $ r $.

Osservazione 1: Se nella definizione 1 si diminuisce sempre di più il raggio della circonferenza, si vede che il luogo geometrico descritto è una circonferenza di misura via via minore, che si restringe attorno al suo centro $ C $. Se poi $ r = 0 $, il luogo si riduce al solo centro $ C $ della circonferenza, che in questo caso viene appunto detta degenere nel suo centro.

Osservazione 2: Se nella definizione 2 si aumenta sempre di più il raggio della circonferenza, si vede che il luogo geometrico descritto è una circonferenza di misura via via maggiore. Si può anche notare che la curvatura del grafico diventa sempre più piccola, cioè la curva stessa finisce con l’assomigliare localmente a una retta. Se poi \( r = \infty \), il luogo si riduce appunto a una retta, e la circonferenza viene detta degenere di raggio infinito.

Osservazione 3: Ci si potrebbe domandare come mai gli strani luoghi geometrici definiti dalle osservazioni 1 e 2 vengano considerati circonferenze; ebbene, questa convenzione torna utile allorché si studiano i fasci di circonferenze, perché consente di considerare come tali anche curve che non verificano esattamente la definizione 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Equazione della circonferenza

Metodo per ricavare l’equazione: In questa sezione vogliamo adoperare la definizione 1 per ottenere l’equazione della circonferenza di centro $ C $ e raggio $ r $ fissati, ovvero quella relazione che è soddisfatta da tutti e soli i punti appartenenti al luogo descritto. Sia dunque

$ P(x, y) $ un punto qualsiasi appartenente alla nostra circonferenza. Poiché la sua distanza dal centro $ C $ è nota, deve senza dubbio valere

\[ \begin{equation} \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = r \label{eq1} \end{equation} \]

Questa equazione, che adopera al primo membro la ben nota formula per ricavare la distanza di due punti, non dice altro che la distanza tra il punto $ P $ e il punto $ C $ è pari a $ r $. Poiché dalla definizione 1 sappiamo che \( r \gt 0 \) (oppure \( r \ge 0 \) se vogliamo includere anche quanto aggiunto dall’osservazione 1), non lediamo le generalità prendendo il quadrato di entrambi i membri della (\(\ref{eq1}\)):

\[ \begin{equation} (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2 \label{eq2} \end{equation} \]

Questa è l’equazione cercata.

Osservazione 4: Notiamo subito che se poniamo, come da osservazione 1, $ r = 0 $, avremo

\[ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 0 \]

Poiché un quadrato di un numero reale è sempre non negativo, la relazione su scritta afferma che la somma di due numeri maggiori o uguali di 0 è 0; ciò è possibile solo allorché entrambi i quadrati risultano nulli, cioè se e solo se si ha contemporaneamente $ x-x_0 = 0 $ e $ y – y_0 = 0 $. Questo è equivalente a dire che l’unico punto ? appartenente alla nostra circonferenza è $ P(x_0, y_0) = C $, e quindi come avevamo annunciato la circonferenza si è ridotta al suo solo centro.

Definizione 2: Equazione in forma canonica

L’equazione di una circonferenza si dice essere in forma canonica allorché essa si presenta scritta come

\[ \begin{equation} x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y  + \gamma = 0 \label{eq3} \end{equation} \]

in cui \( \alpha, \beta \) e \( \gamma \) sono numeri reali.

Osservazione 5: Ogni circonferenza può essere scritta in forma canonica. Infatti in (\( \ref{eq2} \)), che è l’equazione generale di una circonferenza, possiamo espandere i quadrati è scrivere

\[ x^2 – 2xx_0 + x^2_0 + y^2 – 2yy_0 + y^2_0 = r^2 \]

Da questa è facile ottenere la seguente:

\[ x^2 + y^2 + (-2x_0) x + (-2y_0)y + (x^2_0 + y^2_0 – r^2) = 0 \]

che si riduce subito alla (\( \ref{eq3} \)) imponendo \( \alpha = -2x_0, \beta = -2y_0 \) e \( \gamma = x^2_0 + y^2_0 -r^2 \). Da queste tre relazioni possiamo inoltre ricavare le inverse:

\[ \begin{equation} C\Big(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2} \Big), r = \sqrt{x^2_0+y^2_0 – \gamma} = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma} \label{eq4} \end{equation} \]

Le relazioni (\(\ref{eq4}\)) ci consentono di ottenere, quando necessario, le coordinate del centro e la misura del raggio di una circonferenza la cui equazione è scritta in forma canonica.

Osservazione 6: Nell’osservazione 5 abbiamo visto che ogni circonferenza si può scrivere in forma canonica; non è d’altra parte vero il contrario, cioè non ogni possibile scelta di tre numeri reali \( \alpha, \beta \text{ e } \gamma \) è tale che la (\(\ref{eq3}\)) sia l’equazione di una circonferenza. Questa asimmetria si deve alla seconda delle relazioni (\(\ref{eq4}\)):

\[ r = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma} \]

Perché questa abbia senso, è necessario che \( \frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}-\gamma \ge 0 \), ovvero che \( \gamma \le \frac{\alpha^2+\beta^2}{4} \); se infatti \( \gamma \) è maggiore di tale quantità, il radicando della (\(\ref{eq4}\)) è un numero negativo e non è possibile trovare il raggio della circonferenza. Comunque, la limitazione riguarda solo \( \gamma \): i valori di \( \alpha \) e \( \beta \) possono essere invece scelti liberamente, com’è ovvio dalla prima delle relazioni (\( \ref{eq4} \)): se alcuni valori di \(\alpha \text{ o } \beta \) fossero vietati, non si potrebbero infatti considerare circonferenze di centro qualsiasi.

 

Altro materiale di supporto

Test sulla circonferenza

 

 

 

 

 

 

 

 

Videolezione sulla circonferenza

 

 

 

 

 

 

 

Esempi

Esempio 1: Dire quali delle rette date sono parallele e quali ortogonali:

\( a: y = x + 4\,\, , \,\, b: y = – x – 2 \,\, , \,\, c: y = \frac{x}{2} + 1 \,\, , \,\, d: y = 5 -x \,\, , \,\, e: y = 2 – 2x \)

Per risolvere questo esercizio potremmo certamente intersecare tutte le rette due a due e constatare così se ci sono punti d’intersezione; ma questo metodo è molto lungo e inutilmente complicato, dal momento che non ci è stato richiesto di scoprire le coordinate degli eventuali punti d’intersezione. Troviamo i coefficienti angolari delle rette:

\( m_a = 1, \,\, m_b = -1, \,\, m_c = \frac{1}{2}, \,\, m_d = -1, \,\, m_e = -2 \)

Poiché due rette parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare, l’unica coppia di parallele presente è quella costituita dalle rette ? e ?. Dal momento che inoltre

\( m_am_b = m_am_d = m_cm_e = -1 \)

le coppie di rette \( \{a, b\}, \{a, d\}, \{c, e\} \) sono costituite da rette ortogonali. Tutte le altre coppie di rette possibili non sono parallele, ma nemmeno perpendicolari: ne consegue che sono semplicemente incidenti.

Esempio 2: Si trovino i punti d’intersezione delle coppie di rette {?,?},{?,?},{?,?}

Dall’esempio precedente risulta che la prima coppia è costituita da rette ortogonali, la seconda da parallele e la terza da rette incidenti. Per determinare le intersezioni, che questa volta ci sono state richieste esplicitamente, risolviamo i tre sistemi seguenti:

\( \begin{cases} y = x+4 \\ y = -x – 2 \end{cases} \,\,\,\, \begin{cases} y=-x-2 \\ y = 5-x \end{cases} \,\,\,\, \begin{cases}y = 5-x \\ y = 2 -2x \end{cases} \)

Essi si risolvono tutti facilmente. Il primo e il terzo danno rispettivamente $ (−3,1) $ e $ (−3,8) $, mentre il secondo è impossibile: sottraendo membro a membro abbiamo infatti $ 0 =−7 $, che è naturalmente falsa. Quindi mentre le intersezioni della prima e della terza coppia di rette sono $ (−3,1) $ e $ (−3,8) $, la seconda coppia non ha punti d’intersezione; ciò non sorprende, poiché come già sapevamo essa è formata da rette parallele.

Esempio 3: Si trovi la retta passante per i punti \( A\Big( -1, \frac{2}{3}\Big) \) e \( B\Big( \frac{1}{3}, 2 \Big) \).

Per questo semplice esempio basta applicare la formula per la retta tra due punti:

\( \frac{y-y_A}{y_B-y_A} = \frac{x-x_A}{x_B-x_A} \Rightarrow \frac{y-\frac{2}{3}}{2-\frac{2}{3}} = \frac{x-(-1)}{\frac{1}{3}-(-1)} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \frac{3}{4} \Big( y-\frac{2}{3}\Big) = \frac{3}{4} (x+1) \Rightarrow y = x + \frac{5}{3} \)

Dunque l’unica retta che passa per ? e ? è quella di equazione \( y = x + \frac{5}{3} \).

Alternativamente, avremmo potuto trovare l’equazione del fascio proprio di centro ? e quindi cercare quell’unica sua retta passante per ?: questo metodo ci avrebbe portato, attraverso una strada più lunga, al medesimo risultato.

Esempio 4: Si trovi l’asse del segmento i cui estremi sono i punti \( A \Big(-1, \frac{2}{3}\Big) \) e \( B\Big( \frac{1}{3}, 2\Big) \).

Cominciamo col trovare il punto medio del segmento ??: per definizione le sue coordinate sono le medie di quelle dei punti ? e ?, cioè

\( M\Big( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \Big) \Rightarrow M\Big( \frac{-1+\frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{2}{3}}{2} \Big) \Rightarrow M\Big( -\frac{1}{3}, \frac{4}{3} \Big) \)

L’asse del segmento ?? è l’unica retta passante per ? che sia ortogonale ad ??; bisogna quindi calcolare l’equazione del fascio proprio di punto base ?, cioè

\( \Phi: \Big( y – \frac{4}{3} \Big) = m \Big( x + \frac{1}{3}\Big) \Rightarrow 3y – 4 = 3mx + m \)

e richiedere che il parametro ? sia esattamente −1/???, il che assicura l’ortogonalità. Dall’esempio precedente sappiamo che la retta passante per ? e ? ha coefficiente angolare \( m_{AB} = 1 \), col che l’? da sostituire sarà −1, e l’asse del segmento avrà equazione

\( 3y – 4 = -3x – 1 \Rightarrow 3y = -3x + 3 \Rightarrow y = 1 – x \)

Esempio 5: Si trovino le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti di equazioni \( r_1: y = \frac{x}{\sqrt{3}} + 1, \,\, r_2: y = \sqrt{3}x + 3 \).

Scriviamo le equazioni delle due rette date in forma implicita attraverso semplici passaggi:

\( r_1: x – \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, r_2: \sqrt{3}x – y + 3 = 0 \)

Non ci resta che applicare la formula trovata in teoria per le bisettrici di due rette date in forma implicita; le loro equazioni possono essere scritte insieme nel modo seguente

\( \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}} \)

nel quale i numeri ?,?,? indiciati che compaiono sono naturalmente i coefficienti delle rette. Sostituendo, avremo

\( \frac{x-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{1^2(-\sqrt{3})^2}} =  \pm \frac{\sqrt{3}x-y+3}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}} \Rightarrow \frac{x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}x-y+3}{\sqrt{4}} \)

\( x – \sqrt{3}y + \sqrt{3} = \pm (\sqrt{3} x – y + 3) \)

 

il che ci dà le due rette di equazioni

\( b_1: (1-\sqrt{3})x + (1-\sqrt{3})y + \sqrt{3}(1-\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow x + y + \sqrt{3} = 0 \)

\( b_2: (1+\sqrt{3})x – (1+\sqrt{3})y + \sqrt{3}(1+\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow x – y + \sqrt{3} = 0 \)

Esse sono le bisettrici ricercate. Potremmo verificare senza difficoltà che la loro unica intersezione coincide con quella delle rette $ r_1 $ ed $ r_2 $, come anche che $ b_1 _|_ b_2 $: queste sono proprietà geometriche sempre verificate dalle bisettrici degli angoli di due rette incidenti, e non dipendono dai particolari coefficienti scelti per le rette di questo esempio.

 

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Videolezioni di geometria analitica

 

Definizioni

Definizione 1: Fascio improprio di rette

Data una retta ? passante per l’origine, si chiama fascio improprio di rette di retta base ? l’insieme costituito da tutte le rette del piano parallele a ?. Se ?: ?=??, l’equazione del fascio è \[ \Phi: y = mx + k \]

con ? parametro reale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Definizione 2: Fascio proprio di rette

Dato un punto ? fissato, si chiama fascio proprio di rette di punto base (o centro) ? l’insieme costituito da tutte le rette del piano passanti per ?. Se $ C(x_0, y_0) $, l’equazione del fascio è \[ \Phi: (y-y_0) = m (x-x_0) \]

con ? parametro reale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 1: L’equazione data nella definizione 1 è inadatta a rappresentare il fascio di rette parallele all’asse delle ?, poichè in questo caso ? non può essere scritta nella forma $ y = mx $. D’altro canto tale fascio ha naturalmente equazione $ x = k $, con ? reale.

Osservazione 2: L’equazione data nella definizione 2 è inadatta a rappresentare una delle rette del fascio, quella passante per ? e parallela all’asse delle ?, avente equazione \( x = x_0 \). Questo fatto, di cui occorre tenere conto nel corso della risoluzione degli esercizi, è dovuto al fatto che in questo caso dovrebbe essere \( m = \infty \).

Osservazione 3: Mentre tutte le rette appartenenti a un fascio proprio condividono un punto, tutte quelle di un fascio improprio condividono una direzione. La denominazione “improprio” data al secondo tipo di fascio è dovuta al fatto che la direzione di una retta, nell’ambito della geometria proiettiva, viene identificata con un punto della retta stessa posto all’infinito, detto appunto punto improprio. Con tale convenzione, in qualche modo anche le rette di un fascio improprio condividono un punto, ma questo non appartiene al piano cartesiano.

Osservazione 4: Una retta che sia ortogonale (rispettivamente, parallela o incidente) a una retta di un fascio improprio e ortogonale (rispettivamente, parallela o incidente) anche a tutte le altre. Questo è conseguenza del fatto che tali proprietà dipendono solo dal valore del coefficiente angolare, che per un fascio improprio è fissato.

Osservazione 5: Data una qualsiasi retta non passante per il centro di un fascio proprio di rette, è possibile trovare una retta del fascio ad essa ortogonale ed una ad essa parallela. Quest’ultima retta è anche l’unica del fascio che non interseca la retta data all’inizio.

 

Esempi

Esempio 1: Si trovi la retta del fascio \( \Phi: y = 3x + k \) passante per il punto $ P(1, 34) $.

Dal momento che le rette appartenenti a un fascio, proprio o improprio, ricoprono tutto il piano, è sempre possibile risolvere un esercizio di questo tipo. In questo caso il fascio è improprio, quindi stiamo cercando la retta parallela alla $ r: y = 3x $ passante per ?. Posto $ x = 1, y = 34 $ avremo

\( \frac{3}{4} = 3 + k \Rightarrow k = \frac{3}{4} – 3 = – \frac{9}{4} \)

cosicché la retta ricercata ha equazione \( y = 3x – \frac{9}{4} \).

Esempio 2: Si trovino le rette del fascio \( \Phi = \frac{x}{2} + k \) distanti 1 dall’origine.

In questo caso adoperiamo la formula per calcolare la distanza di un punto da una retta:

\[ d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

Come si ricorderà, in essa $ (x_0, y_0) $ sono le coordinate del punto in questione, nel nostro caso l’origine; i numeri ?,?,? sono invece i coefficienti della retta scritta in forma implicita, dunque per una generica retta del fascio \( \Phi \) essi sono $ a = 12, b = -1, c = k $. Sostituendo

\( 1 = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}} = \frac{2|k|}{\sqrt{5}} \Rightarrow |k| = \frac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow k = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \)

Le rette trovate sono perciò due: \( y = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \) e \( y = \frac{x}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2} \) . Questo è un risultato generale: se infatti una retta si trova a distanza ? da un punto fissato ?, certamente anche la sua simmetrica rispetto a ? si trova alla stessa distanza; le due rette ottenute sono inoltre parallele, quindi appartengono allo stesso fascio improprio.

Esempio 3: Si trovi il centro del fascio proprio \( \Phi: y = mx + 3 \) e la retta di \( \Phi \) ortogonale a quella di equazione \( r: y + 5 = \frac{x}{3} – 9 \).

Per trovare il centro del fascio possiamo agire in due modi diversi. Il primo di essi consiste nello scegliere due valori qualsiasi di ?, trovare le rette risultanti e intersecarle: il punto ottenuto sarà certamente il centro del fascio, poiché esso è l’unico punto condiviso da tutte le rette di \( \Phi \). Un metodo più semplice consiste invece nel cercare di trasformare l’equazione del fascio in una avente la forma data dalla definizione 2, onde dedurre $ x_0 $ e $ y_0 $. Per far ciò separiamo gli addendi con ? da quelli senza ?, e mettiamo in evidenza:

\( y – 3 = mx \Rightarrow y – 3 = m (x – 0) \Rightarrow C(0, 3) \)

Una retta che sia ortogonale a ? avrà coefficiente angolare \( m = – \frac{1}{m_r} = -\frac{1}{\frac{1}{3}} = -3 \). Così, la retta del fascio ad essa perpendicolare sarà \( y = -3x + 3 \).

 

Altro materiale di supporto

Videolezioni di geometria analitica

 

 

 

 

 

 

 

 

Retta passante per due punti dati

Formula: Siano fissati due punti distinti $ A(x_A, y_A) $ e $ B(x_B, y_B) $, non allineati nè in verticale nè in orizzontale. Esiste allora una e una sola retta passante sia per ? che per ?, la cui equazione in forma implicita è

\[ \begin{equation} \frac{y-y_A}{y_B-y_A} = \frac{x-x_A}{x_B-x_A} \label{eq1} \end{equation} \]

Dimostrazione: Consideriamo la retta generica $ y = mx + q $, e imponiamo che passi sia per ? che per ?; otterremo così il sistema

\[ \begin{cases} y_A = mx_A + q \\ y_B = mx_B + q \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y_A -mx_A = y_B – mx_B \\ q = y_B – mx_B \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = \frac{y_B-y_A}{x_B – x_A} \\ q =  y_B – \Big( \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \Big) x_B \end{cases} \]

nel quale il secondo passaggio si ottiene sottraendo membro a membro, mentre il terzo è lecito perché \( x_B – x_A \ne 0 \) per ipotesi. La retta è dunque

\[ y = \Big( \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \Big)x + \Big[ y_B – \Big( \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \Big) x_B \Big] \Rightarrow \frac{y}{y_B-y_A} = \frac{x}{x_B-x_A} + \frac{y_B}{y_B-y_A} – \frac{x_B}{x_B-x_A}  \]

che si trasforma facilmente nella (\( \ref{eq1} \)) con pochi passaggi algebrici.

Osservazione 1: Se ? e ? sono allineati verticalmente o orizzontalmente, la (\( \ref{eq1} \)) non vale perché, siccome $ x_A = x_B $ oppure $ y_A = y_B $, uno dei due quozienti presenti non ha senso. In quei casi però è facile determinare la retta che passa per ? e ?, coincidendo o con la loro comune ascissa, o con la loro comune ordinata.

 

Retta passante per un punto dato avente dato coefficiente angolare

Formula: Siano fissati un punto $ P(x_0, y_0) $ e un numero reale ?. Esiste allora una e una sola retta passante per ? avente coefficiente angolare ?, la cui equazione in forma implicita è

\[ \begin{equation} y – y_0 = m (x-x_0) \label{eq2} \end{equation} \]

Dimostrazione: Dal momento che la retta ricercata ha un ben determinato coefficiente angolare, essa può essere scritta nella forma esplicita $ y = mx + q $, e dunque non resta che trovare ?. Imponendo il passaggio per ?, scriviamo

\[ y_0 = mx_0 + q \Rightarrow q = y_0 – mx_0 \]

Cosicché la retta è \( y = mx + (y_0 – mx_0) \), o il che è lo stesso $ y – y_0 = m(x -x_0) $.

 

Applicazione: Asse di un segmento

Ci proponiamo adesso di utilizzare la formula appena trovata per calcolare l’equazione dell’ asse di un segmento ?? di cui siano note le coordinate degli estremi $ A(x_A, y_A) $ e $ B(x_B, y_B) $. Ricordiamo dalla geometria piana che l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da ? e da ?; si dimostra però che esso è anche l’unica retta passante per il punto medio di ?? che sia ortogonale al segmento.

 

 

 

 

 

 

 

 

Per risolvere il problema vogliamo trovare in primo luogo la retta ??, e in particolare il suo coefficiente angolare ?, quindi rintracciare il punto medio ? di ?? e infine trovare quella retta di coefficiente angolare −1/? che passa per ?: ciò ci garantisce infatti che sia perpendicolare ad ??. In virtù di (\( \ref{eq1} \)), la retta per ? e per ? è

\[ y = \Big( \frac{y_B-y_A}{x_A – x_B} \Big) x + \Big[ y_B – \Big( \frac{y_B – y_A}{x_B-x_A} \Big) x_B \Big] \Rightarrow m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \Rightarrow -\frac{1}{m} = \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} \]

Il punto medio di ?? ha invece coordinate \( M \Big( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \Big) \). Quindi dalla formula (\(\ref{eq2} \)) si ha infine che l’asse è

\[ y – \frac{y_A+y_B}{2} = \Big( \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A} \Big) \Big( x – \frac{x_A+x_B}{2} \Big)  \]

 

Distanza di un punto da una retta

Formula: Siano fissati una retta ? la cui equazione in forma implicita è $ ax+by+c=0 $ e un punto ? di coordinate $ (x_0, y_0) $. La distanza tra il punto ? e la retta ? si calcola come

\[  \begin{equation} d(r, P) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \label{eq3} \end{equation} \]

Dimostrazione: Consideriamo le rette per ? parallele agli assi coordinati; è chiaro che esse avranno equazioni $ x = x_0 $ e $ y = y_0 $ e che, detti ? e ? i loro punti d’intersezione con ?, si ha che \( A \Big( x_0, -\frac{c+ax_0}{b} \Big) \) \( B \Big(-\frac{c+by_0}{a}, y_0 \Big) \). Ciò presuppone che la retta ? non sia parallela a nessuno degli assi; d’altro canto in questo caso sarebbe semplice verificare che la (\( \ref{eq3} \)) vale.

Calcoliamo le distanze ?? e ??:

\[ PA = -\frac{c+ax_0}{b} – y_0 = \frac{ax_0+by_0+c}{b} \,\,\,\,\, , \,\,\,\,\, PB = -\frac{c+by_0}{a} -x_0 = -\frac{ax_0+by_0+c}{a} \]

Detto ora ? il piede della perpendicolare condotta da ? a ?, adoperando il primo teorema di Euclide possiamo dire che \( PA^2 = AB \cdot AH \) e \( PB^2 = AB \cdot BH \). Ciò implica pure che \( AH \cdot BH = \frac{PA^2PB^2}{AB} = \Big( \frac{PA\cdot PB}{AB} \Big)^2\), e per il secondo teorema di Euclide si ha \( PH^2 = AH \cdot BH \); dunque utilizzando il teorema di Pitagora per calcolare ?? avremo

\[ PH = \frac{PB\cdot PB}{AB} = \frac{\Big( \frac{ax_0+by_0+c}{b} \Big)\Big( \frac{ax_0+by_0+c}{a} \Big)}{\sqrt{\Big( \frac{ax_0+by_0+c}{b} \Big)^2 + \Big( \frac{ax_0+by_0+c}{a} \Big)^2}} = \]

\[ = \frac{(ax_0+by_0+c)^2}{ab} : \Big( \frac{|ax_o+by_0+c| \sqrt{a^2+b^2}}{ab} \Big) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

che è la formula ricercata.

 

Applicazione: Bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti

Supponiamo di avere due rette ? ed ? incidenti in un punto ?, non necessariamente l’origine del sistema di coordinate. Esse, come sappiamo, formano quattro angoli opposti al vertice; il problema che ci proponiamo di risolvere consiste nel trovare le equazioni delle rette ? e ?′ rosse in figura, ovvero delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti.

 

 

 

 

 

 

 

 

È noto dalla geometria piana che esse costituiscono, quando considerate insieme, il luogo geometrico dei punti ? del piano equidistanti dalle due rette date. Detti ? e ? i piedi delle perpendicolari condotte da $ P(x, y) $ ad ? ed ?, e dette $ r: a_1x + b_1y + c_1 $ e $ s: a_2x + b_2y + c_2 = 0 $ le equazioni in forma implicita delle due rette, avremo

\[ PA = PB \Rightarrow \frac{|a_1x+b_1y +c_1|}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = \frac{|a_2x+b_2y +c_2|}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}} \]

come facilmente risulta dalla formula (\( \ref{eq3} \)). Considerando i valori assoluti in tutte le possibili combinazioni di segno, l’equazione appena scritta si esplicita nelle seguente

\[ \frac{a_1+b_1y+c_1}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}} = \pm \frac{a_2x+b_2y +c_2}{a^2_2+b^2_2} \]

che è l’equazione di due rette: la prima si ottiene scrivendola con il segno più, e la seconda con il meno. Esse sono naturalmente le equazioni delle rette ? e ?′ ricercate.

 

Altro materiale di supporto

Formulario di geometria analitica

Videolezioni di geometria analitica

 

Definizioni

Definizione 1: Rette incidenti

Due rette ? ed ? si dicono incidenti quando si intersecano in uno e in un solo punto.

Definizione 2: Rette parallele

Due rette ? ed ? si dicono parallele quando la loro intersezione è vuota. Questa eventualità si indica con il simbolo \( r \parallel s \).

Definizione 3: Rette coincidenti

Due rette ? ed ? si dicono coincidenti quando si intersecano in più di un punto.

Definizione 4: Rette ortogonali o perpendicolari

Si considerino due rette incidenti ? ed ?. Esse si dicono ortogonali quando i quattro angoli da esse formati nell’unico punto d’intersezione sono tutti retti. Questa eventualità si indica con il simbolo $ r _|_ s $.

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 1: Le definizioni 1 – 3 tengono in considerazione tutti i casi possibili: infatti non solo due rette, ma più in generale due qualsiasi curve o non si intersecano, o si intersecano in un solo punto, o si intersecano in più di un punto. Vale però la pena di notare che, poiché per due punti passa una e una sola retta, allorché due rette hanno due o più punti in comune esse si sovrappongono completamente. I punti d’intersezione sono allora infiniti, e le due rette coincidono.

Osservazione 2: Nell’immagine precedente, le rette ? e ? sono parallele, poiché come si vede non hanno punti in comune; invece la retta ? e ortogonale alla retta ?, e di conseguenza anche alla sua retta parallela ?, come segue da un noto teorema di geometria piana. La retta ?, infine, è incidente sia con ? che con ?; si noti che, benché il punto d’intersezione non sia mostrato, ? è evidentemente incidente anche con ?.

 

Condizioni di parallelismo e ortogonalità

Numero di intersezioni: Siano date due rette ? ed ? le cui equazioni in forma esplicita sono

\[ r: y = m_rx + q_r \,\,\,\,\,\, , \,\,\,\,\,\, s: y = m_sx + q_s \]

con $ m_r, m_s, q_r, q_s $ numeri reali fissati. Vogliamo trovare delle relazioni tra questi quattro valori che siano in grado di dirci se ? ed ? sono coincidenti, parallele o incidenti, e in questo caso vogliamo distinguere anche l’eventualità che ? ed ? siano ortogonali. Analizziamo a questo proposito il sistema

\[ \begin{cases} y = m_rx + q_r \\ y = m_sx + q_s  \end{cases} \Rightarrow \]

\[ \Rightarrow \begin{equation} m_rx + q_r = m_sx + q_s \Rightarrow (m_r – m_s)x = q_s – q_r \label{eq1} \end{equation} \]

La ? contenuta nell’ultima equazione è l’ascissa dell’eventuale punto d’intersezione. Dal momento che la (\( \ref{eq1} \)) è un’equazione di primo grado, o è impossibile, o è indeterminata, o è dotata di una e una sola soluzione. Il caso d’impossibilità si ottiene allorché

\[ m_r – m_s = 0 \,\,\,\,\,\, , \,\,\,\,\,\,\, q_s – q_r \ne 0 \]

cioè se e solo se \( m_r = m_s \) e \( q_r \ne q_s \). In questo caso le rette, che avendo intercette diverse sono necessariamente distinte, non hanno intersezioni e sono perciò parallele. Il caso d’indeterminazione si ha invece allorché

\[ m_r – m_s = 0 \,\,\,\,\,\, , \,\,\,\,\,\,\, q_s – q_r = 0 \]

In questo caso le soluzioni sono tutte le ? reali, e infatti senza sorpresa ci accorgiamo che richiedere \( m_r = m_s \) e \( q_r = q_s \) equivale a considerare due rette coincidenti. Se invece infine abbiamo \( m_r \ne m_s \), allora la (\( \ref{eq1} \)) si può riscrivere nella forma

\[ x = – \frac{q_r – q_s}{m_r – m_s} \]

la quale evidenzia l’esistenza di una e una sola soluzione. Le rette ? ed ? saranno allora incidenti. Ricapitolando:

\[ m_r = m_s \text{ e } q_r \ne q_s \Rightarrow r \text{ ed } s \text{ sono parallele} \]

\[ m_r = m_s \text{ e } q_r = q_s \Rightarrow r \text{ ed } s \text{ sono coincidenti} \]

\[ m_r \ne m_s \Rightarrow r \text{ ed } s \text{ sono incidenti} \]

Condizione di ortogonalità: Se due rette ? e ? sono ortogonali, allora è anche vero che tutte le rette parallele ad ? sono ortogonali a tutte le rette parellele a ?; poiché le relazioni di parallelismo e orotogonalità sono simmetriche, per mostrare che $ a _|_ b $ ci basta fare vedere che esistono $ r || a, s || b $  tali che $ r _|_ s $.

Siano dunque ? e ? due rette fissate, e siano ? ed ? le uniche rette passanti per l’origine del sistema di coordinate rispettivamente parallele ad ? e a ?, tra loro ortogonali. Siccome ? ed ? passano per l’origine, esse avranno forma $ y = mx $; poiché inoltre vale il parallelismo con ? e ?, in virtù della conclusione del paragrafo precedente abbiamo $ m_r = m_a $ e $ m_s = m_b $. Le equazioni di ? ed ? sono perciò

\[ r: y = m_a x\,\,\,\, s: y = m_b x \]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Siano ora ? e ? i punti di ascissa 1 di ? ed ?, cioè risulti come nell’immagine $ A(1, m_a) $ e $ B(1, m_b) $. La distanza tra ? e ? è $ |m_a – m_b | $, dal momento che essi sono verticalmente allineati; inoltre dal per il teorema di Pitagora abbiamo \( OA = \sqrt{1+m^2_a} \) e \( OB = \sqrt{1+m^2_b} \). Applicando ancora il teorema di Pitagora,

\[ |m_a – m_b | = AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1+m^2_a+1+m^2_b} \]

ed elevando al quadrato il primo e l’ultimo membro

\[ m^2_a + m^2_b – 2m_am_b = 2 + m^2_a + m^2_b \Rightarrow m_a m_b = -1 \]

L’ultima ottenuta è la desiderata relazione di ortogonalità tra le rette ? e ?.

 

Altro materiale di supporto

Videolezione sulle rette perpendicolari e parallele

 

 

 

 

 

 

 

 

Definizione di retta

Definizione 1: Equazione in forma implicita della retta

Siano dati tre numeri reali ?,?,?, di cui almeno uno tra ? e ? non nullo. Si chiama retta il luogo geometrico dei punti del piano soddisfacenti l’equazione

\[ \begin{equation} ax + by + c = 0 \label{eq1} \end{equation} \]

detta equazione della retta in forma implicita.

Osservazione 1: La retta definita dall’equazione (\( \ref{eq1} \)) è lo stesso oggetto matematico di cui si fa uso normalmente nella geometria piana: è infatti possibile dimostrare che, comunque presi tre punti ?,? e ? soddisfacenti (\( \ref{eq1} \)), risulta che $ AB + BC = CA $, e quindi i tre punti sono allineati. Effettivamente, se $ A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) $ abbiamo

\[ AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} \]

Ma in virtù dell’equazione (\( \ref{eq1} \)), supposto \( b \ne 0 \), si ha che

\[ y_A = \frac{ax_A+c}{b}\,\,\, , \,\,\, y_B = \frac{ax_B+c}{b}\,\,\, , \,\,\, y_C = \frac{ax_C+c}{b} \]

E dunque sostituendo possiamo dire che

\[ AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(\frac{ax_B+c}{b}-\frac{ax_A+c}{b})^2} = \sqrt{(x_A-x_B)^2+\frac{a^2}{b^2}(x_A-x_B)^2} = (x_A-x_B) \sqrt{} \]

Similmente risulterà \( CA = (x_C – x_A) \sqrt{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}} \) e \( (x_B-x_C) \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\), da cui segue naturalmente $ AB + BC = CA $ per semplice sostituzione.

Osservazione 2: Preso un qualsiasi numero reale \( k \ne 0 \), la (\( \ref{eq1} \)) può essere riscritta nella forma equivalente $ kax + kby +kc = 0 $. Ciò significa che non esiste una sola equazione di una determinata retta in forma implicita, ma ad ogni retta corrispondono infinite equazioni.

Definizione 2: Equazione in forma esplicita

Si supponga che nell’equazione (\( \ref{eq1} \)) risulti \( b \ne 0 \). Allora essa può essere riscritta come

\[ \begin{equation} y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b} \Rightarrow y = mx + q \label{eq2} \end{equation} \]

detta equazione della retta in forma esplicita. I numeri reali \( m = -\frac{a}{b} \) e \( q = – \frac{c}{b} \) che in essa compaiono sono a loro volta chiamati coefficiente angolare e intercetta della retta.

Osservazione 3: Visto che nell’equazione della retta in forma esplicita il coefficiente della ? è fissato pari a 1, per la (\( \ref{eq2} \)) non vale un’osservazione analoga alla 2: per ogni determinata retta esiste al più una sola equazione in forma esplicita.

Osservazione 4: L’equazione in forma (\( \ref{eq2} \)) è detta “esplicita” poiché essa esplicita, ovvero fornisce direttamente senza bisogno di ulteriori calcoli, il valore di ? corrispondente a ogni determinata ?. Per contro, la (\( \ref{eq1} \)) è detta in forma implicita.

 

Rette particolari

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 5: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) imponiamo ?=0, o se equivalentemente poniamo nella (\(\ref{eq2}\)) ?=0, otteniamo le equazioni

\[ ax + by = 0 \,\,\,\,\, , \,\,\,\,\, y = mx \]

È facile vedere che, indipendentemente dai valori di ?,? e ?, il punto $ O(0, 0) $ soddisfa entrambe le equazioni ottenute. Dunque esse rappresentano, la prima in forma implicita e la seconda in forma esplicita, una retta passante per l’origine del piano cartesiano. Nella figura in alto una tale retta è indicata in blu.

Osservazione 6: È chiaro dall’equazione $ y = mx $ che le rette passanti per l’origine si distinguono l’una dall’altra solo in base al coefficiente angolare ?, che dunque ne indica la pendenza. Se in particolare ?=1, allora anche i punti $ (1,1), (2,2), … (n,n) $ appartengono alla retta, che dunque divide il primo e il terzo quadrante in due parti uguali: essa è detta bisettrice del primo e terzo quadrante, e ha equazione $ y = x $.

Similmente, se ?=−1, allora anche i punti $ (1,−1),(2,−2),…(n,−n) $ appartengono alla retta: essa divide il secondo e il quarto quadrante in due parti uguali, ed è quindi detta bisettrice del secondo e quarto quadrante. La sua equazione è $ y = -x $.

Osservazione 7: Se nell’equazione (\(\ref{eq1}\)) poniamo ?=0, o se equivalentemente poniamo nella (2) ?=0, otteniamo le equazioni

\[ by=c, y = q \]

Esse sono equazioni di primo grado nella sola ?, dunque esiste un solo valore di ? che le risolve. Ciò significa che tutti i punti dei luoghi geometrici da esse descritti dovranno avere la stessa ordinata, cioè che essi formano una retta orizzontale. Questa eventualità è rappresentata nella figura precedente da una retta rossa.

Osservazione 8: Se accade contemporaneamente che ?=0 e ?=0, ci troviamo allo stesso tempo sia nel caso di una retta orizzontale, sia in quello di una retta passante per l’origine: ciò significa che il luogo geometrico descritto deve per forza essere l’asse delle ascisse, che dunque ha equazione ?=0.

Osservazione 9: Consideriamo infine l’eventualità che si verifichi ?=0. In questo caso, in virtù della definizione 2, le rette corrispondenti non hanno un’equazione in forma esplicita; quella in forma implicita è invece semplicemente

\[ ax = c \]

Con ragionamento del tutto analogo a quello svolto nel corso dell’osservazione 7, è lecito concludere che la retta risultante è verticale, cioè parallela all’asse delle ?. Questo spiega anche l’inesistenza dell’equazione in forma esplicita: il grafico di tale retta associa infiniti valori di ? a un solo valore di ?, e dunque non si tratta di una funzione. Una simile retta è rappresentata in verde nell’immagine precedente.

Osservazione 10: Ragionando come nell’osservazione 8, osserviamo infine che l’equazione dell’asse delle ordinate è necessariamente ?=0.

 

Altro materiale di supporto

• Videolezione sull’equazione della retta 

   

   

   

   

 

 

• Altre videolezioni di geometria analitica

 

Esempio 1: Si dimostri che i punti di coordinate ?(?,?),?(?,?),?(?,?) e ?(?,?) possono essere i vertici di un rombo.

Come sappiamo dalla geometria elementare, un rombo è un quadrilatero convesso avente tutti i lati di uguale lunghezza. Per risolvere l’esercizio occorrerà allora in primo luogo rappresentare i punti in un piano cartesiano, onde convincersi visivamente che il risultato del loro consecutivo congiungimento non sia un quadrilatero concavo, quindi dovremo calcolare le lunghezze dei lati e verificare che esse sono tutte uguali. A questo proposito usiamo la formula per la distanza tra due punti:

\( AB = \sqrt{(x_A – x_B)^2+(y_A – y_B)^2} = \sqrt{(1-4)^2+(1-2)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \)

\( BC = \sqrt{(x_B – x_C)^2+(y_B – y_C)^2} = \sqrt{(4-5)^2+(2-5)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \)

\( CD = \sqrt{(x_C – x_D)^2+(y_C – y_D)^2} = \sqrt{(5-2)^2+(5-4)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \)

\( DA = \sqrt{(x_D – x_A)^2+(y_D – y_A)^2} = \sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \)

Ne consegue che il quadrilatero risultante è effettivamente un rombo.

 

Esempio 2: Si dimostri che il triangolo ??? di vertici ?(?,?),?(?,?) e ?(?,?) è isoscele, quindi se ne determini l’area.

Come nell’esempio 1, adoperiamo la formula della distanza tra due punti per calcolare le lunghezze dei tre lati del triangolo:

\( AB = \sqrt{(x_A – x_B)^2+(y_A – y_B)^2} = \sqrt{(2-3)^2+(1-5)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \)

\( BC = \sqrt{(x_B – x_C)^2+(y_B – y_C)^2} = \sqrt{(3-6)^2+(5-2)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

\( CA = \sqrt{(x_C – x_A)^2+(y_C – y_A)^2} = \sqrt{(6-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \)

A quanto pare i lati ?? e ?? hanno uguale lunghezza, e dunque il triangolo ??? è isoscele di base ??. Per trovare l’area del triangolo possiamo adesso agire in due modi: o usiamo la formula di Erone, che consente il calcolo dell’area di un triangolo a partire dalle lunghezze dei tre lati, o cerchiamo di calcolare la lunghezza di una delle altezze. Il primo metodo è in questo caso piuttosto scomodo, in quanto le misure dei lati sono espresse attraverso dei radicali: troveremo quindi, detto ? il piede dell’altezza relativa a ??, la lunghezza di ??.

Dal momento che come abbiamo visto il triangolo è isoscele di base ??, l’altezza e la mediana relative a questo lato coincidono; ciò implica che ? non è solamente il piede dell’altezza, ma anche il punto medio di ??. Possiamo quindi trovare ? usando la formula per le coordinate del punto medio di un segmento:

\( H \Big( \frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2} \Big) \Rightarrow H \Big( \frac{3+6}{2}, \frac{5+2}{2} \Big) \Rightarrow H \Big( \frac{9}{2}, \frac{7}{2} \Big) \)

Avendo tanto ? quanto ?, possiamo facilmente determinare la misura di ??:

\( HA = \sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2} = \sqrt{\Big( \frac{9}{2} – 2\Big)^2+\Big( \frac{7}{2}-1 \Big)^2} = \sqrt{\Big( \frac{5}{2} \Big)^2+\Big( \frac{5}{2} \Big)^2} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \)

Ricordando adesso che l’area di un triangolo si trova come la metà del prodotto della base e dell’altezza, avremo \( \text{Area} = \frac{BC \cdot AH}{2} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{4} = \frac{15}{2} \).

 

Esempio 3: Si trovino il perimetro, l’area e il baricentro del triangolo ??? i cui vertici sono ?(?,?),?(?,?) e ?(?,?).

Dopo aver rappresentato i punti in un piano cartesiano, passiamo a calcolare le lunghezze dei lati del triangolo con la formula della distanza tra due punti:

\( AB = \sqrt{(x_A – x_B)^2+(y_A – y_B)^2} = \sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( BC= \sqrt{(x_B – x_C)^2+(y_B – y_C)^2} = \sqrt{(1-7)^2+(3-5)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)

\( CA = \sqrt{(x_C – x_A)^2+(y_C – y_A)^2} = \sqrt{(7-3)^2+(5-1)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

Potremo così subito dire che il perimetro è \( 2p = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} (3+\sqrt{5}) \).

Al contrario di quanto accadeva nel caso dell’esempio 2, questa volta non sappiamo se il triangolo in esame è di qualche tipo particolare; siamo dunque costretti a calcolarne l’area con l’ausilio della formula di Erone:

\( \text{Area} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \)

\( \sqrt{\sqrt{2}(3+\sqrt{5})(3\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{2}) (3\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{10}) (3\sqrt{2}+\sqrt{10}-4\sqrt{2})} = \)

\( \sqrt{(3\sqrt{2}+\sqrt{10})(\sqrt{2}+\sqrt{10})(3\sqrt{2}-\sqrt{10})(\sqrt{10}-\sqrt{2})} = \)

\( \sqrt{(18-10)(10-2)} = \sqrt{8 \cdot 8} = 8 \)

Per il baricentro adopereremo invece la formula che ci consente di calcolare le coordinate di ? come media aritmetica di quelle dei vertici del triangolo:

\( G \Big( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \Big) \Rightarrow G \Big( \frac{3+1+7}{3}, \frac{1+3+5}{3} \Big) \Rightarrow G \Big( \frac{11}{3}, 3\Big) \)

Osservazione 1: Come già detto in tutti e tre gli esempi, il primo, fondamentale passo nella risoluzione di un esercizio di geometria analitica consiste nel rappresentare tutte le informazioni dateci dall’enunciato in un piano cartesiano. Questa operazione, se effettuata con accuratezza, consente spesso di trovare soluzioni altrimenti difficili da immaginare.

Osservazione 2: A dimostrazione di quanto detto nell’osservazione 1, si consideri ancora l’esempio 3: se avessimo rappresentato opportunamente i tre vertici del triangolo, ci saremmo probabilmente accorti che esso è rettangolo in ?. Ciò ci avrebbe risparmiato il tedio di calcolarne l’area attraverso la formula di Erone, poiché avremmo semplicemente

 

Altro materiale di supporto

Videolezioni di geometria analitica

 

Distanza tra due punti

Osservazione 1: Comunque consideriamo due punti distinti $ A(x_A, y_A) $ e $ B(x_B, y_B) $ di un piano cartesiano risulta definito il segmento ?? avente i due punti come estremi. Esso si può vedere come appartenente alla retta orientata passante per ? e ?, avente ? come origine, ?? come unità di misura e verso crescente da ? a ?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vogliamo risolvere il problema di determinare la lunghezza di tale segmento note solo le coordinate dei suoi estremi.

Metodo risolutivo: Si considerino le perpendicolari agli assi coordinati passanti per ? e ?. Si vede che esse devono necessariamente intersecarsi in un punto ?, il quale in certi casi particolari potrebbe coincidere con uno dei due punti ? e ?; questa eventualità, ad ogni modo, non ci crea alcun problema. Dall’ortogonalità degli assi coordinati segue quella dei segmenti ?? e ??: il triangolo ??? è dunque rettangolo in ?. Per il teorema di Pitagora si avrà allora \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]

pertanto per determinare la lunghezza di ?? non ci resta che conoscere quelle dei segmenti ?? e ??. Osserviamo che il punto ? è allineato verticalmente con ? e orizzontalmente con ?. Allora le distanze sono

\[ AC = | x_B – x_A |\,\,\,\, , \,\,\,\, BC = | y_B – y_A | \]

I valori assoluti che appaiono nelle formule precedenti sono d’obbligo; infatti la lunghezza di un segmento è sempre positiva, e se per esempio scrivessimo $ AC = x_B – x_A $ senza valore assoluto, nel caso possibile in cui $ x_B \lt x_A $ avremmo $ AC \lt 0 $. Ne consegue che la lunghezza di ?? si può calcolare come

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{|x_B-x_A|^2+|y_B-y_A|^2} \Rightarrow \]

\[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Questa volta i valori assoluti si possono eliminare: infatti vale che \( (x_B – x_A)^2 = (x_A – x_B)^2 \) e ciò significa che possiamo ignorare il segno.

Osservazione 2: Se ? e ? sono allineati verticalmente, cioè hanno la stessa ascissa, ci è già nota una formula ovvia per calcolare la loro distanza: \( AB = |y_B – y_A| \). Questa risulta anche come caso particolare da quella appena ottenuta per ? e ? in posizione generica, in quanto da $ x_A = x_B | segue

\[ AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = \sqrt{0 + (y_B-y_A)^2} = |y_B – y_A| \]

Un discorso analogo vale allorché ? e ? sono punti nel piano allineati orizzontalmente.

Osservazione 3: La formula per la distanza tra due punti ci consente, com’è ovvio, anche di trovare la distanza di un punto ? dall’origine. Avendosi in questo caso $ x_0 = y_0 = 0 $, sarà

\[ OP = \sqrt{(x_P-x_0)^2+(y_P-y_o)^2} = \sqrt{(x_P-0)^2+(y_p-0)^2} = \sqrt{x^2_P+y^2_P} \]

Questa formula tornerà utile durante lo studio della circonferenza nel piano cartesiano.

 

Segmenti di una retta orientata aventi dato rapporto

Osservazione 4: Siano dati ancora due punti ? e ? e la retta orientata ?? così com’è stata definita nell’osservazione 1. Comunque si prenda un punto ? appartenente al segmento ??, sulla retta orientata ad esso corrisponderà un numero reale ? compreso tra 0 e 1: ciò equivale a dire che $ (AP)/(AB) = k $. Il problema che ci proponiamo di risolvere adesso consiste nel trovare le coordinate del punto ? noti il numero ? e le coordinare di ? e ?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metodo risolutivo: Tramite un’applicazione del teorema di Talete, risulta subito chiaro che valgono le proporzioni seguenti:

\[ AP:AB = (y_p-y_A):(y_B-y_A)\,\,\,\, , \,\,\,\, AP:AB = (x_P-x_A):(x_B-x_A) \]

Dal momento che per ipotesi abbiamo che $ (AP) / (AB) = k $ le relazioni date si riscrivono come

\[ y_P – y_A = k (y_B – y_A) \Rightarrow y_P = y_A + k (y_B – y_A) \]

\[ x_P – x_A = k (x_B – x_A) \Rightarrow x_P = x_A + k (x_B – x_A) \]

Per cui le coordinate di ? sono $ P(x_A + k (x_B-x_A), y_A + k(y_B-y_A)) $.

Osservazione 5: La formula ottenuta per le coordinate di ? è capace di fare più di quello per cui è stata scritta. Come sappiamo se sostituiamo a ? un numero compreso tra 0 e 1 otteniamo un punto ? appartenente al segmento ??; in particolare ponendo ?=0 sarà \( P \sim A \), mentre con ?=1 sarà \( P \sim B \). Se però sostituiamo a ? un numero reale minore di 0 o maggiore di 1, otteniamo altri risultati interessanti: in entrambi i casi avremo che ? appartiene alla retta orientata ??, ma per $ k \lt 0 $ esso sarà posizionato alla sinistra di ?, mentre per $ k \gt 1 $ ? sarà alla destra di ?.

 

Punto medio di un segmento

Tra tutti i punti del segmento ?? ce n’è uno notevole: il punto medio ?. Essendo esso l’unico punto tale che ????=12, sostituendo ?=12 nella formula ricavata alla fine del metodo risolutivo otterremo le coordinate di ?:

\[ M \Big(x_A + \frac{1}{2}(x_B-x_A), y_A + \frac{1}{2}(y_B-y_A) \Big) \Rightarrow M\Big( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \Big) \]

Si vede così che le coordinate del punto medio di un segmento ?? coincidono con la media aritmetica delle coordinate degli estremi del segmento.

 

Il baricentro di un triangolo

Ricordiamo dalla geometria classica che il baricentro di un triangolo ??? è definito come punto d’incontro delle sue mediane, ovvero delle rette che congiungono ciascun vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto. Per trovare le coordinate del baricentro ? di un triangolo qualsiasi utilizzeremo un’altra sua proprietà: il baricentro di un triangolo divide ciascuna delle sue mediane in due segmenti le cui lunghezze stanno tra loro come 1 sta a 2. Stando alla figura che segue, siamo alla ricerca di un punto ? tale che ??=2 ??, o il che è lo stesso \( \frac{CG}{CM} = \frac{2}{3} \).

Per trovare ? adoperiamo ancora la stessa formula dell’esempio precedente, ma stavolta \( k = \frac{2}{3} \) e gli estremi del segmento sono ? ed ?:

\[ G\Big(x_C+\frac{2}{3}(x_M-x_C) , y_C + \frac{2}{3}(y_M-y_C) \Big) \Rightarrow G\Big( \frac{2}{3}x_M+\frac{x_C}{3}, \frac{2}{3} y_M + \frac{y_C}{3} \Big) \]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Non ci resta che sostituire a $ x_M $ e $ y_M $ le coordinate del punto medio di ?? trovate nell’ esempio 1 per ottenere la soluzione:

\[ G \Big( \frac{2}{3} \cdot \Big(\frac{x_A+x_B}{2}\Big) + \frac{x_C}{3}, \frac{2}{3} \cdot \Big(\frac{y_A+y_B}{2}\Big) + \frac{y_C}{3} \Big) \Rightarrow \]

\[ G \Big( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \Big) \]

 

Altro materiale di supporto

Formulario completo di geometria piana

 

Definizioni

Definizione 1: Sistema di riferimento monometrico ortogonale.

Siano date due rette orientate ortogonali $ x $ ed $ y $, la prima disposta orizzontalmente con verso positivo a destra e la seconda disposta verticalmente con verso positivo in alto, tali da avere la stessa unità di misura e origini coincidenti. Allora si dice che il piano è stato dotato di un sistema di riferimento monometrico ortogonale, o cartesiano.

Definizione 2: Piano cartesiano.

Prende il nome di piano cartesiano un piano geometrico dotato d’un sistema di riferimento cartesiano. La comune origine $ O $ delle due rette orientate è detta origine del piano, il quale a sua volta è indicato con uno dei simboli $ xOy, Oxy $.

Definizione 3: Assi e quadranti.

Sia dato un piano cartesiano; la retta $ x $ è detta asse delle ascisse, mentre la retta $ y $ è detta asse delle ordinate. I quattro angoli in cui il piano risulta diviso dalle due rette sono detti primo, secondo, terzo e quarto quadrante; essi sono numerati in verso antiorario a partire da quello in alto a destra.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 1: Comunque si prenda un punto $ P $ appartenente a un piano cartesiano, è possibile determinare in maniera univoca le sue proiezioni ortogonali $ H $ e $ K $ sull’asse delle ascisse e delle ordinate. Poiché il punto $ H $ appartiene alla retta orientata $ x $, esisterà un numero reale che lo individua su tale retta, diciamo $ x_P$; nello stesso modo è possibile trovare un numero reale, diciamo $ y_P $, che individua il punto $ K $ sulla retta orientata $ y $.

Osservazione 2: Comunque si prendano due numeri reali $ x_P $ e $ y_P $, esisteranno due punti $ H $ e $ K $ da essi individuati rispettivamente sulle rette orientate $ x $ e $ y $. Se tracciamo la retta perpendicolare all’asse delle $ x $ passante per $ H $ e quella perpendicolare all’asse $ y $ passante per $ K $, l’ortogonalità di $ x $ e $ y $ implica che anche le nuove rette saranno ortogonali, e in particolare avranno un solo punto d’intersezione. Chiamato $ P $ tale punto, potremo dire che $ P $ è univocamente determinato dai numeri reali $ x_P $ e $ y_P$.

Osservazione 3: In virtù dell’osservazione 1 e dell’osservazione 2 è dimostrata l’esistenza di una corrispondenza biunivoca tra le coppie di numeri reali $ (x_P, y_P) $ e i punti $ P $ del piano cartesiano. Ha dunque senso la definizione seguente:

Definizione 4: Coordinate di un punto appartenente a un piano cartesiano.

Sia dato un punto $ P $ appartenente a un piano cartesiano; vengono chiamati ascissa e ordinata di $ P $ i numeri $ x_P $ e $ y_P $ che ne individuano la posizione nel sistema di riferimento. Assieme esse sono dette coordinate di $ P $, e ciò si indica con il simbolo $ P(x_P, y_P) $.

Osservazione 4: Grazie alla definizione 4, un’entità geometrica come un punto è ricondotta a una coppia di numeri che ne riassume tutte le proprietà. Ciò dà la possibilità generale di trattare in maniera analitica, cioè adoperando l’algebra e altre tecniche numeriche, quei problemi che normalmente sono trattati solo in maniera geometrica. A questo scopo torna utile la seguente definizione:

Definizione 5: Luogo geometrico di un’equazione.

Sia data un’equazione nelle due incognite $ x $ ed $ y $, dalla forma generale $ F(x, y) = 0 $. Si definisce luogo geometrico dell’equazione $ F(x, y) = 0 $ l’insieme costituito da tutti i punti $ P(x_P, y_P) $ del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano l’equazione, cioè tali che sia $ F(x_P, y_P) = 0 $.

Osservazione 5: Se assumiamo che tutte le proprietà di cui vogliamo trattare possono essere espresse attraverso un’equazione, allora la definizione 5 coincide con quella di luogo geometrico che viene data in geometria classica. Essa infatti definisce un luogo geometrico come l’insieme dei punti aventi una data proprietà. Nei casi più comuni tali insiemi sono costituiti da punti allineati a formare delle rette o delle curve.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 6: La definizione 5 rende molto semplice trovare l’intersezione di due luoghi geometrici. Infatti un punto $ P(x_P, y_P) $ che appartenga all’intersezione dovrà verificare entrambe le equazioni, ovvero dovrà essere tale che $F_1(x_P, y_P) = 0 $ e $ F_2(x_P, y_P) = 0 $. Ciò significa che le coordinate di ? saranno soluzione del sistema

\[ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} \]

 

Traslazione di un sistema di riferimento

Osservazione 7: Sia dato un piano cartesiano $ xOy $. Detto $ O'(a, b) $ un punto qualsiasi ad esso appartenente, consideriamo quelle rette $ x’ $ ed $ y’ $ passanti per $ O $ che sono parallele agli assi $ x $ ed $ y $ e ne hanno lo stesso orientamento. Abbiamo in questo modo dotato il piano di un nuovo sistema di riferimento $ x’O’y’ $, detto traslato rispetto al primo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Osservazione 8: Sia adesso $ P $ un punto qualsiasi del piano. Ad esso corrispondono due diverse coppie di coordinate, una nel primo sistema di riferimento e una nel secondo, che indichiamo rispettivamente come $ ( x_P, y_P) $ e $ (x’_P, y’_P) $; siamo interessati a trovare una legge che ci consenta di passare da un set di coordinate all’altro. D’altro canto dall’immagine si vede subito che \[ \begin{cases} x_P = x_P’ + a \\ y_P = y_P’ + b  \end{cases} \]

o il che è lo stesso \[ \begin{cases} x_P’ = x_P – a \\ y_P’ = y_P – b  \end{cases} \]

Queste utili formule sono dette formule di cambiamento di coordinate, e vengono spesso usate in geometria analitica per semplificare alcuni problemi.